基于多邊形維諾圖的梯度彈性多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

陳小滿，謝卓尊，曹 偉*

（1.廈門華廈學(xué)院，廈門 361024；2.華僑大學(xué) 機(jī)電及自動化學(xué)院，廈門 361021）

0 引言

梯度多孔結(jié)構(gòu)因其具有比強(qiáng)度高、比表面積大、輕量節(jié)材、彈性/硬度可定制等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于汽車、航空航天、軍事、醫(yī)療等眾多領(lǐng)域。但由于梯度多孔結(jié)構(gòu)具有極為復(fù)雜的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，難以通過傳統(tǒng)加工裝備和工藝進(jìn)行制造，限制了其功能的發(fā)揮[1]。近年來，由于增材制造技術(shù)的快速發(fā)展，使梯度多孔結(jié)構(gòu)的制造成為可能。相比于粉末冶金、滲透鑄造、金屬沉積等制造方式，增材制造能通過多孔結(jié)構(gòu)的數(shù)字化模型，實(shí)現(xiàn)更加精準(zhǔn)的制造[2]。增材制造技術(shù)使梯度多孔結(jié)構(gòu)具有更高的設(shè)計(jì)自由度，即可以自由定制孔的分布而不用考慮復(fù)雜結(jié)構(gòu)帶來的傳統(tǒng)制造約束，因此對梯度多孔結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提出了更高的要求。

梯度多孔的設(shè)計(jì)要求包括：

1）多孔結(jié)構(gòu)的孔隙分布滿足幾何、力學(xué)性能的需求[3-4]；

2）多孔結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)滿足不同增材制造工藝的制造約束[5-6]。目前，大多數(shù)梯度多孔結(jié)構(gòu)均是針對SLA、SLS等工藝，這些工藝要求多孔結(jié)構(gòu)必須是全連通的[2-7]，以保證在打印完成后孔腔內(nèi)部的材料（粉末、液體）能夠取出，因此基于這些工藝的梯度多孔結(jié)構(gòu)多采用類似支桿連接的幾何結(jié)構(gòu)[8-9]。如Liu等提出的一種各向同性三維維諾多孔結(jié)構(gòu)，通過隱式曲面構(gòu)建維諾胞元的內(nèi)部孔腔和胞元間的甬道，實(shí)現(xiàn)全連通[10-11]。Wu等提出一種應(yīng)力驅(qū)動的支桿晶格結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)不僅能夠根據(jù)應(yīng)力大小調(diào)整晶格密度，還能根據(jù)應(yīng)力方向調(diào)整晶格朝向[12]。

而對于使用最廣泛、設(shè)備和材料價(jià)格最便宜的FDM工藝，具有完全不同的制造約束。首先，由于FDM是通過逐層堆積熔融材料實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)物體打印的，因此要求所打印物體必須滿足支撐要求[13-14]。而上述支桿多孔結(jié)構(gòu)存在大量過度懸垂的支桿，必須額外添加內(nèi)部支撐結(jié)構(gòu)才能進(jìn)行打印，造成打印材料和時(shí)間消耗增加。此外，由于這些內(nèi)部支撐結(jié)構(gòu)在打印后無法去除，會造成打印出的多孔結(jié)構(gòu)和所設(shè)計(jì)的梯度多孔結(jié)構(gòu)不相符，其力學(xué)性能也會發(fā)生改變[15]。再次，上述支桿多孔結(jié)構(gòu)的每個切片層都包含大量相對孤立的橢圓（實(shí)體部分），導(dǎo)致FDM無法實(shí)現(xiàn)連續(xù)的噴絲打印，會產(chǎn)生大量拉絲，嚴(yán)重影響打印質(zhì)量。因此，這些設(shè)計(jì)的梯度多孔結(jié)構(gòu)并不適合采用FDM工藝打印。

