趙小強(qiáng)　張海營(yíng)

摘? 要：2023年高考概率與統(tǒng)計(jì)試題具有背景豐富、難度穩(wěn)定、考查主干知識(shí)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等特點(diǎn). 通過(guò)系統(tǒng)梳理2023年高考數(shù)學(xué)試卷中的概率與統(tǒng)計(jì)試題，分析了試題考點(diǎn)，歸納了解題方法，分析了學(xué)生在解題中出現(xiàn)的困惑與常見(jiàn)錯(cuò)誤，并闡釋了命題改革的方向，在此基礎(chǔ)上提出了新一輪高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考的建議.

關(guān)鍵詞：概率與統(tǒng)計(jì)；計(jì)數(shù)原理；解題分析；復(fù)習(xí)建議

概率與統(tǒng)計(jì)主要研究現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)和客觀(guān)世界中的隨機(jī)現(xiàn)象，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的收集、整理、描述和分析，以及對(duì)事件可能性的刻畫(huà)，來(lái)幫助人們作出合理的決策，具有很強(qiáng)的應(yīng)用性，是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，也是培養(yǎng)學(xué)生理性思維方式、提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的重要載體. 2023年高考數(shù)學(xué)共有9份試卷：全國(guó)甲卷（文、理科）、全國(guó)乙卷（文、理科）、全國(guó)新高考Ⅰ卷、全國(guó)新高考Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上海卷. 其中涉及的概率與統(tǒng)計(jì)試題考查內(nèi)容與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）要求相一致，與課程內(nèi)容的比例相當(dāng)，注重考查內(nèi)容的全面性和層次性，突出對(duì)核心概念、主干知識(shí)和重要思想的考查. 試題重在對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，強(qiáng)調(diào)基本思想方法，通過(guò)適度的綜合與創(chuàng)新，考查了學(xué)生對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)基本原理的深入理解和應(yīng)用. 試題結(jié)合生活實(shí)際，突出考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng). 下面主要圍繞全國(guó)甲卷（文、理科）、全國(guó)乙卷（文、理科）、全國(guó)新高考Ⅰ卷、全國(guó)新高考Ⅱ卷進(jìn)行解題分析.

一、試題特點(diǎn)分析

1. 試題數(shù)量和整體難度相對(duì)穩(wěn)定

2023年的9份高考數(shù)學(xué)試卷中，共有24道概率與統(tǒng)計(jì)試題（文、理科相同試題不累計(jì)），其分布在各份試卷第4題到第21題之間. 與2022年高考概率與統(tǒng)計(jì)試題相比，主要有兩點(diǎn)變化：一是全國(guó)新高考Ⅰ卷和全國(guó)新高考Ⅱ卷分別在多選題中設(shè)置了一道概率與統(tǒng)計(jì)試題，在全國(guó)新高考Ⅱ卷中更是出現(xiàn)在了選擇題壓軸題的位置，閱讀量較大；二是全國(guó)新高考Ⅰ卷中的概率與統(tǒng)計(jì)解答題由全卷第20題移到了第21題的位置，重點(diǎn)考查全概率公式及離散型隨機(jī)變量的分布問(wèn)題，并且與等比數(shù)列相結(jié)合，思維量和計(jì)算量均較大，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的綜合性. 全國(guó)卷對(duì)于概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的考查，除全國(guó)甲卷（文科）設(shè)置一道客觀(guān)題和一道解答題外，其他試卷均設(shè)置兩道客觀(guān)題和一道解答題，分值占全卷總分值的11.3%—14.7%. 整體來(lái)看，全國(guó)卷對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的考查基本保持穩(wěn)定，題型搭配協(xié)調(diào)合理. 地方卷與全國(guó)卷情形大致相同.

2. 設(shè)置豐富的現(xiàn)實(shí)情境，注重知識(shí)方法的應(yīng)用

2023年高考概率與統(tǒng)計(jì)試題一如既往地突出反映了所學(xué)知識(shí)與豐富的、背景公平的現(xiàn)實(shí)情境之間的緊密聯(lián)系. 例如，信道傳輸中的信號(hào)傳輸方案，藥物或臭氧濃度對(duì)動(dòng)物的影響，醫(yī)學(xué)中對(duì)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)的差異性研究，籃球投籃命中率問(wèn)題，不同工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的影響，對(duì)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值等經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的分析，學(xué)校興趣俱樂(lè)部的參加人數(shù)，等等. 這些試題情境與我國(guó)的社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，以及生產(chǎn)、生活實(shí)際相結(jié)合，與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)緊密聯(lián)系，富有時(shí)代特征，突出了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性和實(shí)踐性. 在實(shí)際情境中考查學(xué)生運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

3. 考查主干知識(shí)，凸顯素養(yǎng)立意

2023年高考概率與統(tǒng)計(jì)試題全面考查了概率與統(tǒng)計(jì)部分的主要知識(shí)和基本方法，考查的知識(shí)覆蓋面廣，系統(tǒng)性、聯(lián)系性較強(qiáng)，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的特點(diǎn).

