掌握概念·理解模型·悟透思想

盧勇　曾榮

摘? 要：2023年高考立體幾何試題依托基本概念，注重算法優(yōu)化，重點考查數(shù)學(xué)運算；依托基本模型，注重探究創(chuàng)新，重點考查直觀想象；依托基本思想，注重綜合應(yīng)用，重點考查邏輯推理. 文章從目標解析、解法分析、題源分析和類題賞析四個方面對2023年高考立體幾何試題的特點進行分析，在此基礎(chǔ)上對2024年高考立體幾何專題復(fù)習(xí)提出建議．

關(guān)鍵詞：立體幾何；試題特點；解法分析；復(fù)習(xí)建議

立體幾何主要研究的是現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系，是高中數(shù)學(xué)知識的重要組成部分．2023年高考立體幾何試題考查的內(nèi)容與《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）保持一致，與教材中知識內(nèi)容的比例相當(dāng)．試題在全面考查學(xué)生對立體幾何基礎(chǔ)知識理解與掌握情況的同時，著重考查了學(xué)生對降維、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想的掌握情況. 試題重基礎(chǔ)、重應(yīng)用、重能力，很好地考查了學(xué)生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，體現(xiàn)出了較好的區(qū)分度和選拔功能．

一、試題特點分析

2023年的9份高考數(shù)學(xué)試卷（6份全國卷和3份地方卷）中，共有24道立體幾何試題（文、理科相同試題不累計）. 對各份試卷中的立體幾何試題考點分布情況進行統(tǒng)計、分析，如表1所示．

從表1可以看出，2023年各份高考試卷中的立體幾何試題大多數(shù)屬于基礎(chǔ)題或中檔題，這些試題以考查立體幾何相關(guān)的基礎(chǔ)知識、基本方法、基本技能和基本活動經(jīng)驗為主線，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求，讓不同水平的學(xué)生都能學(xué)有所得. 2023年各份高考試卷中立體幾何試題的主要考查特點如下．

1. 依托基本概念，注重算法優(yōu)化，考查數(shù)學(xué)運算

2023年高考中的多道立體幾何試題直接依托基本概念，多維度考查主干知識，要求學(xué)生在解題時不僅要厘清有關(guān)的概念，還要應(yīng)用概念解決問題、優(yōu)化運算.

例1 （全國新高考Ⅰ卷·14）在正四棱臺[ABCD-A1B1C1D1]中，[AB=2]，[A1B1=1]，[AA1=2]，則該棱臺的體積為? ? ? ? ．

目標解析：棱臺的概念及棱臺體積的計算是高中數(shù)學(xué)的必備知識. 此題很好地考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸、運算求解和空間想象等能力．

解法分析：此題可以將棱臺補形為棱錐，根據(jù)題設(shè)的條件分別求出補形以后大棱錐和小棱錐的體積，進而求出棱臺的體積；也可以直接構(gòu)造棱臺的高，進而借助棱臺的體積公式求出棱臺的體積．

題源分析：此題源自人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“人教A版教材”）必修第二冊第116頁練習(xí)第1題，僅僅將正六棱臺改為正四棱臺，條件如出一轍，均是給出底面邊長與側(cè)棱長. 教材中的典型例題和習(xí)題是高考命題的“題根”，認真研究教材、深刻理解教材，便可以探尋出命題規(guī)律，把握命題方向.

類題賞析：求臺體的體積是高考考查的熱點問題，補形轉(zhuǎn)化的方法優(yōu)化了求解過程、簡便了具體運算. 2023年全國新高考Ⅱ卷第14題、2022年全國新高考Ⅰ卷第4題均可以用類似的方法求解. 解決此類問題時應(yīng)該注意以下幾點：（1）準確理解臺體的概念，把握臺體與錐體的關(guān)系，善于利用概念間的關(guān)系優(yōu)化運算；（2）熟練掌握錐體、臺體等典型幾何體的特征平面圖形中蘊含的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．

2. 依托基本模型，注重探究創(chuàng)新，考查直觀想象

2023年高考立體幾何試題以基本幾何體為載體，精心創(chuàng)設(shè)試題情境，考查學(xué)生對空間圖形結(jié)構(gòu)特征本質(zhì)的認識，以及在解決空間問題過程中展現(xiàn)的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)．

例2 （全國新高考Ⅰ卷·12）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（? ? ）.

