單曉 龍耀強 武文 梁焰

摘要：設計了基于雪崩光電二極管的光子數可分辨單光子探測器，采用短脈沖門控信號結合電容平衡噪聲抑制方案實現(xiàn)了單通道100 MHz、探測效率40.5%的高性能探測，配合空間分束，有效分辨入射光子數目。為了更完整地描述探測器的量子特征，引入量子探測器層析技術，由單通道單光子探測器入手，到雙通道光子數可分辨探測器，進行了量子層析標定，重新構建了其正值算符測度矩陣以及對應的 Wigner 函數。結果表明，雙通道100 MHz光子數可分辨探測器可實現(xiàn)量子探測。

關鍵詞：電容平衡；光子數可分辨探測；量子探測器層析；正值算符測度矩陣；Wigner 函數中圖分類號： TN 215 文獻標志碼： A

Quantum tomography calibration of 100 MHz?photon-number-resolving detector

SHAN Xiao，LONG Yaoqiang，WU Wen，LIANG Yan

（School of Optical-Electrical and Computer Engineering， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract： In this paper， we designed a photon-number-resolving single-photon detector based on an avalanche photodiode， which used a short-pulse gated signal combining with a capacitive balanced noise suppression scheme to achieve a single-channel high-performance detection of 100 MHz with a detection efficiency of 40.5%， and effectively resolved the number of incident photons with spatial beam splitting. In order to more completely describe the quantum characteristics of the detector， we introduced the quantum detector tomography technology， starting from the single-channel single-photon detector to the dual-channel photon-number-resolving detector， performed quantum tomography calibration， reconstructed its positive-operator-valued measure matrix and the corresponding Wigner function， and established the corresponding theoretical model. The results show that the dual-channel 100 MHz photon-number-resolving detector can achieve quantum detection.

Keywords： capacitance balancing ； photon-number-resolving detection ； quantum detector?tomography；positive-operator-valued measure matrix；Wigner function

引 言

傳統(tǒng)的單光子探測器是開關型單光子探測器，輸出結果只有0和1，無法從這類探測器的輸出中獲得具體的光子數信息。近年來，光子數可分辨探測器（photon-number-resolving detector， PNRD）[1]因其可以探測光子數量信息，被應用于激光雷達[2]、量子成像[3]、超分辨率[4]等多個領域。迄今為止，高性能光子數可分辨探測技術包括基于光電倍增管（photomultiplier tube， PMT）陣列[5]的 PNRD，超導相變邊緣傳感器 （superconducting transition-edge sensor， TES）[6]，超導納米線單光子探測器（superconducting nanowire single-photon detector， SNSPD）[7]，量子點場效應管（quantum dot field effect transistor， QDFET）[8]，基于雪崩光電二極管（ avalanche photodiode， APD）陣列[9]的 PNRD?；?PMT 陣列的 PNRD 常使用多個 PMT 并聯(lián)的形式實現(xiàn) PNR 探測，但由于 PMT 需要上千伏的偏置電壓，穩(wěn)定性和實用性低，限制了其應用。 TES 利用超導薄膜吸收光子后的溫度變化實現(xiàn)單光子探測，由輸出信號的幅度與吸收的光子數成比例實現(xiàn) PNR 探測，但是該探測器的工作速率不高，熱效應導致時間抖動相對較大，并且需要0 K 左右的工作環(huán)境，限制了其應用。 SNSPD 利用超導材料吸收光子后電阻率的變化實現(xiàn)單光子探測，通過多個超導納米線并聯(lián)輸出實現(xiàn) PNR 探測。但是超導納米線的工藝要求非常高，同時也需要苛刻的溫度條件，不利于集成和便攜。 QDFET 利用低溫環(huán)境下半導體材料的量子點捕獲光子信號產生載流子而產生的電導率變化不同實現(xiàn) PNR 探測，需要4 K 左右的低溫環(huán)境，實用性不高。基于 APD 的 PNRD 具有體積小、易集成、功耗低、探測效率高、暗計數低、時間抖動低等特點，越來越多地集成在應用系統(tǒng)中。 InGaAs/InP APD可以響應近紅外波段的單光子，通常工作在門控蓋革模式下[10]，只有光子到來時才開啟探測，這樣可以有效降低暗計數和后脈沖概率。由于 APD 具有電容特性，門控信號經過 APD 以及雪崩信號的提取電阻會產生尖峰噪聲。為了抑制尖峰噪聲，采用了短脈沖門控信號結合電容平衡噪聲抑制方案，尖峰噪聲抑制比為12.3 dB，信噪比為14.6 dB，實現(xiàn)了單通道100 MHz 、40.5%探測效率的高性能探測，暗計數率在探測效率10.3%時僅有2：4×10?7/門。通過空間復用形成雙通道 PNRD 能夠有效分辨入射光子數目。為了更完整地表征 PNRD，在測試單光子探測器傳統(tǒng)性能參數的基礎上，引入量子探測器層析（quantum detector tomography， QDT）[11]技術對單個100 MHz單光子探測器以及 PNRD 進行標定，重構了相應的正值算符測度（positive-operator-valued measure， POVM）矩陣和 Wigner函數，與建立的 POVM 理論模型相互驗證，充分表征了探測器的量子特征。

