問(wèn)得清如許 深度學(xué)概念

陳志遠(yuǎn)

在人類認(rèn)識(shí)世界的過(guò)程中，從感性上升到理性，并把感知的事物的共同本質(zhì)特征進(jìn)行抽象概括，形成的結(jié)果為概念，概念具有內(nèi)涵和外延兩個(gè)重要的理解維度. 數(shù)學(xué)概念則是對(duì)數(shù)量關(guān)系和空間形式的共同本質(zhì)特征的形式反映，是現(xiàn)實(shí)事物與抽象結(jié)果辯證統(tǒng)一的特有存在，是數(shù)學(xué)獨(dú)特的思維形式. 同時(shí)，數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)推理的基本依據(jù)，人們通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)概念中特征的進(jìn)一步研究，構(gòu)建數(shù)學(xué)法則、定理、公式，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，并在此過(guò)程中不斷積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)［1］.

羅增儒教授指出：“數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)血肉的細(xì)胞，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)肌體的靈魂. 一個(gè)沒(méi)有血肉、沒(méi)有靈魂的人，即使穿上華麗的外衣，也只是僵尸. ”王淼生老師指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)中最困難的、最棘手的就是數(shù)學(xué)概念. ”因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)的效果與學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可持續(xù)性緊密相關(guān)，而用深度學(xué)習(xí)理念指導(dǎo)概念教學(xué)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，能真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人功能. 下面，本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)概念教學(xué)的改進(jìn)策略［2］.

數(shù)學(xué)概念教學(xué)歧途

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程是以概念為前提進(jìn)行思維，使知識(shí)、技能、思想有機(jī)統(tǒng)一. 一線數(shù)學(xué)概念教學(xué)存在過(guò)度形式化的問(wèn)題，導(dǎo)致學(xué)生將知識(shí)零散地記憶和堆砌，將數(shù)學(xué)概念的理解變成對(duì)概念的形式的淺層認(rèn)識(shí). 具體來(lái)說(shuō)，主要有以下幾類.

1. 簡(jiǎn)單舉例，缺乏對(duì)概念本質(zhì)的理解

數(shù)學(xué)概念是對(duì)具象事物的簡(jiǎn)明概括，并用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言（文字、符號(hào)、圖形）對(duì)概括的結(jié)論進(jìn)行描述. 如果學(xué)生以記憶的方式取代思考，缺乏經(jīng)歷觀察、猜想、例證、歸納的過(guò)程，會(huì)誤認(rèn)為數(shù)學(xué)概念是記憶性的知識(shí)，這會(huì)導(dǎo)致抽象能力和創(chuàng)新思維得不到培養(yǎng)，學(xué)科思維僵化. 例如，在一元一次方程的教學(xué)過(guò)程中，一些年輕教師教學(xué)時(shí)會(huì)出現(xiàn)如下情況：教學(xué)一元一次方程的概念時(shí)，未能深悟方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)事物的工具，而只是羅列幾個(gè)例子，并分析式子結(jié)構(gòu)的特征，便直接給出一元一次方程的概念，導(dǎo)致師生都糾結(jié)諸如x+1=x-2的式子是不是一元一次方程.

2. 形式過(guò)度，忽略對(duì)知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系

數(shù)學(xué)概念是基于對(duì)現(xiàn)實(shí)事物的認(rèn)識(shí)，并不斷對(duì)其內(nèi)涵和外延進(jìn)行校準(zhǔn)而得到的合理、科學(xué)、完整的結(jié)果. 在形成和同化過(guò)程中，若學(xué)生對(duì)概念的形式過(guò)度記憶，缺少同化的過(guò)程，即缺少與之相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，將無(wú)法理解概念的全貌，難以遷移數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)上升到高一級(jí)的平衡. 例如：在乘方概念教學(xué)時(shí)，不問(wèn)乘方概念形成的必要性、合理性、正確性，只求能機(jī)械地將同因數(shù)的乘法表達(dá)轉(zhuǎn)化為乘方的形式，缺少引導(dǎo)思考“單獨(dú)一個(gè)數(shù)字或字母是冪嗎”“冪的底數(shù)和指數(shù)可以是什么”等，將導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法理解冪的概念全貌.

