許云霞 雷學(xué)紅

摘要：文章主要針對新工科背景下將Matlab軟件輔助高等數(shù)學(xué)的教學(xué)課堂的必要性進(jìn)行分析。并結(jié)合實(shí)例，闡明將Matlab軟件引入高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，有助于提高學(xué)生的參與性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效率。

關(guān)鍵詞：Matlab軟件；程序代碼；命令程序

中圖分類號：O175.1? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1009-3044（2023）31-0163-03

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識碼（OSID）

0 引言

隨著時代的發(fā)展，大數(shù)據(jù)時代以及國內(nèi)外教育新形勢的變化，2017年2月和4月，教育部在復(fù)旦大學(xué)和天津大學(xué)相繼召開了高校的新工科研討會，依次形成新工科建設(shè)的“復(fù)旦共識”“天大行動”[1]，要求人才培養(yǎng)具備學(xué)科的實(shí)用性、交叉性與綜合性，且具備較強(qiáng)的工科實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力。高等數(shù)學(xué)是本科院校工科專業(yè)的一門必修課程，也是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)專業(yè)課的基礎(chǔ)，且對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方法、認(rèn)知結(jié)構(gòu)能力、應(yīng)用能力以及創(chuàng)新能力都有重要的作用[2]。但高等數(shù)學(xué)這門課程具有理論性比較強(qiáng)，抽象性比較高等特點(diǎn)。因此，在傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，因單一的教師邊板書邊講解以老師的教為主的傳統(tǒng)教學(xué)模式，導(dǎo)致高等數(shù)學(xué)普遍存在“教師難教，學(xué)生難學(xué)；上課不聽，下課不學(xué)，考試不會”的現(xiàn)狀。如何調(diào)動學(xué)生的積極性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，提高教師的教學(xué)效率和教學(xué)水平，是目前亟待解決的首要問題。隨著計(jì)算機(jī)的日益普及，傳統(tǒng)單一的以教師為主的教學(xué)方式已經(jīng)無法滿足新時代的需要，因此，必須對高等數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行改革，以適應(yīng)新工科背景下人才培養(yǎng)方案的要求和新時代的需要。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革探索過程中，教師可以使用信息化的教學(xué)方式，讓學(xué)生參與課堂教學(xué)中，變以“教師的教”為中心為以“學(xué)生的學(xué)”為中心的人才培養(yǎng)的要求，而且可以幫助學(xué)生更好地理解高等數(shù)學(xué)一些知識點(diǎn)的幾何意義、性質(zhì)等相關(guān)特性。在新工科背景下，使用數(shù)學(xué)軟件Matlab高效的數(shù)值計(jì)算和符號計(jì)算功能，來直接通過完整圖像處理工具和函數(shù)命令實(shí)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果和圖形的可視化過程，體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)由靜態(tài)到動態(tài)過程。這樣既可以節(jié)約老師大量畫圖的時間，克服了高等數(shù)學(xué)學(xué)時少任務(wù)繁重的棘手問題，也可以降低學(xué)生學(xué)習(xí)時證明計(jì)算的難度。另外，還可以提高學(xué)生應(yīng)用高等數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力，也改變教師滿堂灌，學(xué)生充耳不聞的單一教學(xué)模式，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的質(zhì)量與水平。

1? 高等數(shù)學(xué)課程應(yīng)用Matlab軟件的必要性

新工科背景下，對工科人才培養(yǎng)提出的新要求，驅(qū)動著高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)不斷地改革，以提升高等數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)效果。對高等數(shù)學(xué)這門課程來說，它內(nèi)容相當(dāng)豐富、概念多、定理多理論性強(qiáng)以及知識的循序漸進(jìn)且學(xué)時比較緊張，因此在課堂上，傳統(tǒng)教學(xué)模式教師講授的內(nèi)容比較多，且深度與廣度可能都比較深，沒有足夠的時間練習(xí)，導(dǎo)致部分學(xué)生無法跟上進(jìn)度，下課題目不會做，不愿意去預(yù)習(xí)新課等惡性循環(huán)，最終導(dǎo)致失去學(xué)習(xí)的積極性和主動性。另外，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)上，教師比較注重學(xué)生對概念的理解和掌握，因此在抽象的概念花費(fèi)一定的時間，而這部分內(nèi)容讓學(xué)生感覺到乏力無味。新工科背景下，要求老師在講解概念的同時，還要注重以學(xué)生為中心，培養(yǎng)學(xué)生的解決實(shí)際問題的能力和創(chuàng)新能力。

