趙斌 毛肖肖 田申誠 曹焱 董祥美 高秀敏

摘要：為減少待測物體位置變化時光譜系統(tǒng)受到的噪聲干擾以及峰值定位誤差，基于卡爾曼濾波算法原理，提出一種將 Voigt 尋峰定位的結果作為觀測誤差并進行最優(yōu)估計來提升共焦系統(tǒng)測量精度的方法。先進行標定實驗，確定光譜共焦系統(tǒng)的測量范圍及精度；再依次對比中值濾波、Savitzky-Golay 濾波以及快速傅里葉變換濾波等對光譜信號去噪的處理情況，并選用高斯、洛倫茲以及 Voigt擬合等方法尋峰定位。同時，分析了 Voigt擬合中的峰值提取、高斯寬度、洛倫茲寬度以及幅值誤差對擬合精度的影響。實驗結果表明，系統(tǒng)的測量范圍可達3 mm ，中心光斑半徑增大了近1.79倍，采用卡爾曼濾波算法能夠降低系統(tǒng)中的噪聲引起的定位誤差且系統(tǒng)精度能夠提升11倍，滿足高精度的測量需求。

關鍵詞：光譜共聚焦系統(tǒng)；卡爾曼濾波；Voigt 擬合；誤差函數(shù)

中圖分類號： O 433.1 文獻標志碼： A

Method to improve the accuracy of spectral confocal?measurement based on Kalman filtering algorithm

ZHAO Bin，MAO Xiaoxiao ，TIAN Shencheng ，CAO Yan，DONG Xiangmei ，GAO Xiumin

（School of Optical-Electrical and Computer Engineering， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract： To reduce the noise interference and peak positioning error of the spectral system when the position of the object to be measured changes， based on the principle of Kalman filtering algorithm， a method is proposed to improve the measurement accuracy of the confocal system by taking the results of Voigt peak-finding and positioning as the observation error and making the optimal estimation. In this work， calibration experiments are carried out to determine the measurement range and accuracy of the spectral confocal system. Then， the denoising processing of spectral signals such as median filtering， Savitzky-Golay filtering， and fast Fourier transform filtering is compared in turn， and Gaussian， Lorentz， and Voigt fitting methods are used to find peaks. At the same time， the effects of peak extraction， Gaussian width， Lorentz width， and amplitude error on fitting accuracy in Voigt fitting are analyzed. The experimental results show that the measurement range of the system can reach 3 mm， and the radius of the central spot changes by nearly 1.79 times， The Kalman filtering algorithm can reduce the positioning error caused by noise in the system， and the system accuracy can be improved by 11 times to meet the requirements of high-precision measurement.

Keywords： spectral confocal system；Kalman filtering；Voigt fitting ；error function

引 言

光學無損測量是工業(yè)上首選，位移檢測技術作為幾何參量精密測量的基礎逐步趨于實時、無損方向發(fā)展[1]。隨著工業(yè)加工工藝的快速發(fā)展，對精密測量技術有了更高的要求，常用的光學檢測方法有激光三角法[2]、雙目視覺法[3]、白光干涉法[4]、激光共焦法[5]、分布式光纖法[6]以及光譜共焦法（chromatic confocal measure）[7]。共焦測量作為高精度的位移測量方法，與被測表面之間形成良好的軸向響應，與目前其他常用的光學測量方法相比，測量光路采用共軛結構，對周圍雜散光具有很好的抑制作用。

1957年， Minsky[8]首次提出共焦顯微鏡的思想。 Molesini 等[9]搭建了第一臺表面輪廓儀。隨后眾多國內(nèi)外研究人員對共焦系統(tǒng)作了深入研究[10-11]。因其高精度、易于集成的優(yōu)勢，共焦系統(tǒng)在測量前無需對測量樣品進行處理就可以實現(xiàn)快速非接觸式在機測量，它的測量精度可以達到亞微米級別[12]，在工業(yè)精密加工[13]、生物組織病變檢測[14]、核工業(yè)環(huán)境下的器件檢測[15]以及薄膜厚度測量[16-17]等領域都出現(xiàn)了它的身影。共聚焦顯微鏡的軸向分辨率不僅取決于光學特性，而且還取決于所選用的峰值提取算法，準確可靠的峰值提取起著至關重要的作用。然而，現(xiàn)有的峰值提取算法易受隨機噪聲的影響，降低了最終的測量精度。對此，李春艷等[18]提出基于廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡（GRNN）擬合算法能夠有效地抑制波長提取引起的波動，從而提高系統(tǒng)測量的分辨率與穩(wěn)定性。Rahlves 等[19]討論了各種噪聲源對共聚焦強度信號評估算法的影響，利用高斯誤差傳播規(guī)律分析測量系統(tǒng)的不確定度。 Li 等[20]利用自適應模態(tài)分解方法提取峰值信息，該算法能夠有效地提取出重疊的峰值，精度提高約40%。Chen 等[21]考慮了各種噪聲源對共聚焦強度信號評估算法的影響，提出表面高度（SHD）的評估模型，峰值提取精度比現(xiàn)有算法有顯著提高。 Luo 等[22]提出修正的擬合微分算法（CFDA）來準確、高效地提取峰值，計算效率提高約100倍。