3. 以練代學(xué)，弱化對(duì)數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用是基于對(duì)問(wèn)題的思考，從問(wèn)題的需要中找到應(yīng)用的必要性，其是培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)思維的重要契機(jī). 如果學(xué)生缺少對(duì)問(wèn)題本身的關(guān)注，過(guò)度聚焦于概念認(rèn)知的易錯(cuò)點(diǎn)，重復(fù)機(jī)械地訓(xùn)練，將導(dǎo)致學(xué)習(xí)淺表化，反思也不足，從而難以提升數(shù)學(xué)思維能力. 例如，教學(xué)平行線的性質(zhì)時(shí)，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生因?qū)W習(xí)“同位角”“內(nèi)錯(cuò)角”“同旁內(nèi)角”時(shí)，以練代學(xué)，導(dǎo)致能力弱化成只有兩直線平行且被第三條直線所截時(shí)，才能找到這三類角.

為規(guī)避以上數(shù)學(xué)概念教學(xué)的誤區(qū)，筆者認(rèn)為可結(jié)合深度學(xué)習(xí)理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)概念教學(xué).

數(shù)學(xué)概念教學(xué)回歸

深度學(xué)習(xí)的教學(xué)改進(jìn)是深化基礎(chǔ)教育課程改革的重要抓手，是落實(shí)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)和課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)踐途徑［2］. 基于初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的要求，教師要明確深度學(xué)習(xí)的主要特點(diǎn)，即“體會(huì)數(shù)學(xué)概念的整體結(jié)構(gòu)和聯(lián)系”“參與數(shù)學(xué)概念的生成過(guò)程的思維活動(dòng)”“感悟數(shù)學(xué)概念的核心內(nèi)容”“形成數(shù)學(xué)概念的準(zhǔn)確表達(dá)和遷移”，回歸數(shù)學(xué)概念教學(xué)的本位. 為此，我們需要尋思策略，重視概念教學(xué)的過(guò)程性和思辨性，以幫助學(xué)生理解概念本質(zhì)、了解學(xué)習(xí)路徑，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維提升. （指向深度學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略如圖1所示）

下面以人教版八年級(jí)下冊(cè)第十九章第一節(jié)第二課時(shí)“函數(shù)的圖象”為例，結(jié)合教學(xué)工作中的交流學(xué)習(xí)和課堂實(shí)踐，繼續(xù)探討指向深度學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略.

1. 基于問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情境

初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是指在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主題，在具體問(wèn)題中，以問(wèn)題為引領(lǐng)線索，全身心參與，取得收獲與發(fā)展的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，數(shù)學(xué)概念教學(xué)也是如此. 因此，問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)要聚焦在“真”，也就是“貼近生活實(shí)際的真問(wèn)題”或“原有知識(shí)體系的真盲點(diǎn)”. 教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生全身心投入，充分地參與思考和交流，初步獲得數(shù)學(xué)概念的直觀印象，為進(jìn)一步研究概念奠基［2］.

問(wèn)題1? 同學(xué)們，在之前的學(xué)習(xí)中，我們認(rèn)識(shí)了函數(shù)的概念，即在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù). 你能在下面各小題所給的信息中找到函數(shù)關(guān)系嗎？

（1）汽車以60 km/h的速度勻速行駛，行駛路程為s km，行駛時(shí)間為t h；

（2）汽車在公路上勻速行駛，表1是行駛時(shí)間與路程記錄；

（3）汽車在公路上勻速行駛，表2是行駛時(shí)間與路程記錄.

問(wèn)題2? 對(duì)比“問(wèn)題1”中的3個(gè)小題，它們滿足同一個(gè)函數(shù)關(guān)系嗎？談?wù)勀愕目捶?