基于此，本文聚焦于針對FDM工藝的梯度多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。在幾何結(jié)構(gòu)方面，提出一種基于多邊形維諾圖的自支撐梯度彈性多孔結(jié)構(gòu)建模方法，建立閉孔的三維多邊形維諾多孔結(jié)構(gòu)，在確保實(shí)現(xiàn)多孔結(jié)構(gòu)自支撐的同時(shí)，還能實(shí)現(xiàn)切片層的連續(xù)打印。此外，在梯度設(shè)計(jì)方面，首先研究了設(shè)計(jì)參數(shù)對所設(shè)計(jì)的維諾多孔結(jié)構(gòu)的幾何度變化的影響規(guī)律；其次，通過數(shù)值均質(zhì)化方法，研究了設(shè)計(jì)參數(shù)對其彈性性能的影響規(guī)律，從而實(shí)現(xiàn)對其梯度彈性分布的控制。

1 自支撐多邊形維諾多孔結(jié)構(gòu)建模

1.1 自支撐約束

如圖1所示，定義懸垂角ω為法向量與打印方向的夾角，其中。在3D打印的過程中，由于熔融的材料無法做到瞬時(shí)固結(jié)，當(dāng)前打印層超出下一層部分過多時(shí)，即當(dāng)當(dāng)前打印區(qū)域的懸垂角大于材料的最大懸垂角ωmax時(shí)，會產(chǎn)生懸垂處材料的塌陷現(xiàn)象，影響成型精度，因此需要在懸垂材料的下方添加額外的支撐結(jié)構(gòu)。

圖1 3D打印的懸垂角

對于FDM工藝來說，最大懸垂角ωmax僅與所使用材料的性能有關(guān)，如熔融狀態(tài)下流體的黏度等，每種材料的懸垂角會存在一定的差別，大多在45°左右。因此，本文將最大懸垂角設(shè)定為ωmax=45°，當(dāng)模型某區(qū)域的懸垂角度ω＞ωmax時(shí)，需要在下方添加支撐；相反地，當(dāng)ω≤ωmax時(shí)，不需要添加額外支撐。當(dāng)模型所有區(qū)域的懸垂角ω均小于最大懸垂角ωmax時(shí)，稱該模型為自支撐模型。

1.2 多邊形維諾圖

1.2.1 維諾圖

其中，q為空間中的任意點(diǎn)，d(si,q)和d(sj,q)分別為點(diǎn)q到站點(diǎn)si和sj的距離，即站點(diǎn)si所對應(yīng)的維諾區(qū)域Ri(si)由所有距離站點(diǎn)si最近的所有空間點(diǎn)組成。因此，由站點(diǎn)集S定義的維諾圖為S中所有站點(diǎn)對應(yīng)的維諾區(qū)域的并集，即

1.2.2 多邊形維諾圖

在式(1)中，根據(jù)“距離”d的定義不同，所得到的維諾圖也不相同。圖2所示為二維平面中站點(diǎn)集S相同時(shí)不同“距離”所對應(yīng)的維諾圖，從左至右的“距離”分別為歐幾里得距離（圓形），切比雪夫距離（正方形），曼哈頓距離（菱形）以及三角形距離。

圖2 二維空間中不同距離定義的維諾圖

圖2最右側(cè)的三角形距離定義下的維諾圖的所有邊均能滿足自支撐約束，而其他三種維諾圖中存在部分不滿足自支撐約束的邊，例如存在水平的邊，從而無法直接通過FDM打印機(jī)進(jìn)行成型。事實(shí)上，圖2中的四種圖形均屬于多邊形的實(shí)例，且均呈現(xiàn)出相同的特性——其維諾邊（面）的朝向的數(shù)量n是常數(shù)[16]，如正方形和菱形距離下n=4，三角形距離下n=3，且在三角形距離下所有的維諾邊和豎直方向（打印方向）的夾角均小于或等于45°，即滿足ω≤ωmax，說明在二維空間中三角形距離對應(yīng)的多邊形維諾結(jié)構(gòu)是自支撐的。

