黃海燕

【摘要】在高中數(shù)學課程中，教師要優(yōu)化和解決各類教育教學問題，要提高學生從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，要促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，在高中課堂的教學中讓學生進行深度學習就尤為重要.本文通過梳理高中數(shù)學課堂實現(xiàn)深度學習的意義及其實施策略，以“幾何體體積”的教學片段為例，進行基于深度學習的高中數(shù)學課堂落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)的實踐探究.

【關鍵詞】核心素養(yǎng)；深度學習；祖暅原理

“雙新”視域下，作為一名高中數(shù)學教師，面臨“在高中數(shù)學課堂中如何更有效地提高學生的學習效率、增強學生的學習效果？”“怎樣才能做到讓不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展？”“怎樣才能提高學生的實踐能力、創(chuàng)新能力？”等教育教學問題.在高中數(shù)學教學的主陣地中，教師通過課堂教學引導學生深度學習，開發(fā)學生自主學習的意識、培養(yǎng)學生處理問題的能力，促進學生實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展，從而發(fā)展其高階思維的能力，有助于數(shù)學教育對人的發(fā)展價值的實現(xiàn).

1 高中數(shù)學課堂實現(xiàn)深度學習的意義

深度學習是指在教師的主導下，激發(fā)學生自發(fā)的、自主性的內(nèi)在學習動機，學生從自身現(xiàn)有水平出發(fā)，通過挖掘自己學習知識的潛能，積極參與學習活動、感受學習的成功、提升思想水平和精神境界的學習過程，是一種長期的積極的學習狀態(tài)、持久的學習力.

對于高中學生而言，深度學習是學生作為主體主動展開的學習活動，能引起學生的學習興趣，是學生對問題和知識的深入理解，是學生從特殊到一般、具體到抽象、運算與推理、直觀想象、分析與綜合等思維不斷深入強化的過程，能觸及學生的心靈深處.

對于高中數(shù)學教師而言，深度學習是教師發(fā)揮主導作用的活動，教師在教學活動中重視揭示數(shù)學知識的本質(zhì)特征以及內(nèi)在聯(lián)系，要讓學生主動地建構從了解到理解、掌握到綜合運用的數(shù)學認知結構過程，讓知識具有整體性和系統(tǒng)性，讓學生把握數(shù)學的本質(zhì)和思想方法［1］.

2 高中數(shù)學課堂實現(xiàn)深度學習的實施策略

2.1 教學內(nèi)容的重構與定位

對照課程標準與教材，對滬教版選擇性必修三第11章簡單幾何體中有關幾何體體積的教學內(nèi)容“11.1.2柱體的體積”、11.2.2錐體的體積“11.4.3球的體積”進行從重、難點到發(fā)展點的重構.

具體內(nèi)容為 了解一些簡單幾何體體積的計算方法；知道球、棱柱、棱錐、棱臺的體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題.

重構內(nèi)容的要點 直觀地理解祖暅原理，再現(xiàn)知識的自然發(fā)生過程；不同方式推導公式，多角度了解公式的來龍去脈，為形成嚴密而精準的數(shù)學思維提供更大的可能；掌握從特殊到一般、具體到抽象等數(shù)學思想方法；通過思維導圖、表格等工具，引領學生構建知識體系；提供更貼近生活的材料，幫助學生實現(xiàn)關鍵能力的提升，幫助學生優(yōu)化思維品質(zhì)，發(fā)展學科素養(yǎng)［2］.

2.2 學習目標的設立與解析

學習目標 經(jīng)歷利用已知的長方體的體積公式以及祖暅原理，探究并推導柱體、錐體、臺體的體積計算公式的過程；經(jīng)歷利用祖暅原理、構造一個與半球體積相等的幾何體推導得到球的體積計算公式的過程.