問(wèn)題3? 對(duì)于“問(wèn)題1”中的3個(gè)函數(shù)關(guān)系，可以用其他方法來(lái)表示嗎？

設(shè)計(jì)說(shuō)明? 本節(jié)仍然屬于函數(shù)學(xué)習(xí)的起始課，學(xué)生知道函數(shù)關(guān)系可以用圖形來(lái)呈現(xiàn)，但對(duì)函數(shù)的圖象未形成準(zhǔn)確的概念. 對(duì)三個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題差異性的比較，能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)函數(shù)的本質(zhì)，明確函數(shù)關(guān)系式與有序數(shù)對(duì)存在對(duì)應(yīng)關(guān)系. （如圖2所示）

2. 基于實(shí)踐，深思抽象

概念教學(xué)的獲得方式主要有形成和同化兩種. 從大量的同類事物不同例證中，找到這些事物的關(guān)鍵屬性，抽象表達(dá)，形成概念的雛形，這是概念的形成過(guò)程；對(duì)關(guān)鍵屬性進(jìn)行演繹和舉證，明確符合概念需求的必要條件，不斷探究概念外延邊界，這就是概念的同化過(guò)程. 兩者不分伯仲，相輔相成，持續(xù)交替過(guò)程，使得學(xué)生對(duì)概念的理解不斷深刻，形成全貌，最終將新的概念納入已有的概念系統(tǒng)中［3］.

問(wèn)題4? 你能根據(jù)表1、表2的信息，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)圖刻畫(huà)這個(gè)函數(shù)關(guān)系嗎（如圖3所示）？

問(wèn)題5? 參考“問(wèn)題4”的做法，你能用圖形刻畫(huà)“問(wèn)題1”中的函數(shù)關(guān)系嗎？

問(wèn)題6? 為解決“問(wèn)題5”，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，怎么找到有序數(shù)對(duì)？你能找到多少對(duì)有序數(shù)對(duì)？請(qǐng)畫(huà)圖.

問(wèn)題7? 有限的點(diǎn)能完整表示“問(wèn)題1”的函數(shù)關(guān)系嗎？為什么？（如圖4①②所示）

問(wèn)題8? 想象這無(wú)限個(gè)點(diǎn)所組成的表示問(wèn)題1的函數(shù)圖形，并談?wù)勀愕目捶? （如圖4③所示）

設(shè)計(jì)說(shuō)明? 函數(shù)的圖象的概念是基于對(duì)函數(shù)的圖形表示，在畫(huà)圖過(guò)程中，結(jié)合函數(shù)的概念，進(jìn)一步明確這種圖形表示函數(shù)關(guān)系的方式是必要的、合理的、正確的，從而給函數(shù)圖象下定義，即“一般地，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象”.

必須強(qiáng)調(diào)，函數(shù)的圖象是刻畫(huà)函數(shù)關(guān)系的形式，即函數(shù)關(guān)系中存在怎樣的變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（數(shù)量關(guān)系）和對(duì)應(yīng)表示（有序數(shù)對(duì)），決定了圖形的結(jié)果. 教學(xué)時(shí)教師要重視學(xué)生的實(shí)踐描點(diǎn)程序，從而讓學(xué)生感受到有限點(diǎn)和無(wú)限點(diǎn)均是對(duì)具體實(shí)際中函數(shù)模型的刻畫(huà)，這些圖形都是與其函數(shù)關(guān)系對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象. 還要指出，用函數(shù)圖象就能直觀地解釋“問(wèn)題1”中，s隨著t的變化而變化這一持續(xù)不斷的過(guò)程，能讓學(xué)生思考和感受函數(shù)圖象這一概念的形成.

圖3、圖4能進(jìn)一步讓學(xué)生感受到函數(shù)圖象的生成過(guò)程，認(rèn)同和理解函數(shù)圖象的本質(zhì)，接受函數(shù)圖象的概念，為后續(xù)主動(dòng)建立函數(shù)圖象研究函數(shù)問(wèn)題筑基.

此外，在教學(xué)實(shí)踐中，教師還可以進(jìn)一步利用幾何畫(huà)板等信息技術(shù)手段，讓學(xué)生進(jìn)一步感受在取值、描點(diǎn)過(guò)程中，不斷變化的點(diǎn)，且觀察追蹤點(diǎn)的軌跡所形成的圖形（如圖5所示），不斷檢驗(yàn)演繹推理的合理性.

