郭慧清　洪建明　曾勁松

編者按：2023年《中國數學教育》高考專刊邀請來自全國13個省、市的權威專家撰稿，分“命題分析”和“解題分析”兩個專版，按“整體評價”和“專題評價”兩個層次，以全國卷為主，兼顧地方卷，突出對高考命題改革新變化的分析，并從中歸納教學新導向，輔助教師把握新高考的命題理念和考查要求，促進學生理解高考試題的考查要點和解題方向. 文章中所用高考試題如有出入，以官方發(fā)布為準. 本專題文章持續(xù)刊登，歡迎廣大教師圍繞本專題內容踴躍投稿！

摘? 要：對2023年高考數學試題進行整體梳理，從基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性等方面對試題進行特點分析. 通過對典型試題的分析，揭示試題的知識背景，挖掘試題所蘊含的思想方法；以精選試題作為題例進行解法分析，重視試題解答的通性通法，強調各種解答之間所表現出的數學聯系性. 并在此基礎上結合實例為高考復習備考提供策略與建議.

關鍵詞：高考試題；試題特點；解題分析；復習建議

每年的高考數學試題都被人們廣泛關注，也不斷有人對其作出分析與解答. 但是，我們到底要關注什么？怎樣分析與解答才能獲得試題對于數學教與學的確切啟示？

2023年高考數學試題重視對數學概念與原理的考查，突出檢驗學生對數學思想方法的領悟程度，從基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性等多角度反映學生的數學思維水平，測量學生的“四基”“四能”與數學核心素養(yǎng). 試題力求反映數學內容的特殊與一般、聯系與綜合等特征，對今后的高中數學教學具有啟發(fā)性，也為一線教師評價學生的數學學業(yè)水平提供了重要參考.本文通過對2023年高考數學試題的解題分析，力求闡明2023年高考數學試題的主要特點，并以此為2024年高考數學備考提供參考建議.

一、試題特點分析

1. 強調基礎性

數學知識的結構化與數學內容的系統(tǒng)性決定了高考數學試題必須強調基礎性. 因此，從數學的基本概念與基本模型、基本方法與基本思想出發(fā)探求試題的解題途徑，是解題思維的起點與基本路徑.

分析：此題考查集合的運算，對交集意義的理解，以及一元二次不等式的解法. 通常的做法是先求出不等式[x2-x-6≥0]的解集，再找出集合M與集合N的公共元素，并由此得到答案. 這樣做雖然可以得到正確的答案，但耗時較多，也沒有體現出對交集意義的深入理解. 如果注意到求[M?N]的本質，就是檢驗集合M的元素哪些在集合N中，當[x≤1]時，利用絕對值三角不等式容易作出判斷，這樣只需要觀察集合M中絕對值較大的數-2，2是否滿足不等式[x2-x-6≥0]即可.

將-2，2分別代入不等式[x2-x-6≥0]驗證，只有-2是該不等式的解，故[M?N]=[-2].

【評析】深刻理解數學概念是解決數學問題的關鍵與基本功．“交”是集合最基礎的運算，其本質是尋找兩個集合的公共元素，也就是求滿足兩個集合條件的元素. 此題中由于集合M中的元素明確且少量，故相對于解法1，解法2能更快捷地得到答案，這也是高水平數學思維的基本特征，這在規(guī)定時間的考試中非常重要．

分析：此題考查復數的基本概念與基本運算，同時可以檢驗學生知識的“寬度”與“深度”. 根據虛數單位[i]的意義及復數的四則運算法則，將復數[z]化為代數形式，然后根據共軛復數的定義即可得出答案. 除此之外，也可

【評析】解法1是使用計算的方式考查邏輯推理，當然不是簡單的數字計算，而是結合作圖與證明進行的. 基本步驟可以歸納為作圖、證明、計算. 作圖是作出必要的輔助線或待求的幾何量；證明是運用三段論的方式進行演繹推理；計算大多數在三角形中進行. 這三步緊密聯系，構成用純幾何法解決空間度量問題的思維程序，是數學能力的綜合體現.