給定一個內(nèi)部包含原點(diǎn)的凸多邊形P，從點(diǎn)p到點(diǎn)q的多邊形距離定義為：

其中，多邊形距離dP(p,q)為將多邊形P從圓點(diǎn)O移動到p點(diǎn)，并縮放t倍后使其能包含q點(diǎn)的最小t的值，如圖3所示。

圖3 多邊形距離

多邊形距離dP(p,q)的計(jì)算方式為：設(shè)q′為多邊形p+P與p到q的射線相交的唯一點(diǎn)，則：

其中，||q-p||和||q′-p||分別為空間中點(diǎn)q、q′、到p點(diǎn)的歐氏距離。

1.2.3 三維空間多邊形距離

將二維空間中的等腰三角形拓展至三維空間，可以建立三維自支撐多孔結(jié)構(gòu)。本文選取了一種特殊的多面體——k-棱錐，如圖4所示。該棱錐的底面是正k邊形，棱錐具有k個側(cè)面。為方便描述，本文將二維空間中的三角形和三維空間中的棱錐都稱為“多邊形”，其對應(yīng)的距離都稱為多邊形距離，對應(yīng)的維諾圖都稱為多邊形維諾圖。

圖4 k-棱錐示意圖

根據(jù)定義可知，圖3d中維諾胞元的邊界是由站點(diǎn)集S中任意兩點(diǎn)之間的多邊形距離平分線組成，即所有到點(diǎn)p和點(diǎn)q的多邊形距離dP相等的點(diǎn)的集合。值得注意的是，多邊形距離平分線不是一條直線。在二維平面上，多邊形距離平分線往往是由多條線段組成的折線；在三維空間中，則拓展為多邊形距離平分面，同樣由多個相交平面組成。三維空間中多邊形距離平分面的定義如下：

圖5所示為采用枚舉法例舉出的所有多邊形（三角形）平分線的情況，同樣可以看出n=3。其中，vi和ei(i=1,2,3)分別為多邊形P的頂點(diǎn)和邊?？梢钥闯?，三種情況下其多邊形平分線均滿足自支撐條件，即不存在懸垂的頂點(diǎn)，同時(shí)所有平分線與打印方向（y軸）的夾角都有ω≤ωmax。

圖5 多面形距離平分線滿足自支撐條件

1.3 自支撐梯度多孔結(jié)構(gòu)建模

梯度多孔結(jié)構(gòu)的建模步驟如圖6所示，其初始輸入條件為站點(diǎn)密度場ρ={ρ1,ρ2,...,ρn}，其中ρi為單位體積內(nèi)維諾站點(diǎn)的數(shù)量；ρi越大，對應(yīng)的維諾胞元數(shù)量越多，力學(xué)性能越高。首先，采用站點(diǎn)隨機(jī)采樣算法將密度場ρ映射為設(shè)計(jì)模型內(nèi)的站點(diǎn)分布，控制正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的梯度分布；然后，采用切片算法對模型進(jìn)行切片。對每一層切片，將其按一定分辨率離散為一系列體素，計(jì)算每個體素所屬的維諾胞元，可以得到每一層切片的灰度圖像。將所有切片層的繪圖圖像進(jìn)行重構(gòu)，可以輸入.stl格式的模型；也可以直接將圖像文件輸入FDM打印機(jī)，直接打印成型。

圖6 多孔結(jié)構(gòu)建模流程圖

1.3.1 維諾站點(diǎn)隨機(jī)采樣

維諾站點(diǎn)分布是決定多孔結(jié)構(gòu)梯度彈性分布的關(guān)鍵因素，本文采用基于隱式柵格的維諾站點(diǎn)生成算法，既能保證站點(diǎn)分布在宏觀上符合輸入的密度場，又能在微觀上具有隨機(jī)性。具體算法如下：

1）將模型離散為邊長為a的立方體柵格；

2）遍歷所有柵格，對當(dāng)前柵格i，計(jì)算柵格i內(nèi)的站點(diǎn)數(shù)量ti=a3ρi；

3）將柵格劃分為8個子?xùn)鸥?，若ti≤8，則隨機(jī)選取ti個子?xùn)鸥?，并分別在每個子?xùn)鸥駜?nèi)部任意位置隨機(jī)生成一個站點(diǎn)；反之，若ti＞8，則遞歸的對子?xùn)鸥駡?zhí)行站點(diǎn)采集算法。

