基于自適應(yīng)H2/H∞濾波的鋰電池SOC和SOH聯(lián)合估計

吳忠強(qiáng), 陳海佳

(燕山大學(xué) 工業(yè)計算機(jī)控制工程河北省重點實驗室，河北 秦皇島 066004)

1 引 言

電動汽車具有節(jié)約能源、環(huán)境污染小等顯著技術(shù)優(yōu)勢而被廣泛關(guān)注。隨著電動汽車的快速發(fā)展,對動力電池的需求大幅增加[1]。鋰電池作為儲能元件具有高能量密度、高工作溫度范圍、無記憶效應(yīng)和長循環(huán)壽命等特點。鋰電池的荷電狀態(tài)(state of charge,SOC)是電動汽車電池管理系統(tǒng)中的一個關(guān)鍵參數(shù),它指示電池中的剩余電量,準(zhǔn)確的SOC估計對于確保鋰電池的壽命和安全性至關(guān)重要[2]。目前,SOC的估計方法主要分為4大類:安時積分法[3]、開路電壓(open circuit voltage,OCV)法[4]、基于模型的方法和基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法。

安時積分法是將電池的充電或放電電流隨時間積分得到SOC,該方法工作效率高,但是需要已知初始的SOC。OCV法指電池在充分靜置后,其端電壓與SOC之間存在一個比較固定的函數(shù)關(guān)系,不同電池的SOC與OCV的關(guān)系不同,通過該函數(shù)關(guān)系可以測量電池的SOC[5]。該方法雖然精度高,但是在實際測試中需要較長的靜息時間才能達(dá)到平衡狀態(tài),且靜息時間受到環(huán)境條件、監(jiān)控設(shè)備的影響[6],因此該方法通常用于實驗室或校準(zhǔn)輔助技術(shù)。

基于模型的SOC估計方法具有估計精度高和實時性好的優(yōu)點。該方法依賴于鋰電池的常用數(shù)學(xué)模型,然后使用一些高級算法,如擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended kalman filter,EKF)[7]、無跡卡爾曼濾波[8]、粒子濾波[9]等來估計SOC。這些方法需要選擇適當(dāng)?shù)脑肼晠f(xié)方差矩陣,并且還存在估計誤差的收斂性和傳感器噪聲的魯棒性等問題。為解決上述問題,研究者開辟了各種基于觀測器的方法,如Luenberger觀測器[10]、滑模觀測器[11]和H∞觀測器[12]等。當(dāng)存在外部干擾時,H∞觀測器能確保在最壞的情況下仍然可以保持SOC的估計精度。文獻(xiàn)[13]提出了一種H∞擴(kuò)展卡爾曼濾波器,用于在線估計模型參數(shù)和SOC。文獻(xiàn)[14]提出了一種多尺度雙H∞濾波器,分別估計SOC和容量。文獻(xiàn)[15]提出了一種基于自適應(yīng)H∞濾波器的鋰離子電池綜合荷電狀態(tài)估計方法,即使在SOC初始值誤差較大的情況下也能獲得較好的估計結(jié)果。

隨著大數(shù)據(jù)的興起和數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)的發(fā)展,基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法日漸成熟,如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[16]、支持向量機(jī)[17]、融合算法[18]等被用于SOC估計。然而,這些研究方法對其所采用的數(shù)據(jù)質(zhì)量非常敏感。此外,當(dāng)使用的訓(xùn)練模式不適當(dāng),還會出現(xiàn)過擬合等問題[19]。

當(dāng)電池單元老化時,容量和內(nèi)阻將偏離標(biāo)稱值,這將導(dǎo)致較大的SOC估計誤差。因此,在估計SOC時,必須考慮電池老化,即電池的健康狀態(tài)(state of health,SOH)[20]。文獻(xiàn)[21]利用立方卡爾曼濾波器估計電池的SOC,并用多尺度混合卡爾曼濾波器估計電池的SOH,實現(xiàn)了SOC和SOH的聯(lián)合估計。文獻(xiàn)[22]中構(gòu)建了SOC-SOH與電池模型參數(shù)間多維度空間插值曲面,并基于無跡粒子濾波算法實現(xiàn)鋰電池SOC和SOH的聯(lián)合估計。