從學(xué)生層面上來說，他們剛剛從高中題海戰(zhàn)術(shù)中解脫出來，仍然停留在中學(xué)階段關(guān)注解題技巧的訓(xùn)練模式，缺乏數(shù)學(xué)思維的邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性；對老師的依賴較多，習(xí)慣中學(xué)重復(fù)做題、訓(xùn)練、講解，來完成對知識的認(rèn)知，缺乏主動學(xué)習(xí)和自主學(xué)習(xí)的能力，這樣很難適應(yīng)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。沒用做到提前預(yù)習(xí)，課后復(fù)習(xí)的習(xí)慣，再加上高等數(shù)學(xué)這門課本身高度的抽象性，嚴(yán)格的邏輯性的特點(diǎn)，久而久之學(xué)生對高等數(shù)學(xué)知識理解不透徹，接受比較慢，從而產(chǎn)生厭學(xué)與恐懼的心理。有些學(xué)生甚至干脆放棄高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)。隨著時代發(fā)展，智能手機(jī)的普及給人們的生活帶來便利的同時也能讓大學(xué)生搜索自己需要的有助于學(xué)習(xí)的信息，開闊眼界，擴(kuò)展學(xué)生的知識面，但也讓不能自律的學(xué)生深陷層出不窮的游戲和短視頻，導(dǎo)致學(xué)生上課時成為“低頭族”，嚴(yán)重影響課堂效果。

欲走出此困境，借助數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行高等數(shù)學(xué)教學(xué)顯得尤為重要。在新工科背景下，數(shù)學(xué)軟件如何有效地作為一種新型的教學(xué)模式應(yīng)用于課堂教學(xué)，有待教育工作者不斷地探討，發(fā)揮其實(shí)際意義。以矩陣為基本元素的Matlab軟件，是目前國內(nèi)外高校和研究部門的專家學(xué)者進(jìn)行科學(xué)研究的重要工具之一，其本身包含主程序和各種功能的工具箱，主程序又包含很多核心函數(shù)，用Matlab的語句編寫各種程序，可以解決某些專門問題或者實(shí)現(xiàn)一種新的算法。因此，它也具有強(qiáng)大的計(jì)算功能和繪畫功能、容易操作等優(yōu)勢[3]，無疑是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程的一個最優(yōu)的數(shù)學(xué)軟件。首先，使用Matlab軟件協(xié)助高等數(shù)學(xué)教學(xué)，可以幫助學(xué)生更好地理解高等數(shù)學(xué)中某些概念和復(fù)雜的計(jì)算，并且培養(yǎng)學(xué)生利用已學(xué)的數(shù)學(xué)知識、Matlab的基本語句、命令符號鍛煉動手操作能力，充分體現(xiàn)學(xué)生的自我價值和實(shí)踐能力。此外，使用Matlab軟件時，需要每位學(xué)生根據(jù)高等數(shù)學(xué)課堂上老師的具體要求，嘗試在計(jì)算機(jī)上的Matlab命令窗口動手輸入相應(yīng)內(nèi)容，并運(yùn)行觀察其結(jié)果或者動態(tài)的展示過程，從而提高學(xué)生在課堂上的參與度，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高動手能力，大大地提高教學(xué)效果和學(xué)生學(xué)習(xí)掌握理解的效果。其次，使用Matlab軟件，因軟件本身的程序，學(xué)生只需要簡單輸入命令，Matlab將自動計(jì)算結(jié)果，這樣可以讓學(xué)生從煩瑣的數(shù)值計(jì)算里解放出來，也可以作為學(xué)生計(jì)算結(jié)果的驗(yàn)證。Matlab的計(jì)算可以為老師的講課節(jié)約更多的時間，這樣高等數(shù)學(xué)課堂教師就可以花費(fèi)更多精力和時間投入數(shù)學(xué)思想方法等更實(shí)質(zhì)、更難學(xué)的內(nèi)容之中。再者，Matlab軟件有強(qiáng)大的繪畫功能，可以把一些抽象的幾何問題通過繪圖形式變得更直觀化、形象化、動態(tài)化。從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，拓展高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。

2? 利用Matlab可以提高學(xué)生的主動性

高等數(shù)學(xué)是一門理論性強(qiáng)，內(nèi)容抽象學(xué)科，一般教學(xué)按照數(shù)學(xué)自身的相關(guān)知識點(diǎn)進(jìn)行順序授課，這樣的授課方式偏重教學(xué)內(nèi)容的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，方法單一，并不能根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)做到“因材施教”。傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)方式過多地強(qiáng)調(diào)概念和證明過程，忽略背后所隱藏的知識背景和數(shù)學(xué)文化思想的介紹。知識背景能幫助學(xué)生更好地理解知識的內(nèi)涵和脈絡(luò)，有助于學(xué)生理解定義和掌握定理的應(yīng)用。例如在介紹割圓術(shù)時，借助Matlab體現(xiàn)靜態(tài)的極限到動態(tài)的變化過程，同時介紹數(shù)學(xué)家劉徽的故事能更好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和愛國情操。這樣數(shù)學(xué)課堂不再是枯燥無味的數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)公式，而是具體生動的圖像、動畫和生動有趣的數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)故事。