1.3.2 多邊形維諾多孔結(jié)構(gòu)生成

本文提出一種基于體素的多邊形維諾多孔結(jié)構(gòu)生成算法，如圖7所示，將模型第i層切片離散為k×k個體素單元，計(jì)算每個體素所屬的維諾胞元，每個體素均隸屬于與其多邊形距離最近的站點(diǎn)對應(yīng)的維諾胞元。若體素與其相鄰體素同屬一個Voronoi胞元，則該體素位于Voronoi胞元內(nèi)部，為空相；否則位于Voronoi胞元邊界，為固相。

圖7 三維多邊形Voronoi圖建模算法示意圖

三維多邊形Voronoi圖生成算法步驟如表1所示。該算法的核心思想是在站點(diǎn)集合S中找到與體素i距離最近的站點(diǎn)s(i)；對于體素i，如果它的四個相鄰體素的最近站點(diǎn)都為s(i)，則說明體素i位于Voronoi胞元內(nèi)部，為空相部分；否則說明體素i位于Voronoi邊界，為實(shí)體部分。

表1 三維多邊形Voronoi圖生成算法

1.4 幾何結(jié)構(gòu)的控制策略

本文采用圖8所示幾何設(shè)計(jì)參數(shù)控制棱錐的幾何結(jié)構(gòu)及其力學(xué)性能。由于棱錐的大?。ǖ缺壤s放）對最終生成的多孔結(jié)構(gòu)沒有影響，因此設(shè)原點(diǎn)O到棱錐底面的高度為1，棱錐頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0,Az)；參數(shù)θ為過原點(diǎn)和底邊的平面與底面的夾角，參數(shù)α為原點(diǎn)到側(cè)面的距離ε與l的比值，可以求得棱錐頂點(diǎn)Az的計(jì)算公式為：

圖8 棱錐的參數(shù)化

此外，通過將棱錐沿x方向收縮并以z軸為中心旋轉(zhuǎn)，可以實(shí)現(xiàn)多邊形Voronoi圖的各向異性，參數(shù)β∈(1,0)為收縮因子，決定收縮的程度。

圖9展示了各參數(shù)如何影響多邊形Voronoi面的幾何結(jié)構(gòu)，圖中心的樣本參數(shù)為k=8，α=0.5，θ=45，β=1.0。其周圍每個樣本僅變化一個參數(shù)，每個樣本左下方為其對應(yīng)的棱錐?？梢钥闯觯瑓?shù)k的變化對多孔結(jié)構(gòu)幾乎沒有影響，而通過調(diào)整參數(shù)θ、α、β的大小，可以實(shí)現(xiàn)對多孔結(jié)構(gòu)幾何梯度的精確控制，具體如下：

圖9 多孔結(jié)構(gòu)隨參數(shù)變化示意圖

1）參數(shù)θ決定了由棱錐生成的Voronoi面中傾斜面與水平面的夾角，當(dāng)其他參數(shù)取值相同時(shí)，多孔結(jié)構(gòu)中維諾面的斜率將隨著參數(shù)θ的增大而增大。

2）參數(shù)α為棱錐側(cè)面到原點(diǎn)的距離ε與底面中心到底面邊的距離l的比值。隨α減小，錐頂與原點(diǎn)的距離Az減小。圖10展示了在二維空間中多邊形維諾多孔結(jié)構(gòu)隨著α的變化規(guī)律，隨著α減小，多維諾胞元的形狀由垂直方向扁平狀（正交各向異性）變化為非扁平狀（各向同性）。

圖10 α對多邊形維諾圖幾何結(jié)構(gòu)的影響

3）參數(shù)β為棱錐沿x方向的收縮因子。引入?yún)?shù)β使距離棱錐在某一方向上發(fā)生收縮，能夠?qū)崿F(xiàn)結(jié)構(gòu)的正交各向異性。隨著β的減小，Voronoi單元在x方向上趨于扁平。