綜合上述問題,提出了一種自適應(yīng)H2/H∞濾波器(adaptive H2/H∞filter,AH2/H∞F)對鋰電池的SOC和SOH進(jìn)行聯(lián)合估計。首先,基于鋰電池的二階RC等效電路模型,采用帶自適應(yīng)遺忘因子的遞推最小二乘(adaptive forgetting factor recursive least squares,AFFRLS)法在線辨識鋰電池的模型參數(shù)。然后,采用H2/H∞濾波器估計鋰電池的SOC,AFFRLS辨識與H2/H∞濾波交替進(jìn)行,得到一種AH2/H∞F。SOH依據(jù)AFFRLS辨識的電池內(nèi)阻進(jìn)行估計。實驗結(jié)果表明該設(shè)計方案的有效性,且優(yōu)于EKF和H∞濾波法。

2 鋰電池的模型建立及參數(shù)辨識

2.1 電池建模

電池的等效電路模型由歐姆電阻和多個并聯(lián)電阻-電容(RC)回路組成,能夠準(zhǔn)確地表征電池的外部特性,模型精度會隨RC回路的增加而提高,但計算復(fù)雜度也隨之增加。出于兼顧精度、參數(shù)辨識簡便和可操作性等方面因素的考慮,這里使用二階RC模型對電池進(jìn)行建模,如圖1所示。

圖1 二階RC等效電路模型Fig.1 Second-order RC equivalent circuit model

圖1中,UOC表示電池的開路電壓;R0為歐姆電阻,包含各元件間的接觸電阻,及電池內(nèi)部固體電解質(zhì)界面膜電阻;U0代表其2端的電壓;R1為極化電阻,與極化電容C1并聯(lián)組成一個RC回路,代表電荷轉(zhuǎn)移現(xiàn)象,U1代表并聯(lián)回路的電壓;R2是濃差電阻,與濃差電容C2并聯(lián)組成另外一個RC回路,代表電荷擴(kuò)散現(xiàn)象,U2代表并聯(lián)回路的電壓;U是電池的終端電壓;I為電池的工作電流,放電時為正。

根據(jù)圖1,基于基爾霍夫電流和電壓定律,可得電壓方程如式(1):

(1)

對電壓方程式(1)進(jìn)行拉普拉斯變換,整理得到傳遞函數(shù),如式(2):

(2)

式中:τ1=R1C1;τ2=R2C2。

(3)

式中:

將式(3)轉(zhuǎn)化為差分方程,得到式(4):

y(k)=UOC(k)-U(k)

=a1y(k-1)+a2y(k-2)+a3I(k)+

a4I(k-1)+a5I(k-2)

(4)

將I(k)作為系統(tǒng)輸入,y(k)作為系統(tǒng)輸出,令:

則系統(tǒng)(4)可以表示為式(5):

(5)

2.2 基于AFFRLS的電池參數(shù)在線辨識

使用的AFFRLS可以實時在線更新新舊數(shù)據(jù)的權(quán)重占比,對模型參數(shù)實現(xiàn)在線辨識。AFFRLS算法將基于遺忘因子遞推最小二乘算法(recursive least squares algorithm based on forgetting factor,FFRLS)中k時刻的固定遺忘因子λ變?yōu)樽兓淖赃m應(yīng)遺忘因子λ(k),λ(k)的計算方法如下式:

λ(k)=λmin+(1-λmin)2G(k)

(6)

式中:G(k)=-round(μe2(k)),round是四舍五入的取整函數(shù),μ為常數(shù),e(k)為y(k)的預(yù)計誤差;λmin是最小的遺忘因子。

AFFRLS的遞推公式如式(7):

(7)

(8)

將式(8)代入式(3)中,得到式(9):

(9)

式(9)與式(2)系數(shù)對應(yīng)相等可以得到式(10):

(10)

整理計算可得式(11):

(11)

式中:b1=τ1τ2;b2=τ1+τ2;b3=R0+R1+R2;b4=R0(τ1+τ2)+R1τ2+R2τ2。

這樣,電池等效模型中的重要參數(shù)就可以被解析出來,便于后續(xù)的SOC與SOH的估計。文獻(xiàn)[21]指出,電池的SOH與電池的歐姆內(nèi)阻R0之間存在著式(12)的關(guān)系,即可以通過歐姆內(nèi)阻R0來計算電池的SOH。

(12)

式中:SOH(k)表示電池的當(dāng)前健康狀態(tài);R0(k)表示電池當(dāng)前的歐姆內(nèi)阻;R0(0)表示電池的初始?xì)W姆內(nèi)阻;R0(end)表示電池失效時對應(yīng)的歐姆內(nèi)阻,通常情況下,R0(end)=2R0(0)。