目標解析：此題以在正方體容器內(nèi)放置不同的幾何體為切入點，全面考查正方體、球、正四面體、圓柱等基本幾何模型，綜合考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，重點考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、探究創(chuàng)新能力，以及綜合運用知識分析問題、解決問題的能力．

解法分析：對于選項A，因為正方體的內(nèi)切球直徑長為1 m，[0.99 m<1 m]，所以該球體能夠被整體放入正方體內(nèi)，故正確.?題源分析：此題背景源自人教A版教材必修第二冊第143頁習(xí)題8.5第5題，第（2）小題源自人教A版教材必修第二冊第164頁習(xí)題8.6第20題，第（3）小題直接考查用定義法求二面角．此題源于教材又高于教材，這正是新高考命題的創(chuàng)新所在，變化的是問題的設(shè)置方式，不變的是對通性通法和學(xué)生思維水平的考查. 此題打破了立體幾何解答題中利用坐標法求解的固化套路，著力考查學(xué)生利用綜合法分析問題和解決問題的能力，以及對平面圖形問題的運算求解能力，彰顯了高考命題反套路、反機械刷題的決心，有效引導(dǎo)教學(xué)回歸培育學(xué)生素養(yǎng)的正確道路上來．

類題賞析：空間中平行、垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)，以及空間角的計算幾乎在每份高考試卷中都有體現(xiàn)，這是立體幾何試題考查永恒的主旋律. 用綜合法解決立體幾何試題在高考中也經(jīng)常出現(xiàn). 例如，2022年全國乙卷（文科）第18題、2022年全國新高考Ⅱ卷第18題、2021年全國新高考Ⅰ卷第20題、2020年全國Ⅲ卷（文科）第19題等. 在立體幾何試題的求解過程中，要立足基本圖形，善于分解、降維，厘清線面位置關(guān)系，注重數(shù)學(xué)思想方法的提煉與總結(jié)，促進直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的提升．

二、優(yōu)秀試題分析

例4 （上海卷·12）空間內(nèi)存在三點[A，B，C]，滿足[AB=AC=BC=1]，在空間內(nèi)取不同兩點（不計順序），使得這兩點與[A，B，C]可以組成正四棱錐，求不同的取法為 ? ．

題意理解：此題是在正四棱錐的三個頂點確定、另外兩個頂點不確定的前提下，探求正四棱錐可能的情形. 解答此題需要通過直觀感知、分類討論、邏輯推理等方式認識和探索空間圖形的形狀和位置，很好地考查了學(xué)生的空間想象能力，以及分析問題和解決問題的能力．

思路探求：先明確[A，B，C]三點確定一個平面，其可能是正四棱錐的側(cè)面，也可能是正四棱錐的對角截面，然后在此基礎(chǔ)上進行分類討論，得出結(jié)論.

解：若[A，B，C]三點構(gòu)成的是正四棱錐的側(cè)面，以[BC]作為底面的棱，則另外兩個頂點[D，E]位于[BC]的同側(cè)，將構(gòu)成的正方形[BCDE]作為底面，可以得到兩個正四棱錐；若[A，B，C]三點構(gòu)成的是正四棱錐的對角截面，以[BC]作為底面的對角線，則另外兩個頂點[D，E]位于[BC]的異側(cè)，將構(gòu)成的正方形[BDCE]作為底面，可以得到一個正四棱錐. 將AB，AC作為底面的棱，分類討論的情況與此類似，詳見表2. 所以滿足要求的點的取法共有9種.

回顧反思：立體幾何主要研究現(xiàn)實世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系，研究的一般路徑是先整體后局部. 我們要善于結(jié)合直觀感知初步判斷幾何體的形狀，然后通過推理進行具體探究. 在論證過程中要做到分類合理、思維縝密、表達清晰．

例5 （全國乙卷·文16）已知點[S，A，][B，C]均在半徑為2的球面上，[△ABC]是邊長為3的等邊三角形，[SA⊥]平面[ABC]，則[SA]的值為________．

題意理解：此題中，已知三棱錐S-ABC的底面是正三角形，以及三棱錐S-ABC外接球的半徑為2，要求棱錐S-ABC的高. 解題的關(guān)鍵是構(gòu)造由截面圓半徑、球半徑、球心到截面的距離組成的直角三角形，難點在于球心位置的確定及關(guān)于球半徑的等量關(guān)系的建立．

思路探求：根據(jù)[△ABC]是等邊三角形且[SA⊥]平面[ABC]畫出棱錐直觀圖，將棱錐S-ABC補形為正棱柱，便于研究外接球. 如圖12，可知三棱錐S-ABC外接球的球心位于直棱柱上下底面中心連線段[O1O2]的中點[O]處，球心與三棱錐底面頂點A的連線段[OA]即為外接球半徑. 在[Rt△OO1A]中，利用勾股定理解出[OO1]，進而由[SA=2OO1]得到所求.