【評析】全概率公式[PB=i=1nPAiPBAi]是高中數學課程中新增加的內容，是概率論最基本的公式之一，提供了求復雜事件概率的方法，即將一個復雜事件表示為若干兩兩互斥事件的和，進而將難求的復雜事件的概率轉化為可求事件的概率來解決問題．

現行高中數學教材在必修和選擇性必修課程中介紹了[Eax+b=aEx+b]，但沒有介紹[Ex+y=Ex+][Ey]（x，y是隨機變量，a，b是常數），而這又是解決第（3）小題的依據，這提醒學生在學習高中數學內容時要處理好必修、選擇性必修與選修課程之間的關系.

【評析】第（2）小題的求解難點是如何對[a]進行分類，也就是找到對[a]分類的“界”. 出發(fā)點是在x = 0處，[fx]的符號應該是左正右負. 基于對稱性，對于正數a，只要存在正數m使得[fx]< 0在區(qū)間[0，m]上恒成立即可. 由第（1）小題，可知[ax-ax2

與此類似的試題有2023年全國甲卷（理科）第21題.

例10 （全國新高考Ⅰ卷·22）在直角坐標系[xOy]中，點[P]到[x]軸的距離等于點[P]到點[0， 12]的距離，記動點[P]的軌跡為[W]．

（1）求[W]的方程；

（2）已知矩形[ABCD]有三個頂點在[W]上，證明：矩形[ABCD]的周長大于[33]．

分析：此題以拋物線為載體，考查求軌跡方程，以及不等式、函數與導數等知識的綜合問題.

第（1）小題設[Px，y]，根據點[P]應該滿足的幾何條件列出方程，化簡即可. 對于第（2）小題，可以把問題轉化到拋物線[y=x2]上考慮求解. 設矩形的三個頂點分別為[At，t2，Bt1，t12，Dt2，t22，] 或者設[At，t2]和直線[AB]的斜率為[k]，利用[AB⊥AD]，建立[t，t1，t2]或[t，k]之間的關系，然后求出矩形[ABCD]周長的表達式，再利用不等式放縮減少變量的個數，進而轉化為求函數的最小值. 這里的工具有導數、基本不等式或三角換元等，最后驗證等號均成立的條件不具備即可.

【評析】此題以現代通信中的信息傳輸為背景，體現了概率知識在實際問題中的應用. 將信息傳輸中的基本狀態(tài)和譯碼規(guī)則與隨機事件及隨機事件的和與積對應起來是解決問題的關鍵．比較兩個概率的大小，則要用到作差法比較兩數大小及代數式的恒等變形．

例13 （全國新高考Ⅱ卷·19）某研究小組經過研究發(fā)現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經過大量調查，得到患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖如圖13和圖14所示.

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值[c]，將該指標大于[c]的人判定為陽性，小于或等于[c]的人判定為陰性. 此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為[pc]；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為[qc]. 假設數據在組內均勻分布. 以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.

（1）當漏診率[pc=0.5%]時，求臨界值[c]和誤診率[qc]；

（2）設函數[fc=pc+qc]. 當[c∈95，105]時，求[fc]的解析式，并求[fc]在區(qū)間[95，105]的最小值．

分析：此題考查用樣本估計總體的思想和函數思想；考查數據分析素養(yǎng)和數學運算素養(yǎng)．

指標[c]在兩個圖中是同一個位置，大于[c]判定為陽性，不大于[c]判定為陰性. 圖13是患病者指標分布，因此小于[c]對應漏診率；圖14是未患病者指標分布，因此不小于[c]對應誤診率. 第（1）小題根據漏診率，即圖13中[c]左邊矩形的面積和為0.5%確定[c]的值，從而在圖14中求得[c]右邊的矩形面積和，即誤診率. 第（2）小題將[c]作為自變量，先求得[fc]的解析式，再求[fc]的最小值．

【評析】此題以醫(yī)學統(tǒng)計學為背景，揭示了確定醫(yī)學指標臨界值[c]的過程. 試題要求學生能從圖文中正確讀取數據信息，通過臨界值[c]將從兩個圖得到的信息聯系起來進行數據分析，充分反映了高中概率統(tǒng)計課程的基本要求，也是學生數據分析素養(yǎng)的具體體現．

4. 引導創(chuàng)新性

2023年高考數學試題在考查學生創(chuàng)新精神、創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力方面有新的突破，不僅出現了應用全概率公式計算概率這樣考查新內容的試題，也出現了解析幾何與不等式證明、求函數最值相結合的試題. 特別值得注意的是，以往試題中所涉及的數學對象，在給出一定條件后就成為確定的數學對象或一元數學對象，2023年高考數學試題中出現了在給定條件下是二元數學對象的試題（如全國新高考Ⅰ卷第12題），這值得大家關注和分析總結．

例14 （全國新高考Ⅰ卷·12）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有（? ? ）.