概率部分考查的主要內(nèi)容如下.

（1）古典概型的概率計(jì)算. 例如，全國(guó)甲卷（文科）第4題、全國(guó)甲卷（理科）第6題、全國(guó)乙卷（文科）第9題、天津卷第13題.

（2）幾何概型的概率計(jì)算. 例如，全國(guó)乙卷（理科）第5題、全國(guó)乙卷（文科）第7題.

（3）條件概率、全概率公式與相互獨(dú)立事件. 例如，全國(guó)新高考Ⅱ卷第12題、上海卷第19題、天津卷第13題.

（4）隨機(jī)變量分布列與數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、兩點(diǎn)分布. 例如，全國(guó)新高考Ⅰ卷第21題、上海卷第19題.

統(tǒng)計(jì)部分考查的主要內(nèi)容如下.

（1）統(tǒng)計(jì)圖表與數(shù)據(jù)的數(shù)字特征. 例如，全國(guó)乙卷（文 / 理科）第17題、全國(guó)新高考Ⅰ卷第9題、上海卷第9題、全國(guó)新高考Ⅱ卷第19題.

（2）成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性、散點(diǎn)圖. 例如，上海卷第14題.

（3）獨(dú)立性檢驗(yàn). 例如，全國(guó)甲卷（文 / 理科）第19題.

計(jì)數(shù)原理部分考查的主要內(nèi)容如下.

（1）排列組合. 例如，全國(guó)甲卷（理科）第9題、全國(guó)乙卷（理科）第7題、全國(guó)新高考Ⅰ卷第13題、全國(guó)新高考Ⅱ卷第3題、上海卷第12題.

（2）二項(xiàng)式定理. 例如，北京卷第5題、上海卷第10題、天津卷第11題.

二、具體分析

1. 計(jì)數(shù)原理，注重兩個(gè)原理的運(yùn)用，分清分類(lèi)與分步的區(qū)別與聯(lián)系

例1 （全國(guó)新高考Ⅰ卷·13）某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類(lèi)選修課和4門(mén)藝術(shù)類(lèi)選修課，學(xué)生需從這8門(mén)課中選修2門(mén)或3門(mén)課，并且每類(lèi)選修課至少選修1門(mén)，則不同的選課方案的種數(shù)為_(kāi)__________（用數(shù)字作答）．

目標(biāo)解析：此題考查了計(jì)數(shù)原理的實(shí)際應(yīng)用，考查了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 排列組合是兩個(gè)原理的數(shù)學(xué)體現(xiàn)，高考要求學(xué)生理解計(jì)數(shù)原理的意義，掌握排列數(shù)和組合數(shù)的計(jì)算公式及組合數(shù)的性質(zhì)，并能利用其解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題. 排列組合內(nèi)容是概率與統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，雖然此類(lèi)試題在高考中所占比重較小，但是試題都具有一定的靈活性和綜合性.

解法分析：第一種求解思路是直接法，即分類(lèi)討論選修2門(mén)課或3門(mén)課，對(duì)于選修3門(mén)課再討論具體選修課的分配，然后結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解. 第二種求解思路是間接法，即可以先計(jì)算在8門(mén)課中選2門(mén)或者3門(mén)的選擇種數(shù)，然后從中去掉來(lái)自同一類(lèi)別的選法，即[C28+][C38-C24-C34-C24-C34=64]. 當(dāng)然，就此題來(lái)說(shuō)利用直接法求解更簡(jiǎn)便.

解：當(dāng)從8門(mén)課中選修2門(mén)時(shí)，不同的選課方案共有[C14C14=16]種. 當(dāng)從8門(mén)課中選修3門(mén)時(shí)，若選擇體育類(lèi)選修課1門(mén)，藝術(shù)類(lèi)選修課2門(mén)，則不同的選課方案共有[C14C24=24]種；若選擇體育類(lèi)選修課2門(mén)，藝術(shù)類(lèi)選修課1門(mén)，則不同的選課方案共有[C24C14=24]種. 綜上所述，不同的選課方案共有[16+24+24=64]種.

題源分析：此題源自人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱(chēng)“人教A版教材”）選擇性必修第三冊(cè)第25頁(yè)練習(xí)第3題的第（3）小題，其都是運(yùn)用兩個(gè)原理，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算公式求解的.

類(lèi)題賞析：2010年全國(guó)Ⅰ卷（理科）第6題和2018年全國(guó)Ⅰ卷（理科）第15題都是典型的對(duì)兩個(gè)原理進(jìn)行考查的試題.

2. 古典概型與幾何概型，能準(zhǔn)確判斷不同概型，能通過(guò)準(zhǔn)確的計(jì)數(shù)計(jì)算相關(guān)問(wèn)題

例2 （全國(guó)甲卷·文4）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名. 從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為（? ? ）.