1 100 MHz 單光子探測器探測方案

1.1 100 MHz 單光子探測器探測原理

APD 兩端反向偏壓加至雪崩電壓之上，APD 處于蓋革模式，利用其在蓋革模式下的高增益輸出來探測單光子信號。選擇門控方案，將短脈沖門控信號疊加到反向偏壓上，利用門控信號的高低電平分別進行探測和雪崩淬滅。通過調節(jié)光和門的延時，門控信號準確探測目標光子信號，該方式誤計數低，并且可以提升探測器的工作速率。APD 的容性特征會引入尖峰噪聲淹沒微弱的雪崩信號。目前，門控方案下常用的尖峰噪聲抑制方案有帶通濾波、低通濾波、自差分平衡、等效電容平衡等方法[12]。本實驗選擇等效電容平衡法，使用與 APD 結電容相似的等效電容模擬 APD 產生的尖峰噪聲，反相后進行差分抑制。常用二極管、可調電容、APD 作為等效電容，考慮到 APD 成本高昂，可調電容在特性上與 APD 存在差異，最終采用 PIN 管來模擬APD 的結電容從而實現(xiàn)差分抑制尖峰噪聲，通過改變 PIN 管兩端的直流偏置可以調整其等效電容，最大程度地模擬 APD 的容性特征。如圖1所示，?APD 的型號為?GD5522-SM-FC/UPC（中國電子科技集團公司四十四研究所），制冷溫度為?50℃。門控信號頻率為100 MHz，脈寬為1 ns ，經?APD 以及提取電阻?R2在?a 點產生尖峰噪聲，將?PIN 與?APD并聯(lián)，滑動變阻器?R2調節(jié)?PIN 兩端的偏置電壓，經提取電阻?R3在?b 點產生與?APD 相似的尖峰噪聲，?a 接?MTNT同相輸入端，?b 接其反相輸入端，在?MTNT 的輸出端?c 點得到差分抑制后的尖峰噪聲以及?APD 的雪崩信號。由于 APD 的雪崩信號幅度較小，在c 點后加入了一個放大器 AMP，可以將信號放大10倍。在 d 點測得放大之后的尖峰噪聲及雪崩信號如圖2所示：圖2（a）為 a 點放大后的尖峰噪聲，幅度為192.8 mV；圖2（b）為 PIN反相放大后的尖峰噪聲，幅度為191.9 mV；圖2（c）為放大抑制后的尖峰噪聲，幅度為46.6 mV；圖2（d）為放大后的雪崩信號，幅度為251.1 mV。尖峰噪聲抑制比為12.3 dB，信噪比為14.6 dB，該方案很好地抑制了 APD 產生的尖峰噪聲。

1.2 100 MHz 單光子探測器的性能參數測試

本實驗中，基于后文研究的 POVM 理論模型主要對單光子探測器的探測效率、暗計數率、后脈沖概率進行測量。探測效率指的是探測器響應光子的概率[13]。實驗中，使用的門控信號頻率為100 MHz，將重復頻率為10 MHz的1550 nm 皮秒激光器輸出功率衰減到單光子級別，在一定直流偏置電壓下，測得探測器開光時的計數率 Pphoton和關光時的計數率 Pdark ，則探測效率η可表示為

式中：μ為平均入射光子數；flaser為激光器重復頻率。暗計數率為探測器關光時計數率與門控信號重復頻率的比值。后脈沖計數是 APD 材料的晶格缺陷導致捕獲的載流子在蓋革模式下也會觸發(fā)雪崩產生的誤計數，使測得的光計數高于實際值。后脈沖概率 PA定義為光子計數后的總后脈沖計數與光子計數的比值，可表示為

