劉慧娟, 秦建國(guó), 王 超

(鄭州商學(xué)院 通識(shí)教育中心,河南 鞏義 451200)

0 引言

眾所周知,矩陣對(duì)角化一直是矩陣論研究的重要課題,而正規(guī)矩陣是可對(duì)角矩陣。但哪些(類(lèi))矩陣屬于正規(guī)矩陣,人們一直在不停地探索著[1-3]。利用共軛轉(zhuǎn)置矩陣,得到Hermite矩陣,這種矩陣在矩陣論與解析函數(shù)插值問(wèn)題研究中有許多應(yīng)用[4-8]。受Hermite矩陣和文獻(xiàn)[1]的啟發(fā),本文找到了一類(lèi)正規(guī)矩陣,即適于條件A*=A2-I的矩陣,并研究了適于這一條件的兩個(gè)矩陣A,B的張量積與張量和的表達(dá)式,給出了適于這一條件的矩陣的張量積、張量和仍是此類(lèi)型矩陣的充要條件及其行列式的值。

1 基本結(jié)論

引理1[4]設(shè)A∈Cn×n,則A為正規(guī)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A酉相似于一個(gè)對(duì)角矩陣D,而D的對(duì)角元素為A的n個(gè)特征值λ1,λ2,…,λn。

定理1 設(shè)A∈Cn×n,A*=A2-I則

(1)A可以對(duì)角化;

(2)A的譜σ(A)是下述集合

的子集;

(3)矩陣屬于A不同特征值的特征向量正交;

證明：(1)因?yàn)锳*=A2-I,以及

A*A=(A2-I)A=A(A2-I)=AA*。

所以A為正規(guī)矩陣。由引理1,A可以對(duì)角化。

(2)設(shè)λ0=a+bi,a,b∈R是A的一個(gè)特征值,則有0≠x∈Cn,使

Ax=λ0x。

由于

((A2-I)x,x)=x*((A2-I)x)=(λ02-1)(x,x),

a-bi=(a2-b2-1)+2abi。

因此,任意此類(lèi)矩陣的譜σ(A)都是下述集合

的子集。

(3)由定理1,矩陣A是正規(guī)矩陣,所以A的屬于不同特征值的特征向量正交[4]。

(4)這是由于矩陣A的行列式等于其所有特征值之積。又因?yàn)锳僅有兩個(gè)互異的非零特征值,故A非奇異。依據(jù)A的逆矩陣的行列式等于A的特征值的倒數(shù)之積,便可得|A-1|計(jì)算公式。

定理2 設(shè)A=(aij),B=(bij)∈Cn×n,A*=A2-I,B*=B2-I,則

(1)(A?B)*=(A?B)2-(I?I)-[(B2⊕A2)-2(I?I)],且

(A?B)*=(A?B)2-(I?I)?(B2⊕A2)-2(I?I)=0;

(2)(A⊕B)*=[(I?A)+(B?I)]*=(A⊕B)2-(I?I)-[2(B?A)+(I?I)],且

(A⊕B)*=(A⊕B)2-(I?I)?2(B?A)+(I?I)=0;

因此 (A?B)*=(A?B)2-[(A?I)2+(I?B)2-(I?I)]=

(A?B)2-(I?I)-[(A?I)2+(I?B)2-2(I?I)]=

(A?B)2-(I?I)-[(B2⊕A2)-2(I?I)]。

而且

(A?B)*=(A?B)2-(I?I)?(B2⊕A2)-2(I?I)=0。

此即,A?B與A屬于同一類(lèi)矩陣的充要條件是(B2⊕A2)-2(I?I)=0。

(2) (A⊕B)*=[(I?A)+(B?I)]*=[I?(A2-I)]+[(B2-I)?I]=

(I?A)2+(B?I)2-2(I?I)=

(I?A)2+(B?I)2+2(I?A)(B?I)-2(I?A)(B?I)-2(I?I)=

(A⊕B)2-(I?I)-[2(B?A)+(I?I)]。

而且

(A⊕B)*=(A⊕B)2-(I?I)?2(B?A)+(I?I)=0。

此即,A⊕B與A屬于同一類(lèi)矩陣的充要條件是2(B?A)+(I?I)=0。

(3)由公式|A?B|=|A|n|B|n以及tr(A?B)=(trA)(trB),經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可得此二結(jié)論。

對(duì)于某些適合條件A∈Cn×n及A*=A2-I的矩陣,我們還可以得到一些有趣的結(jié)果。

2 結(jié)語(yǔ)

本文證明了適于條件A*=A2-I的矩陣A可以對(duì)角化,給出了它的譜的范圍。討論了適于條件A*=A2-I的矩陣A及其逆矩陣的行列式,還討論了兩個(gè)這類(lèi)矩陣的張量積與張量和。它還應(yīng)該有一些其他性質(zhì)。適合這種條件的矩陣僅有實(shí)數(shù)特征值,因而它們都是Hermitian矩陣,Hermitian矩陣所具有的良好性質(zhì)它們都具備。