（A）[16] （B）[13] （C）[12] （D）[23]

目標(biāo)解析：此題考查了古典概型和實(shí)際問(wèn)題中的組合問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，要求學(xué)生準(zhǔn)確分辨古典概型，并將所有的可能性全部列舉出來(lái)，做到不重不漏，解題思路清晰，屬于容易題. 此題側(cè)重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)，同時(shí)考查學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力.

解法分析：此題可以采用列舉法或公式法求解. 列舉法比較形象直觀(guān)，但在可能性較多的情況下，容易漏寫(xiě)或重復(fù)；公式法則可能混淆排列數(shù)和組合數(shù).

解法1：（列舉法）依據(jù)題意，將高一、高二的4名學(xué)生分別記作A1，A2，B1，B2. 從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2六種可能. 其中，這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2四種可能，所以這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為[46=23].

解法2：（公式法）依據(jù)題意，可知從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演的基本事件有[C24=6]個(gè). 其中，這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的基本事件有[C12C12=4]個(gè)，所以這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為[46=23].

題源分析：此題源于人教A版教材必修第二冊(cè)第237頁(yè)例8，考查古典概型相關(guān)問(wèn)題，是后續(xù)學(xué)習(xí)事件的樣本空間概念的基礎(chǔ)，起到了承上啟下的作用.

類(lèi)題賞析：古典概型在近幾年的高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，多為容易題. 例如，2023年全國(guó)乙卷（文科）第9題、2022年全國(guó)甲卷（文科）第6題、2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷第5題等，其都綜合運(yùn)用了事件相互獨(dú)立等知識(shí)點(diǎn).

3. 考查統(tǒng)計(jì)圖表與數(shù)據(jù)數(shù)字特征，理解數(shù)字特征在統(tǒng)計(jì)中的意義

例3 （全國(guó)乙卷·文 / 理17）某廠(chǎng)為比較甲、乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為[xi]，[yi]（[i=1，2，…，10]），試驗(yàn)結(jié)果如表1所示.

所以認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高.

題源分析：此題源于人教A版教材必修第二冊(cè)第217頁(yè)習(xí)題9.2第7題. 要計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差，再根據(jù)兩種數(shù)字特征進(jìn)行科學(xué)評(píng)價(jià)，研究了針對(duì)平均值與方差的更加深刻的關(guān)系.

類(lèi)題賞析：與此題立意最接近的是2021年全國(guó)乙卷（理科）第17題，其要求學(xué)生運(yùn)用統(tǒng)計(jì)中樣本估計(jì)總體的思想，用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征.比較接近的是2018年全國(guó)Ⅲ卷（理科）第18題，要求學(xué)生借助莖葉圖比較兩組數(shù)據(jù)特征的差異.

4. 概率的性質(zhì)

例4 （全國(guó)新高考Ⅱ卷·12）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立. 發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為[α 0<α<1]，收到0的概率為[1-α]；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為[β 0<β<1]，收到1的概率為[1-β]. 考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次. 收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）（? ? ）.

（A）采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為[1-α1-β2]

（B）采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為[β1-β2]

（C）采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為[β1-β2+1-β3]

（D）當(dāng)[0<α<0.5]時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率

目標(biāo)解析：此題是在實(shí)際背景中考查概率的性質(zhì)，即以發(fā)送和接收信號(hào)的不同方案作為背景，重點(diǎn)考查獨(dú)立事件和互斥事件相關(guān)的概率. 利用概率加法公式和乘法公式求概率，把要求概率的事件拆分成兩兩互斥事件的和及相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵. 重點(diǎn)考查學(xué)生的閱讀理解能力﹑邏輯思維能力，以及分析與處理數(shù)據(jù)的能力.

解法分析：求解此題的首要任務(wù)就是提取信息，理解試題在表達(dá)什么. 選項(xiàng)A和選項(xiàng)B是對(duì)獨(dú)立事件相關(guān)概率的求解，它們可以利用乘法計(jì)算. 對(duì)于選項(xiàng)C，從本質(zhì)上來(lái)看收到對(duì)應(yīng)信號(hào)的個(gè)數(shù)是服從二項(xiàng)分布的，因此可以列出所有情況或直接利用二項(xiàng)分布的結(jié)論進(jìn)行求解. 選項(xiàng)D是概率與不等式的綜合，想要比較大小關(guān)系，作差法是比較直接的. 但是對(duì)選項(xiàng)D還可以進(jìn)行定性分析，選項(xiàng)中的[α]實(shí)際上就是傳輸?shù)腻e(cuò)誤率，錯(cuò)誤率越低，則傳輸?shù)拇螖?shù)較多時(shí)正確的可能性越大. 這就要求我們盡量去理解一些概念，深入挖掘數(shù)字背后的含義.

