安學保　王艷雪

摘? 要：通過對2023年高考數學9份試卷中復數和平面向量試題進行綜合研究，從試題特點和試題解法兩個方面歸納分析，總結解決復數和平面向量問題所需要的數學技能和數學思維. 在此基礎上，給出了回歸基礎知識和基本技能的復習備考建議．

關鍵詞：2023年高考；復數；平面向量；解題分析

2023年高考數學9份試卷均對復數和平面向量內容進行了考查. 考查復數的試題通常為單獨的一道題（選擇題或填空題），分值為5分. 考查平面向量的試題通常會有獨立的一道客觀題，分值也是5分. 同時，在平面解析幾何試題中，會出現以平面向量呈現的條件表述，以及將平面向量作為解決平面幾何問題的工具的試題. 從必備知識層面，復數部分主要考查復數的模、共軛復數、復數的四則運算及復數的幾何意義等；平面向量部分主要考查向量的模、夾角等基本概念，以及向量的線性運算、坐標運算、數量積運算等基本運算，向量的簡單應用也是常考內容.

該部分試題的命制符合《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《標準》）和《中國高考評價體系》的有關要求. 圍繞復數和平面向量內容，聚焦重要概念、定理、方法、思想的理解和應用，強調基礎性、綜合性和應用性，注重對數學本質和通性通法的考查.

一、試題特點分析

2023年高考復數和平面向量試題反映了新時代基礎教育課程理念，突出對基礎知識和基本技能的理解和掌握，難度適中，體現了基礎性. 相關試題多以選擇題和填空題的形式呈現，注重對數學思想和關鍵能力的考查.

1. 概念是解題的起點，以復數和平面向量概念為基礎，考查學生對概念的理解和應用能力，體現高考試題的基礎性

【評析】該題主要考查復數的乘法和復數相等的概念. 在正確運算的基礎上，利用復數相等的概念將[a+i1-ai=2]轉化為復數的實部和虛部分別相等，即可確定參數的值. 該題體現了高考試題考查的基礎性，考查了學生熟練運用概念進行解題的能力. 人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統(tǒng)稱“人教A版教材”）中多次出現利用復數相等求參數的值的題目，該題將教材中的復數乘法運算與這種題型的問題進行了適當的整合.

2. 以運算為載體，考查學生對運算路徑的選擇和運用能力，體現高考試題的基礎性

2023年高考復數和平面向量試題以運算為載體，要求學生掌握不同的運算方法，考查學生對不同運算路徑進行合理選擇和快速運用的能力.

【評析】該題考查的知識點主要有向量的夾角和模的概念，以及向量的數乘、加法和數量積等運算. 解法1通過觀察發(fā)現[a+b=-c]，結合向量的模的平方相等將它們表示出來，然后利用基向量的運算和三角函數的定義解決問題. 這種解法要求學生有敏銳的觀察力，捕捉題設條件中各種顯性和隱性的信息，考查學生綜合運用所學知識解決問題的能力，有利于提升學生多角度思考問題的能力. 解法2整體把握試題的走向，考查了學生利用建立平面直角坐標系的方法解決問題的能力，是通性通法. 解法3是在解法1的基礎上，結合向量的差和夾角公式來解決問題，揭示了向量的數量積運算的幾何意義.

2022年全國甲卷（理科）第13題、2021年北京卷第13題、2018年全國Ⅱ卷（文科）第4題等都與該題有著相同的背景. 平面向量數量積的定義及其變形后的夾角公式、模長公式是考查數形結合思想的重要載體. 正可謂“代數幾何熔一爐，長度距離一點通”，多進行總結反思，方能靈活運用、得心應手.

3. 以應用為核心，考查學生對各個知識的綜合應用能力，體現高考試題的綜合性

2023年高考復數和平面向量試題，以應用為核心，要求學生對各個知識點融會貫通，考查學生快速應用不同知識點綜合解決問題的能力.

【評析】解法1根據題意結合向量數量積的運算律求解，對于等號兩邊的[a+b]與[2a-b]進行平方運算，得到有效信息，代入[a-b]的平方消除未知量，從而求出[b]. 這是一種不錯的選擇，這種方法屬于通性通法. 如果我們僅僅停留在“平方后能求出結果”這一層面上，那么蘊含在題設中的向量的幾何背景就會被代數平方運算所掩蓋. 其實，只要在圖中稍作向量標畫，就可以應用向量解出答案，這就是解法3，通過數形結合，實現兩種解法的統(tǒng)一. 解法3的核心是心中有數，腦中有形，心中有模. 解法2利用轉化與化歸思想，令[c=a-b]，通過換元，結合數量積的運算律運算求解. 對于較復雜的計算，此方法更加適用. 人教A版教材中有很多類似的練習題目，如必修第二冊第36頁練習的第1題“已知[a=-3，4，b=5，2]，求[a， b，] [a ? b]”和第2題“已知[a=2，3，b=-2，4，] [c=-1，-2]，求[a ? b， a+b ? a-b，a ? b+c， a+b2]”等.

