華夢(mèng)霞, 陳 慶

(南陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 南陽(yáng) 473061)

數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)的開(kāi)展,可以增強(qiáng)大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,培養(yǎng)其分析、解決問(wèn)題的能力,發(fā)現(xiàn)和選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才,故不少文獻(xiàn)都關(guān)注了競(jìng)賽試題的研究[1-6]。本文對(duì)2020年第十二屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽(數(shù)學(xué)類A卷)第五題的推廣做進(jìn)一步的研究。 原試題如下:

φ是R上嚴(yán)格單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù),ψ是φ的反函數(shù),實(shí)數(shù)列{xn}滿足

證明{xn}收斂或舉例說(shuō)明{xn}有可能發(fā)散。

該試題的答案是可以證明{xn}收斂,文獻(xiàn)[1]說(shuō)明:去掉連續(xù)性假設(shè)仍可證明{xn}是收斂的。 文獻(xiàn)[2]對(duì)此進(jìn)行了推廣,得到了如下結(jié)果。

命題1φ是R上嚴(yán)格單調(diào)函數(shù),ψ是φ的反函數(shù),實(shí)數(shù)列{xn}滿足

xn+2=ψ(αnφ(xn)+(1-αn)φ(xn+1)),

(*)

給出命題1后,文獻(xiàn)[2]在αn取一些特殊值時(shí)給出了{(lán)xn}的極限,但在計(jì)算一些具體的{xn}的極限時(shí),仍然假設(shè)了φ是連續(xù)的。

本文將指出,在命題1基礎(chǔ)上計(jì)算{xn}的極限時(shí),仍無(wú)需假設(shè)φ的連續(xù)性,可得完全相同的結(jié)論。本文主要結(jié)果如下。

證明：不妨設(shè)φ嚴(yán)格單調(diào)遞增,

xn+2=ψ(αnφ(xn)+(1-αn)φ(xn+1)),

則

φ(xn+2)=αnφ(xn)+(1-αn)φ(xn+1)。

記yn=φ(xn),于是

yn+2=αnyn+(1-αn)yn+1,

由此可知

yn+2-yn+1=-αn(yn+1-yn)。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(1)若x1

由(3)(4)(5)三式可知

y1

(6)

x1

(7)

x2n+1

(8)

由于φ嚴(yán)格單調(diào)遞增,所以

φ(x2n+1)<φ(B)≤φ(A)<φ(x2n),

即

y2n+1<φ(B)≤φ(A)

令n→∞,y0≤φ(B)≤φ(A)≤y0。所以φ(A)=φ(B)。由于φ嚴(yán)格單調(diào)遞增,所以A=B,所以{xn}收斂。

因?yàn)棣諊?yán)格單調(diào)遞增,所以φ在點(diǎn)x0的兩個(gè)單側(cè)極限均存在,設(shè)

(9)

下證a=b=φ(x0)即可。

由于φ嚴(yán)格單調(diào)遞增,故

b≤φ(x0)≤a。

(10)

由于φ嚴(yán)格單調(diào)遞增,y2n+1=φ(x2n+1)<φ(x0)<φ(x2n)=y2n。

(2)若x1>x2,采用完全相同的辦法,可以證明φ在點(diǎn)x0連續(xù)。

若φ嚴(yán)格單調(diào)遞減,采用類似的方法可以得到結(jié)論。

注2：命題2并沒(méi)有保證φ在R上連續(xù),僅說(shuō)明:若x1≠x2,{xn}滿足(*)式,則φ在{xn}的極限x0連續(xù),若x1=x2,則{xn}為常數(shù)列,x1仍可能是φ的間斷點(diǎn)。