2 多邊形維諾多孔結(jié)構(gòu)彈性性能分析

2.1 數(shù)值均質(zhì)化

均質(zhì)化是一種預(yù)測周期或近周期復(fù)合材料宏觀特性的有效方法，廣泛應(yīng)用于材料性能分析與設(shè)計(jì)。其基本思想是用一種等效材料模型來替代復(fù)合材料。本文所提出的多邊形維諾多孔結(jié)構(gòu)雖然并不是周期性結(jié)構(gòu)，但由于站點(diǎn)采集過程中使用的算法具有一定的隨機(jī)性，因此，當(dāng)多孔結(jié)構(gòu)的尺寸比單個維諾胞元的尺寸大到一定程度時(shí)，可以看成具有近周期性。這種達(dá)到近周期性體積的多孔結(jié)構(gòu)模型被稱作代表性體積單元（Representative Volume Element，RVE），是數(shù)值均質(zhì)化的分析對象。在彈性變形階段，應(yīng)力σ與應(yīng)變ε關(guān)系如下：

其中，C是彈性矩陣，表征多孔結(jié)構(gòu)的彈性行為。各向同性材料的彈性矩陣有彈性模量E和泊松比υ兩個獨(dú)立變量。數(shù)值均質(zhì)化的本質(zhì)是利用均質(zhì)復(fù)合材料的各向同性性質(zhì)來計(jì)算其彈性矩陣CH，根據(jù)均質(zhì)化理論，CH計(jì)算公式為：

其中，k是剛度矩陣，f是等效節(jié)點(diǎn)載荷列陣。

2.2 彈性性能的控制策略

由第2.4小節(jié)可知，多邊形維諾多孔結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)包括棱錐的幾何參數(shù)如θ、α、β外，還包括輸入的站點(diǎn)密度場ρ。為了研究上述設(shè)計(jì)參數(shù)對多孔結(jié)構(gòu)彈性性能的控制規(guī)律，本小節(jié)以數(shù)值均質(zhì)化方法為基礎(chǔ)，采用控制變量法對各參數(shù)進(jìn)行逐一分析，如圖11所示。

圖11 設(shè)計(jì)參數(shù)對多邊形維諾多孔結(jié)構(gòu)的影響規(guī)律

1）站點(diǎn)密度ρ

圖11(a)為固定參數(shù)θ=45°，α=0.5，β=1.0，k=4時(shí)，改變站點(diǎn)密度ρ的取值所對應(yīng)維諾多孔結(jié)構(gòu)分別在x、y和z方向的相對彈性模量（Ex、Ey、Ez）的變化曲線圖?？梢钥闯?，三個方向的相對彈性模量均隨著站點(diǎn)密度ρ的增大而增大。其原因在于：ρ越大，單位體積內(nèi)站點(diǎn)數(shù)量越多，即維諾胞元的數(shù)量越多，孔隙率降低，相對體積分?jǐn)?shù)增大，打印時(shí)消耗的材料也增多，因而在各方向上表現(xiàn)得更加堅(jiān)固。

2）參數(shù)θ

圖11(b)為固定參數(shù)ρ=0.02，α=0.5，β=1.0，k=4時(shí)，改變θ的取值所對應(yīng)的維諾多孔結(jié)構(gòu)Ex、Ey、Ez的變化曲線圖。可以看出，θ增大主要導(dǎo)致Ez的增大，而對Ex、Ey影響較小。通過比較θ=45°和θ=65°的多孔結(jié)構(gòu)，可以發(fā)現(xiàn)，隨參數(shù)θ的增大，多孔結(jié)構(gòu)的部分孔壁斜率增大，在整體上更接近豎直，致使多孔結(jié)構(gòu)在豎直方向的相對彈性模量Ez增大。

3）參數(shù)α

圖11(c)所示為固定參數(shù)ρ=0.02，θ=45°，β=1.0，k=4時(shí)，改變α的取值所對應(yīng)的維諾多孔結(jié)構(gòu)Ex、Ey、Ez的變化曲線圖?？梢钥闯?，隨著參數(shù)α的增大，Ez顯著增大，而Ex和Ey逐漸減小。其原因可分析如下，由于參數(shù)α=ε/l，固定l，則隨著α的增大，原點(diǎn)到側(cè)面的距離ε增大，即棱錐的錐頂向上移動，側(cè)面的面積增大，導(dǎo)致側(cè)面與側(cè)面之間生成的豎直孔壁占比增大，導(dǎo)致Ez增大。反之，當(dāng)參數(shù)α減小時(shí)，棱錐的錐頂向下移動，側(cè)面的面積減小，而底面始終不變，導(dǎo)致側(cè)面與底面生成的斜率為θ的孔壁較側(cè)面與側(cè)面生成的豎直孔壁占比增大，使Ez減小。由于Az＞0，即錐頂始終在原點(diǎn)上方，故孔壁的斜率不會低于θ。