這類平面向量試題在歷年高考中考查次數較多. 例如，2022年全國乙卷（理科）第3題和2021年北京卷第13題等. 以兩個向量的數量積為依托，靈活運用夾角公式與模長公式處理問題，是處理向量問題的有力抓手，而數形結合思想的運用又將長度與距離進行了更高層次的升華.

二、優(yōu)秀試題分析

回顧反思：解決該題的關鍵是尋找變化之中的不變量. 雖然割線[PB]的位置在發(fā)生變化，但是[OA]與[PA]的垂直關系、[OD]與[PB]的垂直關系始終保持不變. 這兩個直角三角形是解決該題的重要條件. [△OAP]是三邊長度確定的直角三角形，而直角三角形[ODP]的斜邊長度確定，因為[∠OPC]的變化導致兩條直角邊長度發(fā)生變化. 解法1以[∠OPC]為變量，由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數量積定義得[PA · PD=][12-22sin2α-π4]或[PA · PD][=12+22sin2α+π4]，然后結合三角函數的性質確定[PA · PD]的最大值. 解法2利用圖形中的垂直關系建立平面直角坐標系，將動點[D]的運動規(guī)律通過坐標得以顯性化，尋找點[D]所在的“隱圓”（一部分），而[PA · PD]的坐標表示更是非常簡單. 該解法中，平面直角坐標系的建立方法是使問題簡單化的關鍵，在數形結合解決平面幾何問題時，充分利用條件建立適當的坐標系可以簡化運算，并且利用坐標表示也是我們尋找動點運動規(guī)律的重要方法之一. 大家可以在解題過程中慢慢體會.

三、復習備考建議

通過對2023年高考數學試題的分析，結合近幾年高考復數和平面向量試題的特點，筆者提出以下復習備考建議供大家參考.

1. 強化核心概念，注重基礎性的落實

近幾年，復數和平面向量試題在高考數學中屬于基礎性試題，試題重點考查復數和平面向量的基本概念及運算等基礎知識點. 復數部分主要考查的是概念，考查復數的定義（含實部和虛部的概念）、復數的模、共軛復數等. 復數的運算重點考查復數的四則運算及復數的幾何意義. 平面向量部分主要考查平面向量的模、夾角等基本概念，以及平面向量基本定理、向量的線性運算、坐標運算、數量積等基本運算. 另外，向量的平行與垂直的充要條件也是考查的重點. 復習時，我們應該在復數和平面向量的概念理解及基本運算的掌握上下功夫，深化解決復數和平面向量問題的通性通法.

2. 強化運算訓練，突出“數”“形”二維特征

復數和平面向量都有“數”和“形”二重性的特點. 從“數”的角度來看，可以進行代數運算；從“形”的角度來看，有長度和角度，可以刻畫很多幾何對象. 復數屬于代數范疇，它肩負著提升數學運算素養(yǎng)的重任. 復數問題的求解要回歸復數內部，通過復數的四則運算、模、共軛復數等性質，讓復數的運算充滿“復數味”. 平面向量“數”方面的特征也不單是相應坐標的運算，還有平面向量代數表示的運算. 復數和平面向量問題的解決不能局限在“數”這個層面，更要關注到“形”的特征，要讓復數和平面向量的運算飄著“圖形香”. 如此才能體現新高考數學對“必備知識、關鍵能力、學科素養(yǎng)、核心價值”四層內容的考查.

在進行該專題復習備考時，我們不僅要掌握解決復數和平面向量問題的通性通法，還要重點突出各類題型的典型解法. 例如，在求向量的數量積時，可以通過基向量法和建立平面直角坐標系用坐標處理等方法進行求解. 在這些通性通法的基礎上，重點理解和消化重要概念和定理，利用概念優(yōu)化解題過程. 在復習過程中，要善于思考，分析問題的本質，利用典型解法來解決問題.

3. 深化知識聯(lián)系，加強數學思想提煉

復數與平面向量的內容中滲透了大量的數學解題思想方法，如數形結合思想、轉化與化歸思想、方程思想等，所以在復習備考過程中應該重視數學思想方法的總結和提煉，提高應用思想方法解題的意識. 幾何與代數是高中數學課程的主線，在復習備考過程中，要突出幾何直觀與代數運算之間的融合，即通過“形”與“數”的結合，感悟數學知識之間的關聯(lián)，加強對數學整體性的理解. 要善于從本質上抓住這些聯(lián)系，實現數學語言與向量語言、圖形語言之間的靈活轉化，便可輕松獲取解題路徑. 這是幫助學生體會數學思想的重要途徑，也是提高學生數學核心素養(yǎng)最有效的方法.

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作者簡介：安學保（1975— ），男，中小學正高級教師，主要從事高中數學教學與評價研究；

王艷雪（1992— ），女，中學一級教師，主要從事高中數學教學和解題研究.