（A）直徑為[0.99 m]的球體

（B）所有棱長均為[1.4 m]的四面體

（C）底面直徑為[0.01 m]，高為[1.8 m]的圓柱體

（D）底面直徑為[1.2 m]，高為[0.01 m]的圓柱體

分析：此題考查正方體與正四面體、球體、圓柱體等的簡單組合體，要求學生運用直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等方式認識和探索空間圖形的結構特征（形狀、大小、位置）. 根據題意，結合正方體內部的球、正四面體、圓柱及正方體直徑（正方體上兩點間的最大距離）、截面等逐項分析判斷即可求解. 對于選項D，可以考慮以正方體的體對角線為軸的圓柱，也可以考慮正方體的最大面積的截面的內切圓.

解：對于選項A，因為棱長為[1]的正方體，其內切球的直徑為[1>0.99]，所以直徑為[0.99]的球體能夠被整體放入此正方體內. 故正確.

對于選項B，因為棱長為[1]的正方體的面對角線長為[2>1.4]，如圖15中棱長為[2]的正四面體[ABCD]在棱長為[1]的正方體內，所以棱長為[1.4]的正四面體能夠被整體放入此正方體內. 故正確.

對于選項C，正方體上任意兩點間的最大距離為體對角線長，因為棱長為[1]的正方體的體對角線長為[3]，且[3<1.8]，所以高為[1.8]的圓柱體不能夠被整體放入此正方體內. 故錯誤.

對于選項D，由[1.2>1]，可知棱長為[1]的正方體底面正方形不能包含底面直徑為[1.2]的圓柱底面圓. 如圖16，假設底面圓直徑為[1.2]的圓柱以正方體對角線[BD1]為軸，圓柱的上底面圓M（點M為圓心）、下底面圓N（點N為圓心）均與多面體的面相切，設圓N與正方體下底面相切于點[E]，由于底面圓半徑為[0.6]，所以[NE=35].

【評析】此題具有豐富的實際背景，在工程、材料、包裝、雕塑等設計領域經常會遇到類似的空間組合體問題. 如果學生善于觀察生活，掌握一些常見空間幾何組合體模型（如柱體、錐體、臺體、球體等的接、切、截），則很容易判斷此題選項A，B，C的正誤. 對于選項D，則需要學生具有較強的空間想象與估算能力. 2018年全國新課標Ⅰ卷第12題也曾考查過正方體的最大截面問題.

與此類似的試題有2023年上海卷第12題.

例15 （全國新高考Ⅱ卷·15）已知直線[x-my+][1=0]與[⊙C： x-12+y2=4]交于[A，B]兩點，寫出滿足“[△ABC]面積為[85]”的[m]的一個值________.

分析：此題主要考查直線與圓的方程及直線與圓的位置關系、點到直線的距離等；考查數形結合思想和分類討論思想. 根據直線與圓的位置關系，求出弦長[AB]，以及點[C]到直線[AB]的距離，結合面積公式即可解出答案．

【評析】此題具有一定的開放性，答案不唯一，解題方法也較多. 上述解法1是通法，解法2是注意到題中直線過特殊的定點（在圓上，也在橫軸上），因而只需考慮直線[y=85]或直線[y=-85]與圓的交點即可. 當然，發(fā)現[A-1，0]后，也可以利用圓的參數方程求解：設[B1+2cosθ，2sinθ，] 則[CA=-2，0， CB=2cosθ，2sinθ][0≤θ<2π.] 所以[S△ABC=12CACBsinπ-θ=2sinθ=85.]由此求得[sinθ]的值后，再求點[B]的坐標和m的值.

分析：此題考查圓錐曲線的基礎知識；考查等價轉化思想和邏輯推理素養(yǎng).

若曲線是“自相關曲線”，則存在定點M，當曲線上任一點P到M的距離為d時，曲線上必有相應的點Q到點M距離為[1d]. 問題可以轉化為“設曲線上任一點到某定點M距離的取值范圍為A，若d?A時[1d]?A，則該曲線為自相關曲線”. 因此，求[PM]的取值范圍是關鍵.