式中： Cno一photon 為探測門內沒有光子入射時的每門計數率；C photon為探測門內有光子入射時的每門計數率； C dark為沒有光子入射時的每門暗計數率；flaser 為激光器重復頻率；fgate 為門控信號重復頻率。

調節(jié)加載在 APD1上的偏置電壓，測得探測器不同工作點的各參數情況，如表1所示，隨著探測效率不斷升高，暗計數率與后脈沖概率也在逐漸增加，但暗計數仍處于百赫茲量級。在探測效率小于20%時，后脈沖概率增加較小，均小于5%，在探測效率為30%～40%時，增加較快，由42.2%升高至78.5%。APD 在蓋革模式時，由于內部的材料生長缺陷等原因，入射光子在倍增區(qū)產生的大量電子空穴對在外加電場的作用下高速移動，一些載流子被缺陷捕獲。雪崩抑制之后，被捕獲的載流子被釋放出來，并且在電場的作用下會再次觸發(fā)雪崩產生后脈沖。隨著偏壓的增加，光生載流子無規(guī)則移動碰撞越激烈，產生更多的載流子，因此缺陷捕獲的載流子的數量也隨之增加，導致后脈沖計數也不斷增加，后脈沖概率非線性增長。我們還測試了 PNRD 中APD2的性能參數，在高壓63.64 V時，探測效率為10.2%，暗計數率為1：6x 10一7/門。

2 量子探測器層析

2.1 量子探測器層析原理

目前，量子探測器的特征主要通過探測效率、暗計數、后脈沖概率等參數來進行描述。雖然這些參數可以有效描述量子探測器的主要特征，但是如果想要全面表征一臺量子探測器，這些參數還遠遠不夠。 QDT 可以全面表征探測器，為表征量子探測器提供了新的方案。如圖3所示，可以把一臺探測器看作一個“黑盒”，通過準備好的入射態(tài)密度矩陣ρ ， 以及測得的探測器對應所有入射態(tài)的輸出結果的輸出計數并計算相應的概率分布，可以推算出探測器的 POVM矩陣。 POVM 矩陣將輸入信號的量子態(tài)信息與探測器的經典輸出聯(lián)系起來。根據波恩定則，量子探測器輸出結果 z 的概率 Pz 可以表示為[14]

式中：ρ為入射態(tài)密度矩陣； z 代表探測器輸出結果有 z 種， z 為量子探測器的 POVM 矩陣。POVM 矩陣滿足： Σz z =1， z ≥0。

2.2 開關型單光子探測器 POVM 理論模型建立

本文使用的單光子探測器屬于開關型單光子探測器，為了研究探測器傳統(tǒng)性能參數與基于QDT 重構的 POVM 矩陣表征探測器的區(qū)別，建立開關型單光子探測器 POVM 理論模型。由于理想型開關型單光子探測器探測效率為100%，暗噪聲、后脈沖、時間抖動等參數都為零，則相應的 POVM 矩陣可表示為 off =|0〉〈0|， on =|1〉〈1|。當 n個光子輸入時，只考慮探測效率η的單光子探測器對應 POVM 矩陣可以表示為

除了探測效率之外，單光子探測器還受暗計數的影響，假設暗計數符合泊松分布。ν表示每脈沖平均暗計數，所以探測器探測到 a個暗計數的概率為 e-ν [15]。則考慮探測效率和暗計數的開關型單光子探測器 POVM 矩陣可以表示為

為了簡化計算過程， POVM 理論模型不考慮后脈沖概率的影響。

2.3 雙通道光子數可分辨探測器的 POVM 理論模型建立

本文使用的雙通道 PNRD 由 APD1和 APD2空間復用組成，如圖4所示，每個探測器之前放置1∶1分束器。基于上述所提的開關型單光子探測器 POVM 理論模型，雙通道 PNRD 的 POVM 矩陣通式為 0=∑0θ0;n|n〉〈n|， 1=∑1θ1;n|n〉〈n|， 2=1- 0- 1。假設 APD1和 APD2具有完全相同的探測效率η和暗計數率 v ，總探測效率仍是η ， 總的暗計數率為兩個單光子探測器之和，為2v 。若 APD1和 APD2均不響應，那么 PNRD輸出為0，對應的 POVM 矩陣為

由于每個探測器前面加了1∶1分束器，每個探測器探測效率為η ， 暗計數率為 v ，則任意一臺探測器輸出為0的概率為 e-v （1-η）n 。當只有 APD1或 APD2響應時， PNRD 輸出為1，對應的 POVM 矩陣為

