第二章 有理數(shù)
領(lǐng)? 銜? 人:朱月紅
組稿團(tuán)隊:江蘇省泰州醫(yī)藥高新區(qū)(高港區(qū))朱月紅名師工作室
“有理數(shù)”是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點。同學(xué)們在小學(xué)學(xué)習(xí)的運(yùn)算法則、運(yùn)算性質(zhì),在有理數(shù)范圍內(nèi)仍然成立。當(dāng)然,初中的要求會有所提高。初步學(xué)習(xí)數(shù)系擴(kuò)充的方法,掌握研究一類數(shù)的基本方法,會讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更輕松、有趣。
一、初識“數(shù)系擴(kuò)充”的必要性
我們學(xué)過各種各樣的數(shù)。為了表示物體的個數(shù)或者順序,產(chǎn)生了整數(shù)1、2、3等;為了表示“沒有”,引入了數(shù)0;有時分配、測量的結(jié)果不是整數(shù),需要用分?jǐn)?shù)(小數(shù))表示;為了表示具有相反意義的量,我們又引進(jìn)了負(fù)數(shù)……總之,數(shù)是為了滿足生產(chǎn)和生活的需要而產(chǎn)生、發(fā)展起來的(如圖1)。
二、類比自然數(shù),再識有理數(shù)
同學(xué)們還記得小學(xué)是怎么研究自然數(shù)的嗎?先回憶一下,將你的想法與圖2進(jìn)行對比。
有理數(shù)是兩個整數(shù)的比,是一種具有統(tǒng)一模式(規(guī)律)的數(shù),這種模式就是有理數(shù)的本質(zhì)屬性。我們可以類比自然數(shù)(分?jǐn)?shù))的學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)路徑來學(xué)習(xí)有理數(shù)?!坝欣頂?shù)”這一章的主要內(nèi)容包括有理數(shù)的概念、性質(zhì)和運(yùn)算,如圖3;研究路徑是:引入負(fù)數(shù)→有理數(shù)集→概念→在數(shù)軸上的表示(數(shù)形結(jié)合)→相反數(shù)、絕對值→性質(zhì)→運(yùn)算。
【小貼士】同學(xué)們可以自主建構(gòu)自己所理解的知識結(jié)構(gòu)圖,并將其完善和優(yōu)化,也可由此流程圖想得更遠(yuǎn)一些,比如,易考點是什么?易錯點是什么?創(chuàng)新點在哪兒?未來將繼續(xù)研究什么?
三、拓展應(yīng)用,合理運(yùn)算
數(shù)學(xué)是講道理的,數(shù)學(xué)的計算、證明過程要嚴(yán)謹(jǐn)、有理有據(jù)。“有理數(shù)”這一章要求的核心能力是運(yùn)算能力。同學(xué)們在學(xué)習(xí)時,要學(xué)會設(shè)計運(yùn)算程序,做到算有方法,算有規(guī)矩;探究運(yùn)算思路,做到算得合理,算得簡潔。也就是說,除了會算,同學(xué)們還要進(jìn)一步學(xué)習(xí)“優(yōu)算”。
1. 明晰運(yùn)算對象,有序進(jìn)行計算
學(xué)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算時,我們可類比小學(xué)學(xué)過的規(guī)則。如分層歸納有理數(shù)的加法:第一層按照“正數(shù)加正數(shù),正數(shù)加負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)加正數(shù),負(fù)數(shù)加負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)加0,0加負(fù)數(shù)”進(jìn)行分類歸納;第二層把第一次的歸納結(jié)果進(jìn)一步簡約化,并與數(shù)軸上點的運(yùn)動規(guī)律建立聯(lián)系,得到教材上的加法運(yùn)算法則。依據(jù)運(yùn)算次序、運(yùn)算法則和運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算,說明運(yùn)算步驟的依據(jù),可以培養(yǎng)同學(xué)們的推理能力。我們先看一個簡單例子。
例1 計算:([-1/2])3×6÷0.52[-1/3]÷[1/6]。
第一步:觀察式子的結(jié)構(gòu),明確式子中有哪些運(yùn)算?
第二步:按照運(yùn)算順序進(jìn)行運(yùn)算。
解:原式=[-1/8]×6÷[1/4]-2=-5。
【小貼士】我們分析算式的運(yùn)算結(jié)構(gòu),從有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律出發(fā),通過推理,可以得到有理數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序:先算乘方,再算乘除,最后算加減,有括號的先算括號內(nèi)的式子,能用運(yùn)算律的盡量用運(yùn)算律簡化運(yùn)算,從而達(dá)到簡算、優(yōu)算的目的。
2. 拓展應(yīng)用,提升學(xué)習(xí)能力
數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)體現(xiàn),是形成數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)意識的橋梁,是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、方法的靈魂。有理數(shù)運(yùn)算主要涉及數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般、分類等數(shù)學(xué)思想方法。
例2 綜合運(yùn)用:學(xué)習(xí)了“有理數(shù)”一章后,小奇對運(yùn)算產(chǎn)生了濃厚的興趣。他借助有理數(shù)的運(yùn)算,對于有理數(shù)a、b,定義了一種新運(yùn)算*,滿足a*b=a2+b2-[a-b]+1。
(1)分別計算2*(-1)和(-1)*2的值。
(2)試探索這種新定義運(yùn)算“*”是否滿足交換律?請說明理由。
(3)當(dāng)a=b時,若a*b=3,求出a的值。
解:(1)2?(-1)=22+(-1)2-[2-(-1)]
+1=3;(-1)?2=(-1)2+22-[(-1)-2]+1=3。
(2)滿足交換律。
因為a*b=a2+b2-[a-b]+1,b*a=b2+a2
-[b-a]+1= a2+b2-[a-b]+1,所以a*b= b*a。
(3)因為 a*b=3,所以a2+b2-[a-b]+1=3。因為a=b,所以a2+a2-[a-a]+1=3。所以a=±1。
【小貼士】我們可以體會從特殊到一般的思想,感受代數(shù)的核心思想,即“引入一種新數(shù),就要研究相應(yīng)的運(yùn)算;定義一種運(yùn)算,就要研究相應(yīng)的運(yùn)算律”。
“有理數(shù)”這一章涉及的概念較多,同學(xué)們可以嘗試通過建構(gòu)數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)圖,加深對數(shù)學(xué)概念的理解,感悟概念的本質(zhì),領(lǐng)悟數(shù)學(xué)研究方法,形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般觀念。這樣,同學(xué)們的學(xué)習(xí)便能實現(xiàn)從0到1(從無到有),從1到n(從有到所有)的蛻變,以及從n到n+1的創(chuàng)造。
[作者單位:江蘇省泰州醫(yī)藥高新區(qū)(高港區(qū))教師發(fā)展中心]