解：對于命題①，不妨設橢圓的方程為[x2a2+y2b2=1][? a>b>0，Mm，0 m>a.] 由幾何直觀，可得[PM]的取值范圍為A =[m-a，m+a]. 令[m-am+a=1，]解得m =[1+a2].

可見，存在點M[1+a2，0，] 對于橢圓上任意一點P，在橢圓上都有點Q，使得[PMQM=1]. 所以橢圓為“自相關曲線”. 故為真命題．

對于命題②，對于任意的點M和雙曲線上的點[P]，顯然[PM]存在最小值m（m > 0），即[PM]的取值范圍是A =[m，+∞]. 假設雙曲線是“自相關曲線”，且雙曲線上某點P滿足[PM=d]，則所求的Q須滿足[QM]=[1d]. 所以[d>m]且[1d>m]. 由[d>m]，得[1d]< m. 這與[1d>m]矛盾，所以點Q不存在. 所以不存在雙曲線是“自相關曲線”，故為假命題．

【評析】此題求解的關鍵在于深入理解新定義，并能夠將其轉化為求曲線上任一點到定點M的距離的取值范圍. 對于命題①，考慮到這是一個存在性問題，因此假設定點為M（m，0），并且m > a，這樣可以更輕松地得到[PM]的取值范圍. 當m =[1+a2]時，[PM]的取值范圍是A =[1+a2-a， 1+a2+a]，兩端點的值互為倒數（積為1）. 滿足若d∈A，必有[1d]∈A. 可見，此題本質上就是當[PM]的取值范圍是一段區(qū)間時，判斷這個區(qū)間的兩個端點是否互為倒數即可，但是雙曲線不具有這一特點，有了這個認識，就可以迅速判斷命題②的真假．

二、優(yōu)秀試題剖析

一道試題如果能用自然樸素、簡潔明了的方式表達，既能測量學生對數學概念原理、思想方法的理解，反映學生的數學素養(yǎng)，以及發(fā)現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，區(qū)分學生的數學思維水平，便于高校選拔人才，又能幫助一線教師正確理解《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》精神，引領數學教學，使日常教學朝著數學育人的方向進行，這樣的試題一定是一道優(yōu)秀試題．

在2023年高考數學試題中，有很多對日后教學有所啟示，值得我們認真分析和總結的優(yōu)秀試題．

例18 （全國新高考Ⅱ卷·13）已知向量a，b滿足[a-b=3]，[a+b=2a-b]，則[b]的值為? ? ? .

由此我們認識到，數學知識的聯系性永遠是教學的主題與數學思維訓練的重要課程.

例19 （全國新高考Ⅰ卷·15）已知函數[fx=][cosωx-1 ω>0]在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個零點，則[ω]的取值范圍是________．

試題賞析：此題考查對三角函數圖象與性質的理解；考查函數與方程思想、數形結合思想及轉化思想.

教學啟示：此題涉及的數學模型是余弦函數，引入參數[ω]后使得余弦函數演變?yōu)橛嘞倚秃瘮担浠拘再|仍與余弦函數密切相關. 教學過程中，在幫助學生回顧余弦函數y = cos x的圖象與性質的基礎上，應使學生理解參數[ω]對余弦型函數性質的影響. 解決問題時，可以換元，然后利用更熟知的余弦函數（圖象固定）觀察區(qū)間[0，2ωπ]右端點的變化；也可以固定區(qū)間[0，2π]，觀察函數[y=cosωx]的圖象，利用[ω]對圖象的影響解決問題．

例20 （全國新高考Ⅰ卷·17）已知在△ABC中，[A+B=3C，2sinA-C=sinB]．

（1）求[sinA]；

（2）設AB = 5，求邊AB上的高．

試題賞析：此題考查解三角形、正弦定理的應用；考查學生三角恒等變形的能力和數學運算素養(yǎng)．

第（1）小題中的三角形在給定兩個條件下是一元數學對象，求解目標是探求可變對象的不變性；第（2）小題中的三角形在增加一個條件后成為零元數學對象，三角形中的距離與角度都可求.