然而，對光譜信號中存在的噪聲，需要選用合適的濾波方法進行處理后再進行尋峰定位，定位結果對濾波數(shù)據(jù)有很強的依賴性，濾波結果的準確性影響了共焦系統(tǒng)最終測量精度。因此，為進一步提高光譜共聚焦測量結果的可靠性，本文采用卡爾曼濾波算法來降低尋峰定位結果誤差，利用狀態(tài)方程的遞推性，采用遞推算法對尋峰結果誤差進行最佳估計，能夠有效提升共焦系統(tǒng)位移測量的準確性。

1 測量原理

根據(jù)光線傳播的色散特性可知，復色光束經(jīng)過透明材料后，由于玻璃材料對各單色光的折射角不同而發(fā)生分離，這導致不同波長的光束會聚在光軸上不同位置處[23]。其測量原理如圖1所示，位移量與焦距值之間的編碼是光譜共焦位移測量系統(tǒng)實現(xiàn)的關鍵[9]。

基于共焦檢測的高分辨率優(yōu)勢，整個系統(tǒng)由電流控制開關裝置、白光 LED 光源、可調(diào)光闌、平凸透鏡、準直透鏡、分光棱鏡、色散透鏡、步進電機、三維位移臺、光譜儀以及彩色相機等組成。通過電源驅動開關控制白光 LED 光源向待測表面發(fā)射復色光，經(jīng)過光闌濾除周圍雜散光后，在平凸透鏡的焦點處會聚成為一個點光源，經(jīng)準直整形成為一束平行光，色散物鏡將沿著軸向傳輸?shù)钠叫泄膺M行色散，照射在待測表面位置上，光譜儀接收來自表面焦點處反射的單色光波長。在共焦系統(tǒng)中，由于光波的選擇特性，經(jīng)過色散鏡頭后的出射信號在光譜采集系統(tǒng)上可以獲得其光譜分布，它的測量精度與光譜分辨能力密切相關。

通過建立光波色散與軸向位置之間的對應線性關系，在系統(tǒng)測量范圍內(nèi)，采集待測位置的共焦波長，并記錄變化的光譜峰值波長，進而得到物體的位移數(shù)值。根據(jù)共焦理論，其軸向分辨能力與接收的光強有關，在理想情況下，軸向離焦量與共焦光強響應之間存在如下關系[13]

式中： a是孔徑； f 是焦距；λ是波長； u是歸一化光瞳坐標，

各單色光波長λi與焦距 f （λi）之間的線性關系，則可以表示為[13]

它的測量范圍可以用下式表示

式（4）建立了光波長和位移之間的對應關系，而線性度和分辨率是衡量測量精度的重要指標。根據(jù)光的衍射傳播特性，當被測物體放置于傳感器的共焦位置處，采用逐點掃描的方法，此時經(jīng)過孔徑光闌后在探測器上獲得軸向峰值光強，峰值光強會隨著離焦量的變化而變化。根據(jù)瑞利準則，軸向光強響應的光譜帶寬的半峰全寬（full width at half maximum， FWHM）作為系統(tǒng)分辨力的評價指標[13]。

2 實驗結果及分析

2.1 標定實驗

光譜共焦傳感系統(tǒng)標定實驗需要校正標定曲線用于實際測量，標定實驗裝置如圖2所示。實驗中通過數(shù)字穩(wěn)壓直流電源給顯示器供給 CMOS激光三角位移傳感器（LK-H050基恩士）實時反饋步進電機的實際位移。標定過程目的是確定峰值波長與位移對應關系。校準范圍為3 mm，采用薄墊片（GCM-030142M Daheng， Ψ=4.5， h=1 mm，大恒）通過三維電機驅動（GCD-040101M）步進位移臺以單次100?m 的等距沿著軸向位移，共移動30個位置，在每個位置重復測量20次，記錄光譜儀（ SpectraNexus ， Nahon 工作波段280～980 nm ，分辨精度為0.02 nm）采集的光譜信號。該信號一般呈現(xiàn)單峰強度響應特征，每個位置的數(shù)據(jù)取20次的均值結果作為最終位移。

