基于核心素養(yǎng)的中職數(shù)學(xué)建模教學(xué)探析

魏旸艷

（福建第二輕工業(yè)學(xué)校，福建福州 350000）

《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)課程標準》（2020）提出：數(shù)學(xué)建模思想是六大核心素養(yǎng)之一，它從實際情境中的問題出發(fā)，抽象出相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，求解結(jié)論，驗證結(jié)果，解決問題［1］。數(shù)學(xué)建模的特點是生活化、富有創(chuàng)造性和趣味性，能實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界的連接。培養(yǎng)中職生的數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，可鍛煉學(xué)生在面對實際問題時，用數(shù)學(xué)語言和符號尋求解決問題的辦法，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和實際應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。

一、數(shù)學(xué)建模的定義及中職學(xué)校開展建模的重要意義

數(shù)學(xué)建模是人們基于對實際問題的調(diào)查研究后，運用數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)語言從定量的角度展開分析研究，并通過評價或改進模型，最后接受實際檢驗的過程。數(shù)學(xué)建模最重要的思想是從數(shù)學(xué)角度準確理解并翻譯實際問題，并把實際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，隨后改進數(shù)據(jù)模型展開檢驗，并應(yīng)用模型解決現(xiàn)實問題的方法。傳統(tǒng)的教學(xué)模式依賴教師的講解，學(xué)生不愿主動思考或動手實踐。筆者所在學(xué)校的烹飪專業(yè)的學(xué)生曾“靈魂”拷問：我們“顛大勺”的，為什么要學(xué)數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)建模就能回答這一疑問：建模能聯(lián)系實際，直觀地讓學(xué)生了解為什么學(xué)數(shù)學(xué)。中職學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力參差不齊，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)也存在較大的差異，但每位學(xué)生都有生活經(jīng)驗，對生活也有各自不同的認識。通過設(shè)置易于被中職生理解的簡單的數(shù)學(xué)模型，在教學(xué)過程中讓學(xué)生感受到在“玩”數(shù)學(xué)，而不是“學(xué)”數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，從而提高學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的認知與理解。學(xué)生在面對實際問題時，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法解決問題，也會獲得成就感，增強學(xué)習(xí)信心，從而將對數(shù)學(xué)的恐懼轉(zhuǎn)化為新奇、探究的精神。中等職業(yè)學(xué)校注重為社會輸送高素質(zhì)勞動者和技能型人才，數(shù)學(xué)課程應(yīng)具備夠用、實用等特征。數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，能培養(yǎng)學(xué)生“用”數(shù)學(xué)的意識，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)實用化的有效教學(xué)。

二、中職數(shù)學(xué)建模教育歷程及遵循的主要原則

數(shù)學(xué)模型按照不同標準可分為不同的類型，中職數(shù)學(xué)課程涉及的數(shù)學(xué)建模主要有函數(shù)模型、幾何模型、概率統(tǒng)計模型等。中職生數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)的歷程大致分為幾個階段。（1）認識簡單的數(shù)學(xué)建模：通過簡單的數(shù)學(xué)建?；顒?，學(xué)生接觸到數(shù)學(xué)建模，了解數(shù)學(xué)建模的方法和步驟，建立簡單的建模意識。（2）學(xué)習(xí)典型案例的數(shù)學(xué)建模：教師通過典型的建模案例的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想。（3）展開綜合性的數(shù)學(xué)建模：通過以上兩個階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的建立有了初步了解，具備了一定的數(shù)學(xué)建模能力，在第三階段中，教師可選取一些學(xué)生比較感興趣的題目或社會熱點，讓學(xué)生們自行組織討論，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。中職數(shù)學(xué)建模教育目標明確：第一，增強學(xué)生的知識和技能，為終身學(xué)習(xí)服務(wù)；第二，培養(yǎng)社會實踐能力，訓(xùn)練學(xué)生將現(xiàn)實問題變成數(shù)學(xué)問題，并通過建立數(shù)學(xué)模型、分析數(shù)學(xué)模型等過程，增強數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，從而為社會主義經(jīng)濟建設(shè)提供實用的人才。因此，中職數(shù)學(xué)建模教育可遵循以下原則。