3 基于AH2/H∞F的鋰電池SOC估計

3.1 鋰電池荷電狀態(tài)模型及離散化

電池的SOC表達(dá)式如式(13)所示:

(13)

式中:t0為初始時刻;t為當(dāng)前時刻;η為庫倫效率;QC為電池額定容量。

對式(1)和(13)進(jìn)行離散化。選擇SOC和U1、U2作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量,并考慮2種噪聲信號,一是統(tǒng)計特性可知的白噪聲信號,另一個是任意的有限能量信號,可得到離散的電池系統(tǒng)狀態(tài)方程如式(14)所示。

(14)

3.2 H2/H∞濾波器的設(shè)計

對于電池模型(14),如果該模型是漸近穩(wěn)定的,對于給定的常數(shù)γ>0,可設(shè)計一個漸近穩(wěn)定的全階線性濾波器如式(15)。

(15)

(16)

應(yīng)用離散時間系統(tǒng)的有界實引理,可得如下定理1。

(17)

式中:*是由矩陣的對稱性得到的矩陣塊。進(jìn)而,如果P∞是矩陣不等式(17)的一個可行解,則P2≤P∞,其中P2是Lyapunov方程的對稱正定解。

證明：若P∞是矩陣不等式(17)的一個可行解,則由矩陣的Schur補(bǔ)性質(zhì)可得式(18):

(18)

對矩陣不等式(17)左邊的矩陣分別左乘矩陣diag{JΤ,I,JΤ,I}以及右乘它的逆矩陣diag{J,I,J,I},可得矩陣不等式(17)等價于式(19)。

(19)

進(jìn)一步化簡得到式(20):

(20)

(21)

則矩陣不等式(21)變成矩陣不等式(22):

(22)

(23)

仍對矩陣不等式(23)進(jìn)行變量替換,導(dǎo)出第二個線性矩陣不等式約束(24),并得到定理2。

(24)

定理2:對給定的常數(shù)γ>0,系統(tǒng)存在一個 H2/H∞濾波器,當(dāng)且僅當(dāng)以下的優(yōu)化問題成立:

3.3 AH2/H∞F的設(shè)計及其SOC估計

鋰電池基于AH2/H∞F估計SOC的流程如下:首先,用AFFRLS實時辨識鋰電池的模型參數(shù),然后,采用H2/H∞濾波器估計鋰電池的SOC,兩者交替進(jìn)行。當(dāng)電池的參數(shù)發(fā)生變化時,AFFRLS會得到新的辨識參數(shù),H2/H∞濾波器將根據(jù)新的辨識參數(shù)估計鋰電池的SOC,即實現(xiàn)了鋰電池基于AH2/H∞F的SOC估計。

4 實驗驗證與結(jié)果分析

4.1 實驗過程

首先對UOC(SOC(k))進(jìn)行標(biāo)定。采用額定容量為2Ah的鋰離子電池在25 ℃的標(biāo)準(zhǔn)環(huán)境溫度中進(jìn)行電池試驗。通過式(25)的7次多項式擬合。

UOC=p1x7+p2x6+p3x5+p4x4+p5x3+p6x2+p7x+p8

(25)

得到的多項式系數(shù)為:p1=9.275 748;p2=-41.126 89;p3=79.505 93;p4=-84.056 22;p5=49.911 83;p6=-15.525 66;p7=2.817 365 ;p8=3.326 034。

UOC-SOC擬合曲線如圖2所示。

圖2 UOC-SOC擬合曲線Fig.2 UOC-SOC fitting curve

實驗中采集的輸入電流和輸出電壓的數(shù)據(jù)如圖3(a)和圖3(b)所示。

圖3 輸入電流和輸出電壓圖Fig.3 Input current and output voltage diagram

采用Matlab求解,獲得的干擾抑制比為:γ=1.903 9×10-7,H2/H∞濾波器的系數(shù)矩陣分別為:

4.2 自適應(yīng)性驗證

通過混合脈沖實驗的實驗數(shù)據(jù)提取出的鋰電池模型參數(shù)作為真實值,來檢驗AFFRLS方法的辨識效果。AFFRLS的辨識結(jié)果見圖4(a)～圖4(e)。