解：對(duì)于選項(xiàng)A，依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積. 因?yàn)樗鼈兿嗷オ?dú)立，所以所求概率為[1-β1-α1-β=1-α1-β2]. 故正確.

對(duì)于選項(xiàng)B，三次傳輸，發(fā)送1，相當(dāng)于依次發(fā)送1，1，1，則依次收到1，0，1的事件，是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1這3個(gè)事件的積. 因?yàn)樗鼈兿嗷オ?dú)立，所以所求概率為[1-ββ1-β=β1-β2.]故正確.

對(duì)于選項(xiàng)C，三次傳輸，發(fā)送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0；1，0，1；0，1，1和1，1，1的事件和，它們互斥. 由選項(xiàng)B，可知所求的概率為[C23β1-β2+1-β3=1-β21+2β.] 故錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)C知，三次傳輸，發(fā)送0，則譯碼為0的概率[p=1-α21+2α，] 單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0的概率[p=1-α]. 因?yàn)閇0<α<0.5]，所以[p-][p=1-α21+2α-1-α=α1-α1-2α>0，] 即[p>p.]

故正確. 故答案選ABD.

題源分析：此題是對(duì)人教A版教材選擇性必修第三冊(cè)第51頁(yè)例6的改編. 人教A版教材例6的第（1）小題體現(xiàn)了全概率公式的邏輯結(jié)構(gòu)，第（2）小題是對(duì)貝葉斯公式的直接應(yīng)用.

類(lèi)題賞析：獨(dú)立事件和互斥事件的概率問(wèn)題在歷年高考的客觀(guān)題和解答題中均有出現(xiàn)，但更多出現(xiàn)在解答題中與其他知識(shí)綜合進(jìn)行考查. 例如，2020年全國(guó)Ⅰ卷（理科）第19題、2021年全國(guó)新高考Ⅰ卷第8題、2021年全國(guó)新高考Ⅱ卷第21題、2022年全國(guó)甲卷（理科）第19題，這些試題主要涉及獨(dú)立事件和互斥事件概率的定義，并與數(shù)列、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)相結(jié)合.

目標(biāo)解析：此題考查的主要知識(shí)點(diǎn)是隨機(jī)抽樣、數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖、概率的概念、頻率穩(wěn)定于概率的原理，并與函數(shù)相結(jié)合考查學(xué)生對(duì)新定義的理解、頻率的計(jì)算、臨界值范圍的判定、分段函數(shù)求最值的方法的掌握情況. 考查目標(biāo)是檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的掌握情況，要求學(xué)生能根據(jù)頻率分布直方圖獲取所需的數(shù)據(jù)并進(jìn)行分析，能用樣本估計(jì)總體，會(huì)依據(jù)頻率與概率的關(guān)系估計(jì)隨機(jī)事件的概率，會(huì)用概率的方法解決有關(guān)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題. 重點(diǎn)考查分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和從特殊到一般的思想，以及閱讀理解﹑邏輯思維﹑數(shù)據(jù)分析與處理和運(yùn)算求解能力.

解法分析：對(duì)于第（1）小題，由圖1先求出[c]的值，再根據(jù)圖2求出[c≥97.5]的矩形面積即可求解；對(duì)于第（2）小題，根據(jù)題意確定分段點(diǎn)[100，] 即可得到[fc]的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可求解.可以說(shuō)是用最基礎(chǔ)的方法解決了新的問(wèn)題.

題源分析：此題第（1）小題來(lái)源于人教A版教材必修第二冊(cè)第206頁(yè)的探究和第208頁(yè)百分位數(shù)的計(jì)算；第（2）小題來(lái)源于人教A版教材必修第一冊(cè)第93頁(yè)例1和第94頁(yè)例2分段函數(shù)的值域與最值問(wèn)題. 學(xué)生可能出現(xiàn)的主要問(wèn)題為不能準(zhǔn)確理解題意和正確進(jìn)行分段函數(shù)的討論. 除此之外，計(jì)算失誤也是學(xué)生經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)的錯(cuò)誤.

類(lèi)題賞析：頻率分布直方圖是高考中的?？純?nèi)容，如2017年全國(guó)Ⅱ卷（理科）第18題，其中主要涉及頻率分布直方圖、均值及方差、正態(tài)分布的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn). 值得一提的是，雖然《標(biāo)準(zhǔn)》將中位數(shù)的估計(jì)拓展為百分位數(shù)的估計(jì)，但不變的是用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想.

三、優(yōu)秀試題分析

2023年高考概率與統(tǒng)計(jì)試題聚焦核心素養(yǎng)、強(qiáng)化主干內(nèi)容、突出理性思維、考查關(guān)鍵能力，試題設(shè)計(jì)突出數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，體現(xiàn)命題發(fā)展趨勢(shì)，立意深遠(yuǎn)、選材恰當(dāng)、難度適中，對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)具有積極的指導(dǎo)意義. 現(xiàn)優(yōu)中選優(yōu)，舉例分析如下.