（一）循序漸進原則

首先，教師要根據(jù)學(xué)校的教學(xué)資源和學(xué)生的素養(yǎng)水平，設(shè)計不同的數(shù)學(xué)建模教學(xué)的內(nèi)容和教學(xué)方法，避免盲目地追求“全”（所有學(xué)生都參加，所有教師都開課）、齊（數(shù)學(xué)所有相關(guān)內(nèi)容）的情況；其次，建模教學(xué)要和學(xué)生的智力發(fā)展水平相適應(yīng)，循序漸進地將數(shù)學(xué)建模思想滲透到日常教學(xué)中，同時讓學(xué)生在學(xué)習(xí)后，對建模的認識再上一臺階；第三，數(shù)學(xué)建模的案例要緊密結(jié)合教學(xué)大綱內(nèi)容，與實際相結(jié)合，實現(xiàn)與教材相輔相成的效果。

（二）活動性原則

建模教學(xué)可引導(dǎo)學(xué)生積極參與課外活動，讓學(xué)生自主探索，多角度地分析、解決問題。在以數(shù)學(xué)建模為主題的課外拓展活動中，教師可讓學(xué)生多使用互聯(lián)網(wǎng)查找各類資料，探究數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題。比如銀行的儲蓄利息、景區(qū)的門票定價、調(diào)價后的成本收益問題等，可讓學(xué)生查閱各個時期的數(shù)據(jù)，對實際問題作一些必要的簡化假設(shè)，并依托計算機軟件等展開內(nèi)在規(guī)律的分析。教師可采用分小組討論的模塊，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，同時發(fā)揮信息化技術(shù)優(yōu)勢，修正后獲得最佳模型。

（三）激勵性原則

數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，應(yīng)始終堅持激勵的理念。在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，要注重贊美，適當指出缺點，在這一過程中，教師需轉(zhuǎn)變觀念，允許學(xué)生出錯，許多創(chuàng)造都是不斷試錯的結(jié)果。教師可引導(dǎo)學(xué)生運用發(fā)散思維、求異思維等，讓學(xué)生逐漸形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

（四）專業(yè)相關(guān)原則

數(shù)學(xué)是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具［2］。借助數(shù)學(xué)，能顯現(xiàn)萬物背后隱藏的真理。而數(shù)學(xué)建模的思想可與各專業(yè)展開碰撞，定量表示其他專業(yè)的內(nèi)容。因此，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)可實現(xiàn)模塊化訓(xùn)練，融入其他專業(yè)知識，讓學(xué)生實現(xiàn)用數(shù)學(xué)思維分析其他學(xué)科知識。三角函數(shù)模型適用于建筑工業(yè)專業(yè)的學(xué)生，如施工地形圖測繪；幾何類模型在工科專業(yè)的測量、繪圖中都需用到；對于財會專業(yè)的學(xué)生，可選擇概率統(tǒng)計等模型。教師可根據(jù)教材內(nèi)容進行模塊化整合，有目的地開展教學(xué)活動。數(shù)學(xué)建模與專業(yè)課程的關(guān)聯(lián)度越高，與學(xué)生認知范疇的內(nèi)容越相關(guān)，學(xué)生的興趣也就越高，參與課堂學(xué)習(xí)互動越有效，從而逐步建立數(shù)學(xué)建模的思維習(xí)慣，為專業(yè)化學(xué)習(xí)和終身學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

（五）多元評價原則

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)評估方法以試卷形式為主，側(cè)重學(xué)生的答題結(jié)果。這一評估方式大大削弱了對學(xué)生數(shù)學(xué)思想的評價和考查，不利于中職學(xué)生的綜合素養(yǎng)的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模教育致力于讓學(xué)生掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，教師可通過數(shù)學(xué)建模小論文、綜合實踐、建模解決專業(yè)問題的測驗，評估學(xué)生的建模思想成長情況。

三、基于數(shù)學(xué)建模思想的中職數(shù)學(xué)教學(xué)相關(guān)策略

學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思維是在學(xué)習(xí)知識和具體數(shù)學(xué)活動中形成的。這就要求教師在教學(xué)過程中，詳細介紹和分析數(shù)學(xué)建模的實際案例。精選建模案例是數(shù)學(xué)建模應(yīng)用于中職數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，根據(jù)中職生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，選取的案例通常經(jīng)過簡化，不需要模型假設(shè)、符號說明等，一般都是模型建立與求解，以下從課堂教學(xué)的角度對數(shù)學(xué)建模思想的滲透展開說明。