當兩個探測器同時響應時，即 PNRD 輸出為2時，則利用 POVM 矩陣的完備性，有 2=1- 0- 1。

2.4 Wigner 函數

在得到 POVM 矩陣的基礎上，引入 Wigner函數，深入研究探測器的量子特性。 Wigner 函數是一種動量與位置的聯(lián)合測量準概率分布，原點函數值為負值表示探測器具備量子特性[16]。對應于探測器 POVM 矩陣以表示為

式中： M 是截止光子數； Wn（x; p）是每個光子數態(tài)對應的 Wigner 函數，表示為

式中 Ln（p2+ x2）是拉蓋爾多項式。對于相位無關的量子探測器， Wigner 函數圍繞原點旋轉對稱。因此，基于開關型單光子探測器 POVM 理論模型的 Wigner 函數可以表示為

3 100 MHz 單光子探測器量子層析標定

圖5是100 MHz 單光子探測器量子層析標定實驗裝置圖，激光源為1550 nm脈沖激光器，Atten1為可調光纖衰減器，Atten2為固定光纖衰減器，BP 為1∶ 1光束分束器，在 APD1探測 效率為10.3%時進行標定。使用1550 nm 皮秒脈沖激光器作為光源，激光重復頻率設置為10 MHz。通過可調光衰減器 Atten1，從0.1到60連續(xù)調節(jié)入射光每脈沖平均光子數μ。為了監(jiān)測入射到探測器的激光功率，在 Atten1后面加入了一個1∶1光分束器，一端連到功率計，用于實時監(jiān)控和記錄激光功率；另一端通過一個50 dB 的固定衰減器 Atten2，將光衰減到單光子量級入射。

圖6（a）中圓圈為層析掃描實驗數據點，實線和虛線分別為 QDT 擬合和理論模型 POVM 擬合概率分布，橫坐標指的是探測器的入射平均光子數，縱坐標指的是探測器在對應入射平均光子數下的輸出結果（有 on 或者無 off）概率。在圖中，可以看到探測器的入射平均光子數μ低于10時，探測器輸出結果概率與平均入射光子數呈線性關系，而后繼續(xù)增大平均入射光子數時，探測效率有所下降，探測器探測到光子的概率增長變慢，直至探測器達到飽和，并且基于理論模型 POVM 擬合的概率分布和 QDT 擬合的概率分布幾乎重合。由于實際的探測器還受到后脈沖的影響，入射平均光子數μ高于10后，單光子探測器基于理論模型探測到光子的概率會略高于實際探測到光子的概率，由于該工作點APD1后脈沖概率只有0.7%，所以兩者相差不大。由上述實驗獲得的層析掃描實驗數據，基于最大似然估計的方法，將式（3）進行線性反演，編寫 MATLAB 重構 POVM 矩陣的程序，得到探測器重構的 POVM 矩陣。圖6（b）所示為光子數態(tài)0～25時 off 、 on 的概率分布，橫坐標指的是光子數態(tài)，縱坐標指的是探測器在對應光子數態(tài)下的輸出結果概率。隨著光子數的增加， 率越來越高直至飽和光子數時概率為1，概率越來越低最后變?yōu)?。

為了研究重構的 POVM 矩陣與理論模型的POVM 矩陣的區(qū)別，將該工作點探測器10.3%的探測效率和2：4×10?7/門的暗計數率，代入式（6）和式（7），計算出該探測器基于理論模型的POVM 矩陣，并將兩者進行對比，如圖7（a）、（b）所示。部分光子數態(tài)時兩者的 off 、 on 的概率分布，走勢相同并且概率接近，表明使用傳統(tǒng)性能參數描述探測器是可靠的，使用 QDT 更加全面表征了探測器。為了從量子力學的角度研究探測器的量子特性，將重構的 POVM 矩陣代入 Wigner 函數，圖7（ c），（ d）分別為基于QDT 重構的 POVM 矩陣對應的 Wigner函數三維圖和截面圖，橫坐標 x 和 p 分別是 Wigner 函數中的位置和動量變量，縱坐標指的是 Wigner 函數值。?Won 在坐標原點處的函數值為?0.35263，這標志著該探測器在此工作點上是真正的量子探測器。

為了研究不同探測效率下探測器的量子特性，對 APD1不同工作點都進行了 QDT 掃描，各工作點的性能參數如表2所示。隨著探測效率增加，暗計數增加較少，處于百赫茲量級，后脈沖概率由0.7%增加到78.5%，基于 QDT 重構的 POVM 矩陣構成的 Won 在原點函數值均為負值，并且逐漸減小，表明探測器在40.5%探測效率時仍具有量子特性。

