孔令春

向量是既有大小又有方向的量.由平面向量的這種特殊性質(zhì)可知，解答平面向量最值問題，可從數(shù)量關系和幾何圖形兩個方面入手，尋找解題的思路.下面以一道平面向量最值問題為例，探討一下解答此類問題的常規(guī)思路.

例題：

一、基底法

基底法是解答平面向量問題的重要方法.在解答平面向量最值問題時，選擇兩個或三個已知的向量為基底，并根據(jù)向量的共線定理、基本定理，用這組基底表示出所求的向量，即可通過向量的加法、減法、數(shù)乘運算，利用向量的數(shù)量積公式、模的公式，求得問題的答案.

解：

我們根據(jù)題意很容易求得、、的模長，于是采用基底法，設=λ ， 以、、為基底，將向量、表示出來，并求得這兩個向量的數(shù)量積的表達式，即可通過配方，求得最值.

二、利用極化恒等式

極化恒等式是解答向量數(shù)量積問題的重要工具. 在平行四邊形 ABCD 中，若AD = a，AB = b ，由平行四邊形法則可得AC = a+ b ，DB = a- b，則 | |AC 2 = （a+ b） 2 = a 2 + 2ab + b 2 ，| |DB 2 = （a- b） 2 = a 2 - 2ab + b 2 ，將兩式相減可得 | |AC 2 - | |BD 2 = 4ab ，即 a?b = 1 4 [（a+ b ） 2 -（a- b ） 2 ] . 運用極化恒等式，可將平面向量數(shù)量積的最值問題轉(zhuǎn)化為求兩個向量或兩條線段長的和差的最值，這樣便使問題得以轉(zhuǎn)化，我們可從另一個角度尋找解題的思路.

解：

運用極化恒等式，可將求?的最小值轉(zhuǎn)化為求線段|EF|的最小值.運用極化恒等式解題，實質(zhì)上是根據(jù)向量的平行四邊形法則將問題轉(zhuǎn)化為線段問題，再結(jié)合圖形找到取得最值的特殊位置，即可得到答案.

三、坐標法

在解答平面向量最值問題時，可在圖形中尋找或者求作垂直關系，建立平面直角坐標系，并用坐標表示各個點、各條線段，再進行向量坐標運算，即可求得目標式，這樣便將問題轉(zhuǎn)化為求代數(shù)式的最值.

解：

在建立平面直角坐標系后，求得各個點的坐標，便將平面向量最值問題轉(zhuǎn)化為向量坐標運算問題.再根據(jù)完全平方式恒大于或等于0的性質(zhì)，即可求得最值.

上述三種方法都是解答平面向量最值問題的重要方法，它們各有優(yōu)缺點.在解題時，同學們要根據(jù)題目中的條件靈活選擇以上方法.