例6 （全國(guó)甲卷·理19）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.

題意理解：第（1）小題要明確實(shí)驗(yàn)方案情境為“試驗(yàn)組”和“對(duì)照組”，即40只小白鼠“平均”分為兩組；要能夠理解隨機(jī)變量X的意義，確定概率模型. 第（2）小題要求學(xué)生能夠注意到題干中給定的兩組各20個(gè)數(shù)據(jù)是從小到大排好順序的，求解第①問(wèn)要能夠依據(jù)中位數(shù)的概念對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行整合排序，確定最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)；依據(jù)中位數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，統(tǒng)計(jì)相應(yīng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行整合；依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方公式計(jì)算，對(duì)照表3得出結(jié)果.

思路探求：第（1）小題可以運(yùn)用超幾何分布求解：從40只小白鼠中選取其中2只分配到對(duì)照組，有[C240]種方法，兩只小白鼠全部分配到試驗(yàn)組有[C220C020]種情況，有一只分配到對(duì)照組有[C120C120]種情況，全部分配到對(duì)照組有[C020C220]種情況，然后利用超幾何分布的知識(shí)求解出[X]對(duì)應(yīng)取值為0，1，2時(shí)事件的概率，進(jìn)而寫(xiě)出分布列，再結(jié)合數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可求解. 這是求解此題的最優(yōu)思路，貼近試驗(yàn)背景，解法具有普遍性. 除此之外，還可以運(yùn)用古典概型求解：兩只小白鼠分在兩個(gè)組，每只小白鼠都各有2種分配方案，總的分配方案為4種. 兩只小白鼠全部分配到試驗(yàn)組有1種情況，有一只分配到對(duì)照組有2種情況，全部分配到對(duì)照組有1種情況，利用古典概型的概率公式即可得解. 這種解法運(yùn)算簡(jiǎn)單，但是不具有應(yīng)用的普遍性.

第（2）小題第①問(wèn)需要將數(shù)據(jù)從小到大排列后找到第20個(gè)和第21個(gè)數(shù)據(jù)，求得的這兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為中位數(shù)，再根據(jù)中位數(shù)分類(lèi)填寫(xiě)2 × 2列聯(lián)表. 在求解這40個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)時(shí)，只需要將兩組已排好順序的數(shù)據(jù)重新組合在一起，按從小到大的順序排列，只要排到第20個(gè)和第21個(gè)數(shù)據(jù)，進(jìn)而求出兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)即可. 第②問(wèn)需要利用列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算出[K2]，依據(jù)參考值進(jìn)行比較，從而得到有多大把握認(rèn)為兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)，判斷結(jié)論是否成立.

所以有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.

回顧反思：第（1）小題的易錯(cuò)點(diǎn)主要包括：超幾何分布與二項(xiàng)分布概念模糊，概率模型轉(zhuǎn)化錯(cuò)誤；計(jì)算概率值時(shí)，組合公式應(yīng)用出錯(cuò)，期望值計(jì)算錯(cuò)誤；分布列里面，概率值不是最簡(jiǎn)形式，概率之和不是1. 第（2）小題的易錯(cuò)點(diǎn)主要包括：查找第20個(gè)和第21個(gè)數(shù)據(jù)出錯(cuò)，后面就會(huì)連續(xù)出錯(cuò)，造成大量失分；不清楚偶數(shù)個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，概念模糊導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò)；列聯(lián)表中統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)出錯(cuò)；計(jì)算出錯(cuò)，或判斷結(jié)論時(shí)出錯(cuò)，特別是小于臨界值時(shí)，直接認(rèn)為兩個(gè)變量無(wú)關(guān)；第②問(wèn)的解答書(shū)寫(xiě)不規(guī)范，沒(méi)下結(jié)論，或簡(jiǎn)單寫(xiě)成“有關(guān)”或“無(wú)關(guān)”. 要想避免這些錯(cuò)誤，一是要審清題并標(biāo)注出關(guān)鍵的條件信息，提煉要點(diǎn)，找到問(wèn)題解決的突破口；二是厘清超幾何分布與二項(xiàng)分布概念的區(qū)別；三是準(zhǔn)確掌握中位數(shù)的求法、概率計(jì)算和期望公式的應(yīng)用，提升運(yùn)算能力；四是要注意概率與統(tǒng)計(jì)解答題的書(shū)寫(xiě)規(guī)范.