在第（1）小題中，由[A+B=3C]，可知[C=π4]. 將[C=π4]代入[2sinA-C=sinB]并保留A消去B，得到A的某個三角函數，從而得到[sinA]的值. 至此，三個內角全部已知，使三角形降為一元數學對象. 在第（2）小題中，AB = 5說明△ABC是確定的，故只需要解其中的直角三角形即可求得邊AB的高，但要與△ABC聯系起來解決問題．

教學啟示：三角形是基本的數學對象，是我們用元思想理解數學對象的典范. 教學時，教師應該以解三角形為例，幫助學生理解數學對象的元對于認識數學對象并掌握數學對象的性質的重要性. 數學對象的特殊情形是認識和運用數學對象解決問題的重要基礎. 在此題中，利用含CH的直角三角形求邊AB上的高，比用其他方法會更有效. 因此，教學中應重視對數學對象特殊性的認識與運用.

教學啟示：在教學中，要注意正弦型函數是特殊的函數，因此可以用導數幫助研究其圖象與性質. 確定[φ]的值通常用最值點更好，這樣可以避免討論. 如果用零點條件求解，就會涉及兩種不同情形的討論. 在此題中，如果不利用導數進行判斷，就很難排除由三角函數的多值性引起的分類討論，就會使得問題的解答變得更加復雜.

例22 （全國新高考Ⅰ卷·20）設等差數列[an]的公差為[d]，且[d>1]. 令[bn=n2+nan]，記[Sn，Tn]分別為數列[an， bn]的前[n]項和．

（1）若[3a2=3a1+a3，S3+T3=21]，求[an]的通項公式；

（2）若[bn]為等差數列，且[S99-T99=99]，求[d]．

試題賞析：對于第（1）小題，等差數列是一個二元數學對象，通常由兩個獨立條件就可以確定. 在此題中，不僅有等差數列[an]，還有一個數列[bn]，且這兩者之間知其一便知其二. 因此，把條件轉化為[an]的元表示，則可以求出[an]的通項公式. 對于第（2）小題，在已知[bn]也為等差數列的情況下，[an， bn]作為一個完整的數學對象是四元對象，但是條件[bn=][n2+nan]使得[an， bn]降為一元數學對象. 在條件[S99-][T99=99]下，[an， bn]就確定了，這里最重要的是由[bn=n2+nan]和[bn]為等差數列找到[a1]與[d]之間的關系[a1=d]或[a1=2d].

三、復習備考建議

高考試題為復習備考提供了豐富的信息，啟發(fā)我們不僅要抓基礎、重綜合、講應用、求創(chuàng)新，還要在落實基礎知識、基本技能的基礎上，加強對基本數學思想的領悟與運用，體會為何要重視數學核心素養(yǎng)，以及如何發(fā)展數學核心素養(yǎng). 同時，在復習時應該做好以下幾點.

1. 加強知識之間的整體聯系

通過對2023年高考數學試題特點的分析，我們看到許多試題涉及多個知識領域，綜合程度較高. 因此，復習時要加強知識間的聯系，盡早樹立整體數學觀，這樣在面對一個具體問題時，才能快速、準確地找到解決問題的途徑，并獲得正確答案. 同時，為了加強知識之間的聯系與整體數學觀，建議學生從高三開始每隔一段時間做一份高考要求的綜合測試，以清楚自己處于什么位置.

由此看到，當我們把各部分數學知識聯系起來時，不僅可以深入體會方程與函數思想，數形結合思想也變得自然并充滿力量.

2. 深入體會數學思想

平時做再多的題，也大概率不會是高考遇到的題. 因此，復習做題的目的是弄清問題背后的概念原理和思想方法，使自己的知識系統(tǒng)化、結構化，并借此提升數學思維水平，發(fā)展數學素養(yǎng)及分析問題和解決問題的能力. 因此，每做一道題目，都要把問題中的概念弄清，原理弄透，方法弄熟，思想弄通.

在例3中，若從元思想出發(fā)理解，三棱錐是一個六元數學對象，需要6個獨立的一階條件才能確定. 而三棱錐[P-ABC]的底面是以2為邊長的正三角形，這相當于3個一階獨立條件，[PA=PB=2]，[PC=6]又是3個一階獨立條件，所以一共有6個一階獨立條件. 所以三棱錐[P-ABC]是一個確定的數學對象，因而問題按常規(guī)思路就可以解決.

3. 步驟化解決基本問題

數學試題的形式千變萬化，但萬變不離其宗. 因此，復習時要學會對試題進行歸納分類，這樣就會發(fā)現其中有些內容的考查方式經常出現，我們把圍繞這些內容的考查所形成的常見考查形式稱為這一內容的基本問題. 例如，在立體幾何試題中，常見的基本問題有證明平行或垂直、求距離與角度、求體積與表面積、圖形的割補與折疊和立體圖形的截面等.