白光光源的工作波長為400～750 nm，準直鏡頭選用（BE 20-1064，Thorlabs），平凸透鏡的焦距為75 mm，選用彩色相機（DFK 33UJ003）采集標定實驗中各個位置處的光斑與位移的變化情況。當待測物體通過驅動步進位移臺沿軸向位置向共焦測量系統(tǒng)移動時，其波長也隨著物體位置而改變，光斑的變化情況如圖3所示。

由于反射式共焦系統(tǒng)的共軛特性，其位置與波長之間的變化規(guī)律滿足色散與位置的對應關系。電機驅動的固定單步移動步長為0.1 mm，速度為2.94 mm/s，步進精度為0.0025 mm。當待測物體經(jīng)過電機驅動位移臺移動3 mm位置時，記錄每個位置處的彩色光斑圖像。光斑半徑由最初的0.4 mm增至0.8 mm，除了中心白光的環(huán)半徑在逐漸變大以外，其顏色也隨之發(fā)生改變，由藍色逐漸變?yōu)榫G色、黃色、紅色，在整個運動步長上的光斑半徑變化約為1.79倍。

2.2 峰值擬合準確性

光譜采集系統(tǒng)所獲取的光譜數(shù)據(jù)中還富含噪聲（黑色線條），如圖4（a）所示，為了獲取準確的光譜測量結果，將光譜儀上每個位置處采集的20個均勻的離散數(shù)據(jù)點進行濾波處理。選用中值濾波（綠色線條）、Savitzky-Golay（S-G）濾波（紅色線條）以及快速傅里葉變換（FFT）濾波（藍色線條）分別進行信號處理，對比三種常用的濾波方法的效果，如圖4（a）所示。通過對原始光譜數(shù)據(jù)的處理，中值濾波能夠有效提升濾波效果，噪聲相對于其他兩種方法會有降低。因此，選用中值濾波算法作為本實驗的光譜數(shù)據(jù)去噪方法。同時，經(jīng)過濾波后的光譜數(shù)據(jù)選用高斯擬合、洛倫茲擬合以及 Voigt 擬合等三種常用高精度擬合算法進行尋峰定位，選取四個位置進行三種尋峰比對，結果如表1所示。

由于采集系統(tǒng)的硬件以及反射回采集光路中的光強損耗等因素都會對譜峰定位引入誤差，需要對采集的信號進行預處理后再用適當?shù)乃惴ㄌ崛》逯挡ㄩL。選用高精度的擬合方法來實現(xiàn)譜峰定位，表1對三種尋峰算法進行了詳細比較，在相同時間內(nèi)，擬合精度最高的是 Voigt 擬合方法，線性回歸系數(shù) R2超過了其他兩種方法。其次，洛倫茲擬合的迭代次數(shù)最少，擬合精度也是三種算法中最低的，高斯擬合的精度及迭代次數(shù)較為適中。針對高精度的尋峰定位，首選 Voigt擬合方法，它的迭代次數(shù)以及精度更高。同時，存在一個最優(yōu)的測量間隔，從中也可以提取出線性度較好的校準曲線，對每個位置采用 Voigt 擬合方法，7個線性位置（0.7 mm）擬合的峰值曲線如圖4（b）所示。處理光譜數(shù)據(jù)的最終目的是獲取更高精度的擬合結果，需要深入研究各個輸入?yún)?shù)對擬合精度的影響。Voigt 函數(shù)是高斯與洛倫茲函數(shù)的卷積，擬合函數(shù)如下：

式中； C 是一個常數(shù)； Wl 和 Wg分別是洛倫茲寬度和高斯寬度；λ和λ0分別是探測光譜波長和峰值中心波長。對 Voigt 擬合方法各個量進行誤差擬合，誤差曲線如圖5所示。利用觀測點數(shù)據(jù)的殘差加權平方2來判定擬合效果，從圖5擬合曲線可以看出四個參數(shù)的擬合效果有顯著的提升，圖5（a）中中心峰值的擬合仍存在微小的擬合誤差，圖5（b）（d）中擬合效果都達到最佳，但通過上述精確的校準實驗仍然存在測量誤差。因此，需要選用更加適合的方法來進一步提升測量精度。