（一）緊貼生活實際，注重案例結(jié)合

在選擇實際案例時，教師應(yīng)以學(xué)生熟悉的內(nèi)容為基礎(chǔ)，比如，在給烹飪專業(yè)的學(xué)生講解數(shù)學(xué)模型時，可利用教材中的例題，在高教版的《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊（上冊）》中，提到了礦泉水的標簽所顯示pH 值（25℃），而求解pH 值的取值范圍就蘊含著數(shù)學(xué)模型，即含絕對值不等式；教師還能繼續(xù)為他們量身打造案例，通過燉煮海帶湯，加鹽變咸，在實際情境中，找出關(guān)鍵變量，抓住數(shù)學(xué)原理，建立模型。通過學(xué)生熟悉的情景創(chuàng)設(shè)，使學(xué)生更有參與感，提升思維活躍度和對知識的新鮮感，在更大程度上理解數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用。

（二）設(shè)置梯度式問題，引導(dǎo)自主思考

課堂上引入的數(shù)學(xué)建模案例，并非每一名學(xué)生都能夠理解和解答，考慮到具體學(xué)情，可設(shè)計梯度性問題，由淺入深，激發(fā)學(xué)生自主思考，讓不同數(shù)學(xué)認知水平的學(xué)生都學(xué)有所得。

在有關(guān)數(shù)列的數(shù)學(xué)模型中，教師可給會計專業(yè)的學(xué)生創(chuàng)設(shè)職業(yè)情境，以現(xiàn)實生活中常見的貸款買房為例，先和學(xué)生講授本金、利息、月息、年息、復(fù)利的概念，然后將班級學(xué)生分成幾個小組，角色扮演可包含銀行職員、借貸戶小王和儲戶小王的父母，而后根據(jù)日常的借貸將還房貸分成幾種情況展開討論：①按一次性還款計算；②按每年一期、分期等額本息還款計算；③按每月一期、分期等額本息還款計算。之后可通過梯度性的問題：從“小王父母五年零存整取共計多少錢？還需向銀行貸款多少錢？”開始，再計算和討論三種還款方式，比較三種方式哪種劃算，最后提出“如果你家買房，你打算用哪種方式還款？”通過梯度性問題的設(shè)置，展示問題的層次，獲得環(huán)環(huán)相扣的效果，讓不同程度的學(xué)生都能參與并順利地解決問題，從而激發(fā)學(xué)生探究更深層次數(shù)學(xué)建模的熱情，主動參與數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)。

（三）結(jié)合熱點問題，拓展教學(xué)內(nèi)容

數(shù)學(xué)建模應(yīng)用廣泛，教師也可結(jié)合時事熱點拓展教學(xué)內(nèi)容，建立數(shù)學(xué)模型解社會熱點。比如，2020 年普通高等學(xué)校招生考試全國卷的一道選擇題，就以流行病學(xué)為例，向?qū)W生普及Logistic 模型。Logistic 模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，在流行病學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用較多。題目表示：有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠疫情累計確診病例數(shù)I（t）（t 的單位：天）的Logistic 模型：I（t）=，其中K 為最大確診病例數(shù)。當I（t*）=0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則t*約為（）（ln19≈3）多少？本題涉及函數(shù)模型的選擇與運用，重點考查指數(shù)式與對數(shù)式的互相轉(zhuǎn)化。將t=t*代入函數(shù)I（t）=結(jié)合I（t*）=0.95K，即可求得t*。教師還可多設(shè)置一些有趣的問題，例如中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)涉及數(shù)列、青少年測視力常用的五分記錄法和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)關(guān)系要用到函數(shù)模型、網(wǎng)絡(luò)爆紅熱點內(nèi)容傳播的模型等，向?qū)W生講述熱點背后隱藏的數(shù)學(xué)原理。

四、關(guān)于提升中職生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的一些建議

提升中職生的建模素養(yǎng)，首先要提升中職數(shù)學(xué)教師的建模能力。應(yīng)用數(shù)學(xué)需要教師具備較強的綜合素質(zhì)，將通俗的語言、直觀的演示轉(zhuǎn)化為嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)語言，為學(xué)生提供合理的思路與方法，讓學(xué)生學(xué)會從實際問題中提取有用的信息和數(shù)據(jù)。在此基礎(chǔ)上，還要做到以下方面。