我們弄清楚解決某個基本問題的基本步驟，就相當于解決好了一類問題. 例如，在例7中包含以下基本問題：（1）直線[A1C]與平面[ABC]的垂直（性質）；直線BC與平面[A1ACC1]的垂直（判定）；（2）求點A到平面[BCC1B1]的距離；（3）求直線[AB1]與平面[BCC1B1]所成角. 用幾何法求直線[AB1]與平面[BCC1B1]所成角這個基本問題的步驟如下.

第1步，求點A到平面[BCC1B1]的距離[d1]；

第2步，求線段[AB1]的長[d2]；

第3步，計算[sinθ=d1d2]并得出結果.

用向量解決這個基本問題的基本步驟如下.

第1步，建立空間直角坐標系；

第2步，求出向量[AB1]的坐標；

第3步，求出平面[BCC1B1]的法向量n；

第4步，計算[sinθ=AB1 ? nAB1n]并得出結果.

4. 以教材視角審視試題

任何一道高考試題都是運用教材中的概念、原理、方法與思想解決問題的具體體現，這就要求學生尊重教材所呈現的數學結構、數學思維和數學表達. 如果學生試圖按照自己的不符合數學要求的方式去思考或表達，一定會出現許多漏洞甚至錯誤. 如果深入分析試題，你會發(fā)現高考試題均由教材中的基本問題組合而成，有些試題還是教材習題的變式. 例如，全國新高考Ⅰ卷第7題與人教A版《普通高中教科書·數學》選擇性必修第二冊第25頁綜合應用第7題就有著密切的聯系.

5. 與好問題做“好朋友”

一個好的問題不僅可以幫助我們深入理解數學概念與原理，深刻體會數學方法與思想，還能在遇到一個新問題時，以“好朋友”的身份幫助我們找到解決問題的途徑與方法. 因此，我們要做“好問題”，并把“好問題”做好，真正體會到“做好問題比多做問題重要”. 只有使一定量的好問題成為自己思維的“好朋友”，才能使高考復習高質、高效. 例如，對于例22的第（2）小題，最基本的想法就是得到關于[d]的方程并求解，但是在列方程的過程中不可能不涉及其他的量（如首項[a1]），這時就需要列多元方程組來求解，則求解的難度便與選取的相關量密切相關. 因此，如例22的分析所述，嘗試選取不同的量作為元去求解，才能體會該怎樣優(yōu)化解題過程.

6. 以提升數學核心素養(yǎng)為目的選擇學習內容

雖然高考試題中涉及的知識不會超出數學必修和選擇性必修的內容，但是解答試題的方法與能力是沒有限制的. 例如，直線的參數方程不在現在的必修與選擇性必修內容中，有關解析幾何的試題也可以不用它來解決，但是如果用直線的參數方程求解相關問題往往會使得求解過程變得簡單. 因此，在現在高中課程鼓勵學生加大選修力度的情況下，對于學有余力的學生而言，多學習一些類似于參數方程、數學歸納法、復數的三角形式的內容是有利于考試和最終發(fā)展的.

當你不僅是因為考試而學習數學，而是以追求數學的美與力量，以欣賞和渴求人類智慧的姿態(tài)而沉浸于數學的世界. 不僅是為了獲得試題的答案而去分析與解答，而是為了明確試題背后的概念、原理、方法和思想，那么數學在你的心中一定是：夢你是畫，畫你是詩，吟你是歌．

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］郭慧清. 元的思想及其運用［J］. 數學通報，1995（3）：10-14.

［3］郭慧清. 元在數學教學中的地位與作用［J］. 數學通報，2006，45（5）：26-29.

［4］郭慧清，黃文輝，葛一偉. 映山紅盛開，夜亦是紅色：2022年高考數學試題解題分析及復習備考建議［J］. 中國數學教育（高中版），2022（7 / 8）：3-20.

作者簡介：郭慧清（1961— ），男，正高級教師，廣東省特級教師，主要從事數學課程與教學研究；

洪建明（1966— ），男，高級教師，主要從事數學教育研究；

曾勁松（1974— ），男，高級教師，主要從事數學教育研究.