例7 （全國(guó)新高考Ⅰ卷·21）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃. 無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8. 由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第[i]次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機(jī)變量[Xi]服從兩點(diǎn)分布，且[PXi=1=1-PXi=0=qi，i=1，2，…，n，] 則[Ei=1nXi=][i=1nqi]. 記前[n]次（即從第1次到第[n]次投籃）中甲投籃的次數(shù)為[Y]，求[EY]．

題意理解：此題是以現(xiàn)實(shí)情境為背景命制的概率綜合題，涉及條件概率公式、全概率公式、數(shù)列遞推公式、數(shù)列求和、兩點(diǎn)分布、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望等知識(shí)，考查了抽象概括、推理論證、數(shù)據(jù)處理、運(yùn)算求解等能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng). 此題第（1）小題直接考查全概率公式的應(yīng)用，第（2）小題和第（3）小題的求解關(guān)鍵是根據(jù)題意找到遞推關(guān)系式，然后根據(jù)數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)求解．

思路探求：求解第（1）小題，首先需要用數(shù)學(xué)符號(hào)標(biāo)記相關(guān)事件：[Ai=]“第[i]次投籃的人是甲”，[Bi=]“第[i]次投籃的人是乙”. 由于全概率公式是“由因求果”，因此需要找到導(dǎo)致事件[B2]發(fā)生的原因：事件[A1]或事件[B1]，所以[B2=A1B2+B1B2.] 再利用全概率公式即可求解. 第（2）小題是第（1）小題的一般化，從特殊到一般，是復(fù)雜事件的概率計(jì)算問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題是概率與統(tǒng)計(jì)部分的難點(diǎn)，技巧性強(qiáng)、方法靈活，往往與試驗(yàn)次數(shù)[n]有關(guān)，很難一一枚舉，學(xué)生難以掌握. 要想解決這類(lèi)問(wèn)題，首先要找準(zhǔn)完備事件組，然后把每一次試驗(yàn)中某個(gè)事件發(fā)生的概率看成一個(gè)數(shù)列，如果能得到這個(gè)事件在已知上一次試驗(yàn)結(jié)果的條件下發(fā)生的概率，便可以利用全概率公式得到這個(gè)數(shù)列的遞推關(guān)系式，再結(jié)合數(shù)列遞推關(guān)系的求解方法，求解出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 第（3）小題根據(jù)題中所給的兩點(diǎn)分布的期望和公式，運(yùn)用等比數(shù)列求和公式即可解決.

回顧反思：此題的題源是人教A版教材選擇性必修第三冊(cè)第91頁(yè)復(fù)習(xí)參考題7的第10題，其屬于利用全概率公式推導(dǎo)概率的遞推關(guān)系式的典型題目，題目的現(xiàn)實(shí)情境相對(duì)簡(jiǎn)單，貼近生活，學(xué)生理解起來(lái)難度不大，可以作為此類(lèi)問(wèn)題的母題. 通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)教材習(xí)題的探究，總結(jié)出這類(lèi)試題的解題思路：利用全概率公式推導(dǎo)概率的遞推公式—構(gòu)造等比數(shù)列—求出通項(xiàng)公式. 這樣可以使學(xué)生對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的理解更加透徹，實(shí)現(xiàn)舉一反三、觸類(lèi)旁通，同時(shí)可以培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和深刻性.

例8 （全國(guó)甲卷·理6）某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛(ài)好滑冰，50%的同學(xué)愛(ài)好滑雪，70%的同學(xué)愛(ài)好滑冰或愛(ài)好滑雪. 在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛(ài)好滑雪，則該同學(xué)也愛(ài)好滑冰的概率為（? ? ）.

（A）0.8? ? （B）0.6? ? （C）0.5? ? （D）0.4

題意理解：此題是以現(xiàn)實(shí)情境為背景命制的概率問(wèn)題，涉及條件概率公式、積事件、和事件等知識(shí)，考查了學(xué)生推理論證、數(shù)據(jù)處理、運(yùn)算求解等能力，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)，體現(xiàn)了高考考查的基礎(chǔ)性.

思路探求：此題可以先借助和事件與積事件的關(guān)系得到既愛(ài)好滑雪又愛(ài)好滑冰的學(xué)生所占比例，再運(yùn)用條件概率的定義和運(yùn)算公式求出結(jié)果. 這種解法使得求解目標(biāo)更加明確，只需要把實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題抽象為條件概率模型即可.

回顧反思：此題的題源為人教A版教材選擇性必修第三冊(cè)第44頁(yè)的問(wèn)題1. 條件概率是概率論中的重要概念，是概率論的理論基礎(chǔ). 關(guān)注樣本空間，先發(fā)生的事件可以作為后發(fā)生事件的條件為處理復(fù)雜問(wèn)題提供方法，從而也可以解決不獨(dú)立事件下的積事件的概率，以及為學(xué)習(xí)全概率公式和貝葉斯公式作鋪墊.