（一）開發(fā)數(shù)學(xué)建模校本教材

目前市面上的大部分數(shù)學(xué)建模教材都是針對高中、本科生，不少內(nèi)容涉及高等數(shù)學(xué)知識，中職教師難以借鑒。中職數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)建模，需要根據(jù)中職生的專業(yè)、整體水平因材施教，可精選應(yīng)用例題，選擇大眾化、有趣味、現(xiàn)代感較強的數(shù)學(xué)建模內(nèi)容，比如通過天貓近十年的“雙十一”的銷售額，設(shè)計數(shù)學(xué)模型，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并預(yù)測來年的銷售額。這樣類似的教材例題，可讓學(xué)生體會到應(yīng)用數(shù)學(xué)的樂趣。此外，數(shù)學(xué)教師還可和專業(yè)教師進行研討、合作交流，編寫高質(zhì)量的校本教材。

（二）將數(shù)學(xué)建模納入學(xué)考考題范疇

作為中職生“小高考”——學(xué)業(yè)水平考試就是指揮棒，學(xué)考考什么，中職生學(xué)什么。2021 年福建省中等職業(yè)學(xué)校學(xué)生學(xué)業(yè)水平考試的等級卷中就出了一道簡單的建模題：中職生小王為響應(yīng)“大眾創(chuàng)業(yè)、萬眾創(chuàng)新”的口號，畢業(yè)后賣玩具，題目給出玩具的成本價格，并給出了經(jīng)過市場調(diào)研后每天的銷售量y 件與每件玩具的售價x 元的函數(shù)關(guān)系圖，讓學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合的思想求出函數(shù)關(guān)系式、日利潤等問題。此題是典型的實際應(yīng)用問題，也給中職教師提供了教學(xué)導(dǎo)向，激勵中職教師有意識地展開建模訓(xùn)練，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和解決問題能力。

（三）開展數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽

定期舉辦數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽，數(shù)學(xué)建模競賽通常是以三人為一組，團隊作戰(zhàn)，通過數(shù)學(xué)知識研究和思考社會、經(jīng)濟等問題，讓學(xué)生綜合利用數(shù)學(xué)知識和計算機技術(shù)解決實際問題，綜合培養(yǎng)學(xué)生的語言表達能力、寫作能力、團結(jié)協(xié)作能力、連續(xù)作戰(zhàn)能力以及創(chuàng)造性思維。數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽能激發(fā)教師和學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用熱情，同時通過競賽促進數(shù)學(xué)建模教學(xué)的發(fā)展，為專業(yè)教學(xué)服務(wù)。

（四）推出“數(shù)學(xué)建模欄目”

在教育教學(xué)刊物上推出“數(shù)學(xué)建模欄目”，展示優(yōu)秀的中職數(shù)學(xué)建模教案，可為其他想要開展數(shù)學(xué)建模活動的教師提供范例。數(shù)學(xué)建模欄目還可推出數(shù)學(xué)競賽板塊，分享高職或高中院校建模競賽中的主力題型和常見模型，還可展示最近興起的新題型，拋開固定套路，認真分析問題，客觀地解決問題，展示建模思想。

總而言之，將數(shù)學(xué)建模融入數(shù)學(xué)教學(xué)，關(guān)鍵是要組織和引導(dǎo)學(xué)生主動參與，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，教師的觀念和素質(zhì)將直接影響學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的態(tài)度。教師要強化自身的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識水平，同時鼓勵學(xué)生走出教室，到實際中去鍛煉、去發(fā)現(xiàn)，有機結(jié)合課堂內(nèi)外的知識。社會對創(chuàng)新應(yīng)用型人才的需求越來越突出。中等職業(yè)作為教育的組成部分，對科教興國和人才強國具有重要意義。在教學(xué)中積極融入數(shù)學(xué)建模思想，可幫助學(xué)生理論聯(lián)系實際，認識到數(shù)學(xué)應(yīng)用在現(xiàn)代科學(xué)研究中的價值和意義，在不知不覺中形成數(shù)學(xué)思維，最終提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為培養(yǎng)優(yōu)秀的應(yīng)用型人才打下良好的基礎(chǔ)。