體現(xiàn)的數(shù)學思想方法 在祖暅原理的發(fā)現(xiàn)過程中，從二維平面升到三維空間，體會類比推理論證的數(shù)學思想方法；在推導證明棱柱、圓柱的體積公式的過程中，體會從特殊到一般的數(shù)學思想方法；經(jīng)歷借助棱錐與棱柱的聯(lián)系推導得到錐體、臺體的體積計算公式的過程，體會割補法和化歸等數(shù)學思想方法的應用；經(jīng)歷借助特殊的模型，根據(jù)圓柱、圓錐的體積公式和祖暅原理推導出球的體積計算公式，進而類比探究推導幾個簡單的曲面幾何體的體積計算公式，體會類比、轉化和數(shù)形結合等數(shù)學思想方法的應用.

重點提升的數(shù)學核心素養(yǎng) 提升直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理素養(yǎng)［3］.

2.3 學習內(nèi)容的多角度呈現(xiàn)

學習內(nèi)容情境化 情境的信息要與學生的特點、經(jīng)驗和認知水平結合，教師充分研讀教材和課標，聯(lián)系生活，合理運用、構建各種源于現(xiàn)實生活、貼近學生經(jīng)驗的教學情境.

學習內(nèi)容問題化 教師根據(jù)教材內(nèi)容、結合課標和教參，針對學生的學情特點，預先設置知識層次和思維層次兩方面的高質(zhì)量的問題鏈，在課堂有限的時間內(nèi)，來引導學生進行有深度、有廣度、有價值的思考，讓學生深化認識，全面把握數(shù)學知識之間的關系和聯(lián)系，從而獲得思維的提升.

學習內(nèi)容動態(tài)化 立體幾何的教學重點是幫助學生逐步形成空間觀念，教學中可以使用各類積木狀教具、可拼裝拆卸的框架模型等各類立體幾何教具，也可以利用GeoGebra等動態(tài)數(shù)學軟件多角度呈現(xiàn)空間幾何體，有效地幫助學生認識空間幾何體的結構特征，為利用祖暅原理進一步探究各類幾何體的幾何性質(zhì)打好基礎.

學習內(nèi)容活動化 課堂教學活動不是越多越好，教學活動中所涉及的知識點也不是越難越雜越好，而是在了解每一位學生的學習情況和認知能力，關注每一位學生的學習需求后，以最合理的方式建構知識網(wǎng)絡，提煉網(wǎng)絡節(jié)點，進行更精煉、細致的教學活動設計，讓學習內(nèi)容通過小組活動、生生互動的方式呈現(xiàn).

2.4 重點活動的遞進與舉隅

活動舉隅1 在學習祖暅原理的基礎上，引導學生推導柱體體積計算公式

情境 祖暅原理，“夫疊棊成立積，緣冪勢既同，則積不容異”，數(shù)學史融入數(shù)學課堂，東西方各國數(shù)學家對幾何體體積的研究歷程，引入起源、引入文化（圖1）.

問題1 請再列舉出一些實物模型，直觀地解釋祖暅原理．

問題2 兩個幾何體體積相等的條件是什么？

問題3 如何運用祖暅原理，求出底面積為S，高為h的斜四棱柱的體積？

問題4 如何運用祖暅原理，推導棱柱的體積計算公式？

問題5 如何運用祖暅原理，推導圓柱的體積計算公式？

HPM融入數(shù)學課堂教學，滲透數(shù)學文化能讓學生從數(shù)學歷史中，尋找數(shù)學概念的起因；根據(jù)生活中的實際情境初步認識幾何體，培養(yǎng)學生對所學的高中數(shù)學知識進行遷移和應用，解決生活中的實際問題，提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

活動舉隅2 基于球體體積計算公式的推導，探究推導特殊曲面幾何體體積，體驗過程中用到的方法、涉及的數(shù)學思想.

情境2 奇特的牟和方蓋玩具，能在平面上平滑地滾動，觀察發(fā)現(xiàn)其滾動的姿態(tài)是蛇形走位的姿勢前進的.直觀上看，該玩具像是兩個反向的錐體，通過一個45度側方的正方形繞著中心軸旋轉一周得到的幾何體（圖2）.