教材通過(guò)問(wèn)題呈現(xiàn)向我們展示了生活中遇到的“某一事件的發(fā)生總是與其另一件事情有關(guān)”，并先直觀(guān)地通過(guò)列聯(lián)表為我們指明了一種非常直觀(guān)的解決問(wèn)題的方法，進(jìn)而引導(dǎo)我們把問(wèn)題抽象為古典概型，借助古典概型求概率的過(guò)程解決問(wèn)題，使得我們更加清楚地認(rèn)識(shí)到條件概率是概率的推廣，從而引入了條件概率的定義，使得定義更加合理化. 因此，在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、思考問(wèn)題，并利用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題，最后總結(jié)解決問(wèn)題的方法. 同時(shí)，教師要更加重視教材中的例題和習(xí)題，立足教材、用好教材，通過(guò)研讀教材尋求更好的教學(xué)思路，將來(lái)源于生活的數(shù)學(xué)問(wèn)題更好地呈現(xiàn)給學(xué)生，并促進(jìn)學(xué)生有效掌握相關(guān)內(nèi)容.

四、復(fù)習(xí)備考建議

概率與統(tǒng)計(jì)在大數(shù)據(jù)和人工智能時(shí)代發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用，其基礎(chǔ)知識(shí)已經(jīng)成為一個(gè)未來(lái)公民所必備的數(shù)學(xué)常識(shí). 在高中數(shù)學(xué)課程中，概率與統(tǒng)計(jì)是一個(gè)重要主題，貫穿必修和選擇性必修課程，是培養(yǎng)學(xué)生有關(guān)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的重要媒介. 因此，近幾年高考對(duì)這部分知識(shí)保持了較高的考查頻度，并且考查難度有逐步提高的趨勢(shì)，以后也必將是高考考查的核心和熱點(diǎn). 鑒于以上趨勢(shì)及概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)的特點(diǎn)，提出以下四點(diǎn)復(fù)習(xí)備考建議.

1. 重視數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)

近年來(lái)，高考數(shù)學(xué)試題的命制正朝著淡化解題技巧的“反套路”方向邁進(jìn)，對(duì)學(xué)生“四能”的要求逐步提升. 概率與統(tǒng)計(jì)試題是發(fā)展學(xué)生“四能”的有效載體. 對(duì)于該專(zhuān)題內(nèi)容的復(fù)習(xí)切忌題型套路，否則一旦面對(duì)新的問(wèn)題情境時(shí)就會(huì)顯得茫然不知所措，甚至看不懂題意. 因此，要注重學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀理解能力的提升，提高學(xué)生對(duì)文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的互譯能力.

2. 回歸教材，夯實(shí)“四基”，重視對(duì)基本概念和公式的理解

在復(fù)習(xí)備考過(guò)程中，要特別注重對(duì)教材的使用. 作為高考命題的重要參考之一，教材在復(fù)習(xí)備考中具有不可替代的作用. 師生要利用好教材的引領(lǐng)功能：在重現(xiàn)教材例題的過(guò)程中規(guī)范解題步驟與格式，在重練教材重點(diǎn)習(xí)題的過(guò)程中夯實(shí)通性通法. 同時(shí)，要關(guān)注教材內(nèi)容的變化，注重概念的對(duì)比辨析，增強(qiáng)對(duì)概率模型的辨識(shí)能力. 通過(guò)具體的實(shí)例，經(jīng)歷問(wèn)題解決的過(guò)程，學(xué)會(huì)用符號(hào)表示事件，進(jìn)而準(zhǔn)確構(gòu)建概率模型. 例如，可以利用樹(shù)形圖推導(dǎo)全概率公式的遞推關(guān)系式，以增進(jìn)對(duì)概念的理解.

3. 聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，注重提煉思想方法

概率與統(tǒng)計(jì)專(zhuān)題內(nèi)容的復(fù)習(xí)要聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)和能力. 概率與統(tǒng)計(jì)試題的解題過(guò)程處處體現(xiàn)出對(duì)素養(yǎng)的要求，復(fù)習(xí)過(guò)程中要時(shí)刻用數(shù)學(xué)思想引領(lǐng)復(fù)習(xí)的方向. 隨機(jī)抽樣的原理、隨機(jī)性中的規(guī)律性、統(tǒng)計(jì)結(jié)論的或然性、頻率穩(wěn)定于概率的原理、樣本估計(jì)總體的思想、隨機(jī)變量的概念與含義、獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想等概率與統(tǒng)計(jì)中特有的思想方法對(duì)于掌握概率與統(tǒng)計(jì)試題的解題方法至關(guān)重要. 因此，要把對(duì)這些數(shù)學(xué)思想方法的參悟貫穿在解題過(guò)程中，使復(fù)習(xí)過(guò)程能夠體現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)積累和思想升華.

4. 關(guān)注知識(shí)內(nèi)涵，注重解題規(guī)范

在復(fù)習(xí)備考過(guò)程中，要透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，從紛繁復(fù)雜的問(wèn)題背景中看到其考查的數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，并將其提煉、簡(jiǎn)化為基本模式. 對(duì)基本模式的提煉本質(zhì)上是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵的再認(rèn)識(shí). 對(duì)于概率與統(tǒng)計(jì)解答題，往往需要先將情境問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，再通過(guò)數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)計(jì)算、邏輯推理得到數(shù)學(xué)結(jié)論，整個(gè)過(guò)程需要數(shù)學(xué)語(yǔ)言和自然語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化. 因此，在復(fù)習(xí)備考過(guò)程中要重視解題格式的訓(xùn)練，做到文字符號(hào)準(zhǔn)確、語(yǔ)言表述規(guī)范、邏輯推理嚴(yán)謹(jǐn).