3. 基于思辨，教學(xué)認(rèn)同

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，基于對(duì)數(shù)學(xué)概念的定義，為了避免過(guò)度形式化的誤區(qū)，教師可以加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念與其他知識(shí)的不斷聯(lián)系，通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題串，引發(fā)學(xué)生思考，使他們?cè)谒急娴倪^(guò)程中，建立起跨單元有關(guān)知識(shí)的縱向聯(lián)系和新情境有關(guān)問(wèn)題的橫向遷移，強(qiáng)化概念定義下一般與特殊、特殊與特殊多維度的辯證統(tǒng)一關(guān)系.

問(wèn)題9? 結(jié)合上述探究，請(qǐng)你談?wù)労瘮?shù)關(guān)系式與函數(shù)圖象之間的聯(lián)系（如圖6所示）.

問(wèn)題10? 結(jié)合上述探究，請(qǐng)嘗試歸納根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，畫(huà)函數(shù)圖象的一般步驟（如圖7所示）.

問(wèn)題11? 請(qǐng)完善“問(wèn)題1”的圖象，并根據(jù)畫(huà)函數(shù)圖象的一般步驟，嘗試畫(huà)出函數(shù)y=x2的圖象.

設(shè)計(jì)說(shuō)明? 持續(xù)追問(wèn)能讓學(xué)生在實(shí)踐中進(jìn)一步理解概念，能將知識(shí)轉(zhuǎn)化為可用程序進(jìn)行操作的內(nèi)容. 教學(xué)時(shí)，教師要充分實(shí)踐，反芻概念的生成過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念本質(zhì).

4. 基于應(yīng)用，訓(xùn)練提升

數(shù)學(xué)概念教學(xué)也要回歸應(yīng)用價(jià)值，這種回歸是基于概念的深度學(xué)習(xí)后，對(duì)概念有比較深刻的理解，能在新情境，即各種不同的表達(dá)形式下，找到情境中概念的存在，并能結(jié)合已有知識(shí)進(jìn)行判斷和思考，用合適的方式表達(dá)結(jié)論，解決問(wèn)題. 在問(wèn)題的解決過(guò)程中，學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，真正落實(shí)了學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.

問(wèn)題12? 圖8是某函數(shù)關(guān)系的圖象，其中x是自變量，y是x的函數(shù)，則此函數(shù)關(guān)系式可能是（ ? ?）

問(wèn)題13? 已知正方形的邊長(zhǎng)為x，周長(zhǎng)為C，則周長(zhǎng)C關(guān)于邊長(zhǎng)x的函數(shù)圖象可能是一條（ ）

A. 直線 ? ?B. 射線

C. 線段 ? ? D. 曲線

設(shè)計(jì)說(shuō)明? 函數(shù)的解析式和圖象是函數(shù)關(guān)系的不同表達(dá)形式，學(xué)生在思辨過(guò)程中去情境化，能進(jìn)一步感悟函數(shù)解析式和函數(shù)圖象互相成就. 學(xué)生在練習(xí)中經(jīng)歷多方舉證，拓寬了對(duì)函數(shù)圖象概念認(rèn)識(shí)的廣度，講練結(jié)合，達(dá)到了個(gè)體認(rèn)知再升級(jí)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)科潛能.

結(jié)語(yǔ)

深度學(xué)習(xí)理論契合課程改革，其既是一種理念，又是一種實(shí)踐指導(dǎo)策略. 一線教學(xué)不斷改進(jìn)教學(xué)方法，形成教學(xué)策略，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)概念深度學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)教師的共同追求，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的重要抓手. 基于筆者個(gè)人水平，關(guān)于指向深度學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)，還有諸如基于數(shù)學(xué)概念分類的教學(xué)策略研究的廣闊空間，現(xiàn)謹(jǐn)以此文，與君共勉.

參考文獻(xiàn)：

［1］王淼生. 概念：數(shù)學(xué)教學(xué)永恒主題［M］. 廈門：廈門大學(xué)出版社，2018.

［2］劉曉玟. 深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)（學(xué)科教學(xué)指南·初中數(shù)學(xué)）［M］. 北京：教育科學(xué)出版社，2019.

［3］林祥華. 初中數(shù)學(xué)多元目標(biāo)與教學(xué)策略［M］. 福州：福建教育出版社，2020.