問題1 如何計算牟和方蓋的體積呢？

問題2 圓柱、圓錐、圓臺、球體等幾個簡單曲面立體的體積是怎樣推導的？

問題3 已知的幾個曲面幾何體體積推導過程中用到了哪些方法、涉及了哪些數(shù)學思想？

活動 結合球體體積公式的推導過程，分組合作探究牟和方蓋體積的求解.

學生能在相關聯(lián)的實際情境中，提取題目信息構建相應的立體幾何圖形，進行推理與運算、解決問題.

資料學習 實際上，牟和方蓋是一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的公共部分的幾何體.《九章算術》中記載牟和方蓋是由我國古代數(shù)學家劉徽首先發(fā)明并采用的一種用于計算球體體積的方法，采用的模型像一個牟和的方形盒子，故稱為牟和方蓋.［4］歷史上祖暅將牟和方蓋取其八分之一，再利用祖暅原理求解體積的過程.

活動舉隅3 探究拓展，深度學以致用.

圖3是一個置于地面上的救生圈，它是繞一條垂直于地平面的直線l旋轉而形成的旋轉體

問題1 如果用一個經(jīng)過旋轉軸l的平面去截這個救生圈，得到的截面是什么圖形？

問題2 如果用一個平行于地面的平面去截這個救生圈，得到的截面是什么圖形？

問題3 請給定圖中合情的參數(shù)數(shù)據(jù)，求出該救生圈的體積.

變式課本問題，形成探究性問題，加深學生對平面幾何與立體幾何內(nèi)在聯(lián)系的理解.

2.5 持續(xù)性的學習評價

教師運用適合的評價標準來評價學生的學科核心素養(yǎng)的發(fā)展狀況，參考學生的原有認知和新經(jīng)驗知識的轉化和聯(lián)系、學生的作業(yè)測驗結果呈現(xiàn)的問題、學生學習活動過程中的態(tài)度表現(xiàn)、學生進行深度加工的能力與意識等，并將評價結果用于教學改進，使每個學生都能獲得成就感.

（1）在學習準備階段，對預備知識和基本技能是否有清晰的理解和掌握，對課時內(nèi)容是否有一定了解.

（2）在學習過程中，順利完成的、基本完成的、未能完成的各項知識技能目標或具體問題；學習過程中的收獲及感悟，為什么學、學到什么、怎么學、學到什么程度等等.

（3）在課后學習階段，學生能進行階段性的學習反思，把教學過程施行為數(shù)學思維的過程，能對知識進行過程性分析和總結，通過采用不同層次的反饋練習，檢驗學生對學習內(nèi)容的理解和掌握程度，診斷學業(yè)水平現(xiàn)狀［5］.

3 結語

在日常教學中滲透數(shù)學文化，利用數(shù)學史創(chuàng)設情境進行教學，更能激發(fā)學生自己的學習愿望，主動地參與學習，經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)與建構過程，引導學生感悟數(shù)學的科學價值、應用價值與文化價值.

設計高質(zhì)量的課堂任務單，能讓教師掌握學生的已有知識，避免課堂中教師花費大量時間在重復鞏固學生的基礎知識，讓學生的學習處于低階思維階段；能讓教師對學生的學習過程進行細致的觀察與分析；能讓學生自主學習、合作探究未知的知識點，拓展延伸；能讓學生自我鞏固內(nèi)化知識點，學習過程不斷深化，建構更高的思維層次.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部制定 普通高中數(shù)學課程標準：2017年版［M］.北京：人民教育出版社.

［2］黃海霞.深度學習視角下的高中數(shù)學課堂有效提問的研究［D］.廈門：集美大學，2022.

［3］陳春芳.讓學生經(jīng)歷公式的發(fā)現(xiàn)、證明與應用——“祖暅原理與幾何體的體積”教學設計與思考［J］.江蘇教育，2021（Z3）：62-64+69.

［4］曾曉麗.關鍵教學點視域下數(shù)學文化的教學研究——以“祖暅原理與空間幾何體的體積”教學為例［J］.高中數(shù)學教與學，2021（13）：1-3+24.

［5］曹雅楠.指向深度學習的高中數(shù)學課堂師生話語分析［D］.天津：天津師范大學，2022.