巫入云

在解答平面向量問題時，我們經(jīng)常會遇到向量的數(shù)量積問題.此類問題側重于考查平面向量的基本定理、共線定理、數(shù)量積公式、向量的模的公式以及平面向量運算法則的應用.下面結合一道平面向量數(shù)量積問題，探討一下解答此類問題的方法.

題目：如圖，圓 O 是半徑為1的圓，OA =，若 B， C 為圓上的任意兩點，求?的取值范圍.

一、采用基底法

基底法是解答平面向量問題的重要方法.在解答平面向量數(shù)量積問題時，可以將已知大小或坐標的一組向量作為基底，結合幾何圖形，根據(jù)平面向量的基本定理、共線定理，用這組基底表示出所求的向量.再利用向量的數(shù)量積公式 a?b = |a|? | | | | bcos θ 以及向量的模的公式 |a| = a 2 ，通過向量運算求得向量的數(shù)量積.

解：

我們根據(jù)平面向量的基本定理，用基底CO、OA、CB 表示出AC?CB ，采用基底法，將問題轉化為關于 | |CB 的二次函數(shù)最值問題，進而利用二次函數(shù)的性質求得AC?CB 的取值范圍.

二、建立坐標系

對于對稱圖形問題，通?？筛鶕?jù)圖形的對稱性建立直角坐標系，將向量用坐標表示出來，根據(jù)向量坐標的加法、減法、數(shù)乘運算，以及向量的數(shù)量積公式來求解.一般地，若 a=（x1，y1），b =（x2，y2） ，則向量的數(shù)量積 a?b = x1 x2 + y1y2 .

解：

由于圓為對稱圖形，所以以圓心為原點來建立直角坐標系，即可快速求得各個點的坐標.在建立坐標系時，要合理選擇原點的位置，這樣才能有效減少運算量.

三、構造三角形或平行四邊形

我們知道，平面向量加法的幾何意義是三角形法則和四邊形法則.因此在解答平面向量的數(shù)量積問題時，可將所求向量的模長視為三角形的邊長或平行四邊形的對角線長，構造出三角形或平行四邊形，進而利用三角形或平行四邊形的性質來解題.

解：

在構造平行四邊形時，往往要將所求向量的模長看作平行四邊形的邊長、對角線長，將向量之間的夾角視為平行四邊形的內角，這樣便可直接運用平行四邊形的性質解題.

相比較而言，基底法和坐標法比較常用，構造法較為靈活，但無論運用哪種方法求平面向量的數(shù)量積，都需靈活運用向量的數(shù)量積公式以及平面向量的運算法則，從“數(shù)”“形”兩個角度尋找解題的思路.