圖4 鋰電池模型的參數(shù)辨識結(jié)果Fig.4 Results of battery model parameter identification

由圖4(a)～圖4(e)可看到,辨識曲線與真實值曲線趨近一致,可見AFFRLS法辨識電池模型參數(shù)的效果較好。

鋰電池SOC的自適應(yīng)H2/H∞濾波器估計結(jié)果,如圖5(a)和圖5(b)所示,給出了采用參數(shù)R0、R1、R2、C1、C2的固定值(即保持500 s時的值不變),而得到的H2/H∞濾波器估計結(jié)果(fixed parameter H2/H∞filtering, FPH2/H∞F),用以比較。

圖5 鋰電池SOC的估計結(jié)果與誤差Fig.5 Lithium battery SOC estimation results and error

從圖5(a)和圖5(b)可以看出,在R0、R1、R2、C1、C2取固定參數(shù)下,在500 s之后,SOC的估計值會越來越偏離真實值,而AH2/H∞F則能夠根據(jù)模型參數(shù)變化自動調(diào)整,準(zhǔn)確地估計電池的SOC,驗證了濾波器的自適應(yīng)性。

4.2 不同算法的SOC估計比較

采用AH2/H∞F進(jìn)行鋰電池的SOC估計,并與H∞濾波(H∞filter, H∞F)算法和EKF算法所得到的SOC估計結(jié)果作比較。SOC的估計結(jié)果及誤差如圖6(a)～(b)所示,顯示了AH2/H∞F、H∞F和EKF法估算的SOC變化曲線?？梢钥吹?EKF法估計SOC的過程中出現(xiàn)劇烈的波動,得到的估算結(jié)果偏離真實值持續(xù)增大并愈發(fā)明顯;H∞F法估計SOC的過程中也出現(xiàn)了比較明顯的波動,尤其是在后半段,估算結(jié)果與實際值產(chǎn)生較大偏差;而AH2/H∞F法估計SOC的過程則比較平穩(wěn),估算的結(jié)果與實際值的偏差一直保持在較小的范圍內(nèi),說明其魯棒性較強(qiáng)。

表1給出了不同算法下SOC的誤差統(tǒng)計特征值。

表1 誤差統(tǒng)計特征值Tab.1 Error statistical eigenvalues

從表1可以看出,采用AH2/H∞F算法的SOC估計值最大誤差為0.005 0,在3種算法中最低;平均絕對誤差為0.001 9,相比于H∞F算法的估計結(jié)果,估計精度提升了約78%,相比于EKF算法的估計結(jié)果,精度提升約83%;AH2/H∞F的標(biāo)準(zhǔn)差為0.002 3,在3種算法中最小,說明AH2/H∞F算法的魯棒性最強(qiáng),估計值與測量值間的誤差最小。

4.3 SOH的估計

鋰電池的歐姆內(nèi)阻R0是評價其SOH的主要指標(biāo)之一,對R0的在線估計可以得到鋰電池的SOH。R0的估計曲線如圖4(a)所示,SOH的估計曲線如圖7所示。

圖7 SOH估計結(jié)果Fig.7 SOH estimation results

從圖7中可以看到,仿真實驗結(jié)束時相對應(yīng)的SOH值為81.85%。由此,可以通過辨識歐姆內(nèi)阻R0來監(jiān)測電池的健康狀態(tài)。

5 結(jié) 論

通過提出一種自適應(yīng)H2/H∞濾波器對鋰電池的SOC和SOH進(jìn)行聯(lián)合估計,采用AFFRLS法在線辨識鋰電池的模型參數(shù),H2/H∞濾波估計鋰電池的SOC;AFFRLS辨識與H2/H∞濾波交替進(jìn)行,得到一種AH2/H∞F。AFFRLS辨識出電池參數(shù)用于調(diào)整H2/H∞F實現(xiàn)SOC的自適應(yīng)估計,同時使用AFFRLS辨識出的歐姆內(nèi)阻值與失效的歐姆內(nèi)阻值計算出電池的SOH,實現(xiàn)了鋰電池SOC與SOH的聯(lián)合估計。AH2/H∞F的設(shè)計考慮了外部兩類噪聲信號,更加全面。仿真實驗表明,與FPH2/H∞F比較,AH2/H∞F具有自適應(yīng)性,能夠在模型參數(shù)變化的情況下準(zhǔn)確的估計電池的SOC和SOH;相比于EKF和H∞濾波算法具有更高的估計精度與穩(wěn)定性。