回顧反思：空間中點、直線、平面之間的位置關(guān)系，以及空間距離和空間角的計算是立體幾何部分的重要內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)的必備知識. 此題為不同基礎(chǔ)的學(xué)生提供了想象的空間和多維度的解題思路，可以利用幾何法對空間中的位置關(guān)系、距離、角等問題進行轉(zhuǎn)化，很好地體現(xiàn)了高考試題對直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的考查要求；也可以通過尋找三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標系，借助向量運算解決問題，體現(xiàn)了向量在立體幾何問題求解中的工具性的作用.

三、復(fù)習(xí)備考建議

通過對2023年高考立體幾何試題的特點分析和優(yōu)秀試題分析，對2024年高考立體幾何的復(fù)習(xí)提出以下幾點建議．

1. 概念與模型并重

從考查的知識點來看，2023年高考立體幾何試題涉及空間中點、直線、平面的位置關(guān)系，有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定，以及體積、面積、線面角、二面角、空間距離的計算；從考查的幾何模型來看，2023年高考立體幾何試題全面考查了柱體、錐體、臺體、球等模型，以及簡單的組合體模型. 對于立體幾何內(nèi)容的復(fù)習(xí)，要認真梳理基礎(chǔ)知識，掌握每個概念、定理的內(nèi)涵，理解常見幾何模型的基本特征，以及模型之間的內(nèi)在聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上準確把握立體幾何的本質(zhì)，建立立體幾何的系統(tǒng)知識體系．

2. 方法與思想并舉

綜合幾何法和空間向量法是解決立體幾何問題兩種常用方法. 在實際解題過程中，很多學(xué)生會存在套路化傾向，導(dǎo)致其對空間向量法掌握較熟練，而運用綜合幾何法解決問題的能力較弱. 在2023年高考立體幾何試題中，兩種方法都得到了不同程度的應(yīng)用，部分試題線面垂直關(guān)系比較明顯，運用空間向量法比較自然；部分試題不存在顯而易見的線面垂直關(guān)系，不易建立空間直角坐標系，運用綜合幾何法求解比較便捷；部分試題利用兩種方法均可以解決問題，但是綜合幾何法通過增加思維量的方式減少了運算量，對學(xué)生的思維層次進行了有效考查. 在復(fù)習(xí)過程中，對兩種方法都要重視，要善于根據(jù)不同的情境靈活選取合適的方法求解．

2023年高考立體幾何試題在全面考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識理解與掌握情況的同時，重點考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想——不規(guī)則幾何體通過割補的方式轉(zhuǎn)化為常見的簡單幾何體；復(fù)雜的立體圖形問題通過降維轉(zhuǎn)化為平面問題，再分解為基本圖形；陌生的數(shù)學(xué)模型遷移轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)模型. 在復(fù)習(xí)過程中，要主動體會、領(lǐng)悟蘊含于解題過程中的數(shù)學(xué)思想方法．

3. 想象與推理齊飛

解決立體幾何問題需要具有很好的空間想象能力，以及較強的構(gòu)圖、析圖和用圖能力. 如果題目給出了圖形，需要“有圖想圖”，通過邏輯推理進一步厘清圖形中蘊含的線面關(guān)系；如果題目沒有給出圖形，需要“無圖想圖”、主動構(gòu)圖，準確、直觀地作出圖形有助于問題的解決. 在邏輯證明的過程中，要做到規(guī)范嚴謹、思維連貫，確保有果必有因，切忌無中生有. 要不斷提高邏輯思維能力和解題效率．

四、典型模擬題

1. 已知底面半徑為r的圓錐SO，其軸截面是正三角形，它的一個內(nèi)接圓柱的底面半徑為[r3]，則此圓柱與圓錐的側(cè)面積的比值為（? ? ）.

參考文獻：

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［2］黃仙萍，洪武定. 2021年高考“立體幾何”專題解題分析［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2021（9）：2-9.

［3］趙小強，張海營. 想象與推理并重? 幾何與代數(shù)齊飛：2022年高考“立體幾何”專題解題分析［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2022（7 / 8）：65-77.

基金項目：江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃重點課題——數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)教育深度融合的理論與實踐研究（B/2022/01/05）.

作者簡介：盧勇（1977— ），男，中小學(xué)高級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)和評價研究；

曾榮（1973— ），男，中小學(xué)正高級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)和評價研究.