2.3 卡爾曼濾波

卡爾曼濾波（Kalman filtering）方法[24]在信號處理領域應用廣泛，利用狀態(tài)方程的遞推性，按線性無偏最小均方誤差估計準則，采用遞推算法對觀測結果誤差進行最佳估計，實現(xiàn)位移的準確測量。由于估計值和測量值之間都存在不確定性，為了使預測誤差不確定性達到最小，選擇一種合適的方法有利于提高共焦測量的精度，此外，基于波長和位移之間的線性關系光譜噪聲還滿足高斯分布。基于最優(yōu)估計的濾波算法，將前一時刻的預測結果和此次的測量之間的加權平均結果進行對比，調(diào)節(jié)增益實現(xiàn)準確的估計值迭代，以此來達到最優(yōu)篩選。因此當前時刻的狀態(tài)估計可以表示為

式中： W 是估計噪聲，服從高斯分布； Q 是 W 的方差；A 是狀態(tài)轉移矩陣；B 是控制矩陣。因此，先驗估計狀態(tài)的不確定性可以表示為

為了讓先驗估計和測量的方差在所有的增益 Kk取值達到最小，通過這個參數(shù)決定更相信估計值還是測量值。

式中：R 為測量噪聲 V 的方差，而傳感器測量誤差是一個固定的數(shù)據(jù)；H 是觀測矩陣。通過式（8）可得最優(yōu)狀態(tài)估計值為

Z k 是觀測向量，最優(yōu)狀態(tài)估計值的協(xié)方差矩陣可以表示為

通過式（6）～（10）可知，在預測的同時，本身就引入了新的噪聲，基于上一個位置 k 點做預測，必然會引入不確定性誤差，融合先驗狀態(tài)估計值 Xk和測量值 Z k ，使最終的結果中包含噪聲成分最少，從而求出增益 Kk 。將此次輸出協(xié)方差矩陣值（不確定性）作為下一次估計值協(xié)方差矩陣輸入更新，如此一來，不斷迭代達到最佳預估結果。本文實驗采用了高精度 CMOS 激光三角位移傳感器（LTD），它的測量誤差為0.025?m，電機步進位移臺定位精度為10?m，光譜共焦測量結果曲線如圖6（a）所示，在30個位置的測量結果基本滿足線性關系。

卡爾曼濾波方法需要將 Voigt 擬合尋峰定位后的位移值作為觀測值進行迭代。從圖6（b）可以看出，在初始位置的效果并不是很明顯，誤差為0.12 mm，三角法與共焦法的測量誤差為12.67%，共焦法經(jīng)多次迭代后與真值的定位誤差僅為0.0107 mm，平均誤差為2.84?m，而真值的結果與步進電機移動位置有關，它的定位精度同樣也為10?m。因此，共焦測量結果與步進位移臺移動的定位誤差相符，經(jīng)過卡爾曼濾波后定位精度提升了1.071%，相較于僅僅利用中值濾波與 Voigt 擬合方法的精度提升了11倍。通過以上分析可知，選擇卡爾曼濾波算法能夠有效提升光譜共焦測量系統(tǒng)的測量精度。

3 結 論

綜上，在光譜共焦位移傳感器測量實驗中，通過對標準平面進行校準，利用中值濾波方法有助于降低光譜采集系統(tǒng)中存在的電流干擾噪聲。選用高精度的 Voigt擬合方法來提取峰值光譜，它的擬合精度高于高斯和洛倫茲擬合。此外，為進一步減小擬合誤差，還評估了 Voigt 擬合算法中的中心峰值提取、幅值位置以及 FWHM 等主要參數(shù)對峰值提取精度的影響。利用卡爾曼濾波算法能夠將定位精度提升1%，且光譜共焦測量系統(tǒng)的精度提升了11倍，測量誤差與步進位移臺的偏差都為0.01 mm，驗證了卡爾曼濾波算法能夠對光譜數(shù)據(jù)濾波尋峰后的誤差進行有效改善，證明了卡爾曼濾波方法的可行性，進而實現(xiàn)了光譜共焦高精度測量。在核工業(yè)、精密機床加工和電子元件高精度檢測等領域，它是一種非常有前途的檢測方法，為高精度的工業(yè)檢測應用提供參考。

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（編輯：張磊）