4 100 MHz 光子數可分辨探測器量子層析標定

在單光子探測器量子層析標定的基礎上，進一步對空間復用型雙通道 PNRD 進行量子層析標定。如圖8所示，激光源為1550 nm脈沖激光器，Atten1為可調光纖衰減器，Atten2為固定光纖衰減器， BP 為光分束器， SC 為信號合束器， OSC 為數字示波器，實驗中使用的 PNRD由性能接近的 APD1和 APD2空間復用組成，工作速率為100 MHz，依然使用1550 nm皮秒激光器作為光源。與前面不同的是，在固定衰減器 Atten2后又加了一個1∶1光分束器將光子平均分給兩個單光子探測器。標定 APD1探測效率為10.3%，暗計數率為2：4×10?7/門，APD2探測效率為10.2%，暗計數率為1：6×10?7/門，則PNRD 總探測效率約為10%，總暗計數率為4：0×10?7/門。

APD1和 APD2空間合束后接入數字示波器，在1 s 內計數出現(xiàn)兩個光子峰，記錄合束計數 tall 。由于激光器重復頻率為 10 MHz，則PNRD 能探測到的飽和計數為10 MHz。調節(jié)比較電平使其出現(xiàn)一個光子峰，記錄為2光子輸出計數 t2，則對應輸入平均光子數μ的 PNRD 輸出結果概率分別為 P2（μ）= ×100*， P1（μ）=層析掃描輸出結果概率分布如圖9（a）所示，圓圈代表 PNRD層析掃描實驗數據點，實線和虛線分別為 QDT 擬合和理論模型 POVM 擬合概率分布，兩者達到了高度吻合。隨著平均入射光子數的增加，PNRD 探測到多光子的概率增加。在平均入射光子數約為13時，輸出1光子的概率增加至最高；隨著入射光子數繼續(xù)增加，輸出1光子概率降低，輸出2光子的概率越來越高直至探測器飽和時為1，輸出0光子的概率逐漸減少到0。

利用層析掃描的實驗數據，以及對應的輸入量子態(tài)集合，我們進行 QDT 重構了 PNRD 的 POVM 矩陣，如圖9（b）所示。PNRD 有三種輸出結果， 0 ， 1， 2?；?PNRD 的 POVM 矩陣，我們計算了相應的 Wigner 函數，如圖10所示，圖中紅色實線是基于理論模型 POVM 矩陣得到的 Wigner 函數截面圖，藍色實線是基于重新構建的 POVM 矩陣得到的 Wigner 函數截面圖。對于 1的 Wigner 函數 W1，理論模擬與重新構建的曲線基本一致，在原點位置，?W1（0;0）值為?0.0067，且?W1過零點后先增加后逐漸減小到0，這是因為 PNRD 輸出1光子的概率逐漸降低，轉變?yōu)檩敵?光子的概率。 W2也是基本一致的，基于重新構建的 2得到的 W2（0;0）為?0.3032，?W2整體以理論模擬得到的?Wigner 函數為中心出現(xiàn)了鋸齒抖動。由 QDT 重新構建的POVM 矩陣得到的 Wigner 函數在原點的負值表明此雙通道 PNRD 可實現(xiàn)量子探測。

5?結 論

本文采用了短脈沖門控和電容平衡相結合的探測方案，有效抑制了尖峰噪聲，基于雪崩光電二極管和空間復用技術設計了雙通道 PNRD，有效分辨光子數目，并且測試了單光子探測器的各項性能參數。為了更完整地表征單光子探測器，從量子學角度介紹了單光子探測器的一般描述方法，即通過 QDT 全面表征單光子探測器?；?QDT 重構了單通道單光子探測器和雙通道 PNRD 的 POVM 矩陣，引入 Wigner 函數驗證了其量子特性，單通道單光子探測器在40.5%探測效率時仍可實現(xiàn)量子探測。本文對探測器的標定方法，是對未知探測器的全面表征，為其他光子探測器的性能表征提供了參考。目前，門控探測與平衡抑制相結合方案的工作速率在百兆赫茲左右[17]，后續(xù)可以通過正弦門控低通濾波方案將探測器工作速率提升至吉赫茲以上。本方案在溫度、偏壓、計數統(tǒng)計等方面為多通道的集成奠定了基礎。

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（編輯：張磊）