直擊本質(zhì) 觸類旁通

文／劉靜

本章內(nèi)容與實(shí)際問題緊密相連，因此問題的背景會(huì)千變?nèi)f化，問題的表述也會(huì)千差萬別。但面對(duì)實(shí)際情境，我們只要抓住本質(zhì)，便能將知識(shí)遷移到不同的問題中，做到舉一反三，觸類旁通。

情境：某校七、八年級(jí)開展了一次實(shí)踐活動(dòng)，對(duì)學(xué)生的活動(dòng)情況按10 分制進(jìn)行評(píng)分，成績（單位：分）均為不低于6 的整數(shù)?，F(xiàn)從這兩個(gè)年級(jí)各隨機(jī)抽取10 名學(xué)生的活動(dòng)成績作為樣本進(jìn)行整理，并繪制統(tǒng)計(jì)圖表，部分信息如下：

七年級(jí)10名學(xué)生活動(dòng)成績扇形統(tǒng)計(jì)圖

問題1：樣本中，七年級(jí)學(xué)生的活動(dòng)成績?yōu)?分的有幾人？

【解析】由扇形統(tǒng)計(jì)圖可得成績?yōu)?分的學(xué)生數(shù)：10×（1-50%-20%-20%）=1。

問題2：你可以從哪些角度分析這組數(shù)據(jù)？

【解析】可以分析這組數(shù)據(jù)的集中趨勢。因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)或者這個(gè)數(shù)所占的百分比都可以表達(dá)這個(gè)數(shù)的重要程度——“權(quán)”，所以可以這樣理解：扇形統(tǒng)計(jì)圖中的百分?jǐn)?shù)是對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)的“權(quán)”，則平均成績?yōu)椋?×10%+8×50%+9×20%+10×20%=8.5（分）。將這組數(shù)據(jù)按從小到大順序排列，因?yàn)楣灿?0個(gè)數(shù)據(jù)，第5和第6個(gè)數(shù)據(jù)都是8，所以中位數(shù)為8。10 個(gè)數(shù)據(jù)中，8 出現(xiàn)5 次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)是8。當(dāng)然，我們從扇形統(tǒng)計(jì)圖中也能直觀地看到8 占50%，權(quán)重最大，所以眾數(shù)為8。

問題3：如果七年級(jí)共900 人，你能估計(jì)全年級(jí)的情況嗎？

【解析】用樣本的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)可以估計(jì)總體的相關(guān)情況。

問題4：若小明記錄數(shù)據(jù)時(shí)，誤將一個(gè)8分寫成9分，這對(duì)這組數(shù)據(jù)的集中趨勢會(huì)產(chǎn)生哪些影響？

【解析】這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)比原數(shù)據(jù)的平均數(shù)大，新數(shù)據(jù)的中位數(shù)變大為8.5，眾數(shù)不變。

情境：再看八年級(jí)10 名學(xué)生活動(dòng)成績統(tǒng)計(jì)表：

已知八年級(jí)10 名學(xué)生活動(dòng)成績的中位數(shù)為8.5分。

問題5：求a、b。

【解析】將八年級(jí)10 名學(xué)生的活動(dòng)成績按從小到大順序排列，它的中位數(shù)是第5和第6個(gè)數(shù)的平均數(shù)，由此可知這兩個(gè)數(shù)的和為8.5×2=17=8+9，所以第5、第6 個(gè)數(shù)據(jù)分別為8、9，則成績?yōu)? 分的有2人，成績?yōu)?分的有3人，即a=2，b=3。

問題6：若七、八年級(jí)各增加一個(gè)學(xué)生成績：8 分，那么這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)會(huì)發(fā)生改變嗎？若想要七年級(jí)（八年級(jí)）學(xué)生成績的中位數(shù)（平均數(shù)或眾數(shù)）不改變，你覺得添加一個(gè)成績可以是多少？

【解析】兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都變小。七年級(jí)組的中位數(shù)不變，八年級(jí)組的中位數(shù)變?yōu)?。七年級(jí)組眾數(shù)不變，而八年級(jí)組的眾數(shù)變?yōu)?和9。若添加的數(shù)使得排序后“中間”的數(shù)不變，那么中位數(shù)不改變；若添加與平均數(shù)相同的數(shù)據(jù)，那么平均數(shù)不改變；若添加的數(shù)使得出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)不變，那么眾數(shù)不變。

問題7：對(duì)七、八年級(jí)的成績，說說你的想法。

【解析】可以用極差和方差描述數(shù)據(jù)的離散程度。

由此可知七年級(jí)的極差、方差較小，數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，學(xué)生成績相對(duì)集中。

問題8：還有沒有其他角度分析數(shù)據(jù)呢？

【解析】比如，活動(dòng)成績不低于9 分為“優(yōu)秀”，那么七年級(jí)的優(yōu)秀率為，八年級(jí)的優(yōu)秀率為。從這個(gè)角度可以說明八年級(jí)優(yōu)秀率更高。