五、典型模擬題

1.（多選題）某商場(chǎng)設(shè)有電子盲盒機(jī)，每個(gè)盲盒外觀(guān)完全相同，規(guī)定每個(gè)玩家只能用一個(gè)賬號(hào)登錄，且每次只能隨機(jī)選擇一個(gè)開(kāi)啟. 已知玩家第一次抽盲盒，抽中獎(jiǎng)品的概率為[27，] 從第二次抽盲盒開(kāi)始，若前一次沒(méi)抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為[12]；若前一次抽中獎(jiǎng)品，則這次抽中的概率為[13]. 記玩家第[n]次抽盲盒，抽中獎(jiǎng)品的概率為[Pn]，則（? ? ）.

（A）[P2=1942]

（B）數(shù)列[Pn-37]為等比數(shù)列

（C）[Pn≤1942]

（D）當(dāng)[n≥2]時(shí)，[n]越大，[Pn]越小

答案：[ABC].

2. 糟蛋是新鮮鴨蛋（或雞蛋）用優(yōu)質(zhì)糯米糟制而成，是中國(guó)別具一格的特色傳統(tǒng)美食，以浙江平湖糟蛋、陜州糟蛋和四川宜賓糟蛋最為著名. 平湖糟蛋采用優(yōu)質(zhì)鴨蛋、上等糯米和酒糟糟漬而成，經(jīng)過(guò)糟漬蛋殼脫落，只有一層薄膜包住蛋體，其蛋白呈乳白色，蛋黃為橘紅色，味道鮮美. 糟蛋營(yíng)養(yǎng)豐富，每百克中約含蛋白質(zhì)15.8克、鈣24.8克、磷11.1克、鐵0.31克，并含有維持人體新陳代謝必需的18種氨基酸. 現(xiàn)有平湖糟蛋的兩家生產(chǎn)工廠(chǎng)，產(chǎn)品按質(zhì)量分為特級(jí)品、一級(jí)品和二級(jí)品，其中特級(jí)品和一級(jí)品都是優(yōu)等品，二級(jí)品為合格品. 為了比較兩家工廠(chǎng)的糟蛋質(zhì)量，分別從這兩家工廠(chǎng)的產(chǎn)品中各選取了200個(gè)糟蛋，產(chǎn)品質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如表7所示.

答案：（1）[34].（2）依據(jù)小概率值[α=0.01]的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷[H0]不成立，即認(rèn)為兩家工廠(chǎng)生產(chǎn)的糟蛋質(zhì)量有差異．

3. 為了增強(qiáng)學(xué)生的冬奧會(huì)知識(shí)，弘揚(yáng)奧林匹克精神，某市多所中小學(xué)校開(kāi)展了模擬冬奧會(huì)各項(xiàng)比賽的活動(dòng). 為了了解學(xué)生在越野滑輪和旱地冰壺兩項(xiàng)活動(dòng)中的參與情況，在該市中小學(xué)學(xué)校中隨機(jī)抽取了10所學(xué)校，10所學(xué)校的參與人數(shù)如圖3所示.

（1）現(xiàn)從這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行調(diào)查，求選出的2所學(xué)校參與越野滑輪活動(dòng)的人數(shù)都超過(guò)40人的概率.

（2）現(xiàn)有一名旱地冰壺教練在這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校進(jìn)行指導(dǎo)，記[X]為教練選中參加旱地冰壺活動(dòng)的人數(shù)在30人以上的學(xué)校個(gè)數(shù)，求[X]的分布列和數(shù)學(xué)期望.

（3）某校聘請(qǐng)了一名越野滑輪教練，對(duì)高山滑降、轉(zhuǎn)彎、八字登坡滑行這3個(gè)動(dòng)作進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo). 規(guī)定：這3個(gè)動(dòng)作中至少有2個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)”，總考核記為“優(yōu)”. 在指導(dǎo)前，該校甲同學(xué)3個(gè)動(dòng)作中每個(gè)動(dòng)作達(dá)到“優(yōu)”的概率為0.1. 在指導(dǎo)后的考核中，甲同學(xué)總考核成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”. 能否認(rèn)為甲同學(xué)在指導(dǎo)后總考核達(dá)到“優(yōu)”的概率發(fā)生了變化？試說(shuō)明理由．

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史寧中，王尚志.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》解讀［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

作者簡(jiǎn)介：趙小強(qiáng)（1974— ），男，中小學(xué)正高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)和評(píng)價(jià)研究；

張海營(yíng)（1964— ），男，中小學(xué)正高級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)和評(píng)價(jià)研究.