3 案例

本小節(jié)主要討論梯度維諾多孔結(jié)構(gòu)的應(yīng)用情況，建模過程均采用Visual Studio 2013的MFC框架，搭配CUDA程序并行計(jì)算，在硬件環(huán)境為Inter Core2 i5-10400CPU，16GB內(nèi)存與NVIDIA GeForce GTX 1650顯卡的計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，最后通過FDM 3D打印機(jī)打印成型。

3.1 壓縮實(shí)驗(yàn)

為嚴(yán)重本文多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法的有效性，建立了4組不同的立方體多孔結(jié)構(gòu)模型，通過FDM 3D打印機(jī)打印成型，并進(jìn)行壓縮實(shí)驗(yàn)。打印的樣品如圖12(a)所示，包括1組各向同性多孔結(jié)構(gòu)（包含2個樣品，記作iso1和iso2）和3組不同方向的正交各向異性多孔結(jié)構(gòu)（記作xoy1，xoy2，yoz1，yoz2，xyz1，xyz2）。模型尺寸為30×30×30 mm3，打印層厚為0.2mm，打印材料為PLA，打印速度為50mm/s。

圖12 壓縮實(shí)驗(yàn)

對上述各樣品進(jìn)行x、y、z軸方向的壓縮實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)設(shè)備為萬測電子萬能試驗(yàn)機(jī)TSE504D（圖12(b)），壓縮速度為0.5mm/min，可測的如圖12(c)所示的應(yīng)力應(yīng)變曲線，并計(jì)算出樣品的彈性模量Ee。為方便對比分析，需將真實(shí)彈性模量Ee按下式轉(zhuǎn)換為相對彈性模量Er：

其中Ee為實(shí)驗(yàn)測得彈性模量，Eb為基體彈性模量，由基體試樣壓縮實(shí)驗(yàn)測得，Eb=851MPa。

此外，按照本文提出的數(shù)值均值化方法，也可以分析出設(shè)計(jì)的各模型分別在x、y、z軸向的相對彈性模量。將數(shù)字均質(zhì)化結(jié)果和壓縮試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，如表2所示。分別表示樣本在三個方向的相對彈性模量，εx、εy和εz分別表示三個方向的相對誤差?？梢钥闯?，實(shí)驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值均質(zhì)化結(jié)果在三個方向上的相對誤差分別為8.14%，4.54%和9.29%，說明本文提出的多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法準(zhǔn)確性較高。

表2 壓縮實(shí)驗(yàn)與數(shù)字均質(zhì)化的結(jié)果對比

3.2 梯度多孔結(jié)構(gòu)在鞋中底設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

本小節(jié)以足底壓力為驅(qū)動，采用本文方法生成定制化的梯度多邊形維諾多孔結(jié)構(gòu)的鞋中底，使其不同區(qū)域的彈性模量按照足底壓力大小分布，并采用PLA材料通過FDM 3D打印機(jī)進(jìn)行打印，如圖13所示。此外，本文還設(shè)計(jì)了各向同性的均質(zhì)多邊形維諾多孔結(jié)構(gòu)鞋中底作作為對比。

圖13 兩種多邊形維諾多孔結(jié)構(gòu)鞋中底

為分析上述兩種多孔結(jié)構(gòu)鞋中底的性能，本文設(shè)計(jì)了靜態(tài)足底壓力實(shí)驗(yàn)，對足底各區(qū)域的壓力進(jìn)行采集。將壓力傳感器貼合在鞋中底的上表面，體重為75kg的被測人員靜止站立在貼有壓力傳感器的鞋中底上，使用Tekscan足底壓力測量系統(tǒng)采集靜態(tài)站立時(shí)足底峰值壓力，如圖14所示。

圖14 靜態(tài)站立的足底峰值壓力測量

為了更準(zhǔn)確的獲取足底壓力數(shù)據(jù)，分別對兩種鞋中底進(jìn)行了5次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，獲得靜態(tài)站立時(shí)足底峰值平均應(yīng)力云圖，并擬合出沿鞋中底長度方向的足底壓力曲線如圖15所示。

圖15 足底壓力實(shí)驗(yàn)結(jié)果

可以看出，足底受力較大的區(qū)域集中在跖骨區(qū)和后跟區(qū)；在跖骨區(qū)，雖然兩種鞋中底受到的峰值壓力基本相當(dāng)，約為0.083MPa，但梯度多孔結(jié)構(gòu)鞋中底在該區(qū)域的受力面積更大，說明受力更均勻；在后跟區(qū)域，均勻多孔結(jié)構(gòu)鞋中底受到的峰值壓力為0.156MPa，梯度多孔結(jié)構(gòu)的鞋中底受到的峰值壓力為0.122MPa，相比下降了21.8%。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表面通過對鞋中底多孔結(jié)構(gòu)進(jìn)行梯度設(shè)計(jì)，能夠有效降低靜態(tài)站立時(shí)的峰值壓力，從而調(diào)整足底壓力分布，使鞋中底各區(qū)域受力更均勻，提升舒適性。

3.3 其他應(yīng)用案例

圖16(a)所示為左右兩邊具有不同梯度彈性的長方體，長方體中間部分為各向同性的過渡單元，左右兩邊各向異性方向旋轉(zhuǎn)了90°，因此呈現(xiàn)出截然不同的彈性行為，即：左半部分可以輕易地彎曲，而右半部分卻保持著較大的剛度；相反，當(dāng)受到來自上下兩個方向的按壓時(shí)，右半部分容易被壓縮，而左半部分則難以被壓縮。圖16(b)所示為手指模型，通過調(diào)整模型關(guān)節(jié)處維諾多孔結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)參數(shù)，可以使其在受力時(shí)僅在關(guān)節(jié)處發(fā)生彎曲，而其他部位不發(fā)生彎曲。圖16(c)所示為兩個徑向具有不同彈性性能的圓環(huán)模型，左邊的圓環(huán)能承受較大的徑向載荷，而右邊的圓環(huán)在承受徑向載荷時(shí)容易發(fā)生變形。圖16(d)所示為沿著軸線各向異性方向由0～90°連續(xù)變化的圓柱體，這種設(shè)計(jì)使其在軸向具有較大的剛度，不容易發(fā)生彎曲；而沿著各向異性變化方向扭轉(zhuǎn)圓柱體時(shí)，能輕松地使其發(fā)生變形。

圖16 其他應(yīng)用案例

4 結(jié)語

本文提出了一種基于多邊形維諾圖的自支撐梯度彈性多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法，選擇k-棱錐計(jì)算多邊形距離，通過固空相判斷算法生成模型每一個切片層的灰度圖像，采用重構(gòu)算法生成自支撐的維諾多孔結(jié)構(gòu)。在此基礎(chǔ)之上，對k-棱錐進(jìn)行參數(shù)化表達(dá)，提取維諾多孔結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)。研究了基于設(shè)計(jì)參數(shù)的梯度維諾多孔結(jié)構(gòu)的幾何結(jié)構(gòu)、彈性性能的控制策略。最后，基于數(shù)值均質(zhì)化方法，探索了彈性梯度多孔結(jié)構(gòu)的控制策略，并通過壓縮實(shí)驗(yàn)證明了數(shù)值均質(zhì)化方法的有效性。最后，本文還將所提出梯度多孔結(jié)構(gòu)應(yīng)用于鞋中底等物體的設(shè)計(jì)，結(jié)果表明：本文提出自支撐梯度彈性多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)簡單、可控性高，通過調(diào)整設(shè)計(jì)參數(shù)，能夠較為容易的設(shè)計(jì)出各向異性、各向同性或梯度彈性的多孔結(jié)構(gòu)模型。