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中也能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，例如對稱美、黃金分割比例等很多高等數(shù)學(xué)的立體圖形，因其獨(dú)特而美妙的線條成為建筑藝術(shù)設(shè)計(jì)師創(chuàng)作靈感的來源，比如在多元函數(shù)中，介紹單葉雙曲線、雙葉雙曲線面、橢圓拋物面等幾何圖形的性質(zhì)時，很多學(xué)生根本無法想象、理解其圖形形狀。用Matlab把抽象的方程形成動態(tài)的立體幾何圖形，將高等數(shù)學(xué)和工科專業(yè)有機(jī)地結(jié)合在一起。學(xué)生在Matlab展示這些圖形時，不僅可以深刻地清楚圖形的形狀，掌握其性質(zhì)，還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性，使其更好地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識去解決實(shí)際問題。如橢圓拋物面[z=x24+y29]，通過Matlab就很容易畫出其圖像見圖1。通過圖形，很容易了解其性質(zhì)。

具體程序：

u=-20：0.1：20;

v=-20：0.1：20;

[x，y]=meshgrid（u，v）;

z=x.^2/4+y.^2/9;

Xlabel（‘x（t）’）; ylabel（‘y（t）’）; zlabel（‘z（t）’）;

meshc（x，y，z）

因此，借助Matlab學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，讓學(xué)生必須動手去做，這樣既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，也能讓學(xué)生感受到高等數(shù)學(xué)知識和Matlab軟件的強(qiáng)大功能，使學(xué)生能主動地掌握高等數(shù)學(xué)知識并應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決生活實(shí)際問題，真正做到學(xué)以致用。

3 利用Matlab計(jì)算可以提高課堂教學(xué)效果

高等數(shù)學(xué)主要包含微積分、級數(shù)、向量代數(shù)與空間解析幾何等方面的內(nèi)容。有些章節(jié)的內(nèi)容含有復(fù)雜的計(jì)算過程，而且易出錯，比如求導(dǎo)數(shù)、積分、極值和最值等。然而Matlab在此方面因其龐大的計(jì)算功能，具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢，快捷的計(jì)算方式能夠節(jié)省大量的計(jì)算時間，只需學(xué)習(xí)一些基礎(chǔ)的Matlab命令符號所表示的含義，在具體應(yīng)用時只須直接調(diào)用命令名稱或函數(shù)名稱即可。

如求下面極限[limx→∞x（1+ax）xsinbx]，顯然此題主要考查兩個重要極限。如果直接計(jì)算，必須構(gòu)造兩個重要極限，此題中[x→∞]，對[sinbx]來說必須轉(zhuǎn)化成[□→0]形式，再使用重要極限去求解，對學(xué)生來說已經(jīng)相當(dāng)復(fù)雜，看到這樣的題目往往感覺到無從下手。當(dāng)然也可以應(yīng)用Matlab中l(wèi)imit命令程序來操作。具體程序代碼為 syms x a b; f=x*（1+a/x）^x*sin（b/x）;? limit（f， x， inf）.? ans =b*exp（a）。這樣減少了構(gòu)造重要極限的過程，其運(yùn)算也很簡便，對學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)有很大的幫助，同時也增強(qiáng)學(xué)生的動手能力和程序?qū)崿F(xiàn)的應(yīng)用能力。再如計(jì)算定積分[01x1+4x2dx]，此積分主要考查積分的湊微分法，直接計(jì)算時要把[xdx]湊微分為[18d（4x2+1）]，然后用換元積分法求原函數(shù)，再代入上下限解值，計(jì)算比較煩瑣，如果學(xué)生第一步湊微分出錯，會導(dǎo)致后面的步驟全部出錯。若應(yīng)用Matlab中int命令程序來計(jì)算就更簡明扼要。具體程序?yàn)椋簊yms x; int（x*sqrt（1+4*x^2）， x， 0，1）。運(yùn)算結(jié)果， ans =（5*5^（1/2））/12 - 1/12。

由以上發(fā)現(xiàn)應(yīng)用Matlab軟件進(jìn)行運(yùn)算，只須輸入命令程序或者直接調(diào)用函數(shù)名稱即可求解得到答案，可以大大地節(jié)省運(yùn)算時間，同時也有效避免對學(xué)生大量復(fù)雜運(yùn)算和巧妙技巧的要求，也為后續(xù)專業(yè)課程中應(yīng)用高等數(shù)學(xué)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)；更有助于鍛煉學(xué)生的動手能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，從而提高教學(xué)效率[4]和學(xué)習(xí)的應(yīng)用能力。

4 利用Matlab可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

眾所周知，高等數(shù)學(xué)這門課程有大量的定義、計(jì)算，且概念是非常抽象的、計(jì)算比較繁雜。新工科背景下，對學(xué)生們的高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力有了更高的要求，利用Matlab協(xié)助高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，可以增強(qiáng)學(xué)生對基本概念的理解能力、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力、增強(qiáng)其數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。積分在高等數(shù)學(xué)中占比相當(dāng)大，包括不定積分、定積分、二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分。定積分概念理解得透徹，有助于學(xué)生更好地學(xué)習(xí)后續(xù)的其他積分的概念，顯然定積分的概念的講解為后的其他積分的概念奠定了基礎(chǔ)，因此定積分顯得非常重要。如在講解高等數(shù)學(xué)中的一個重要概念——定積分的定義，可以分為“分割、近似、求和、取極限”四個步驟進(jìn)行介紹。其概念比較抽象，一般學(xué)生難以理解這四個步驟。在講解定積分概念的過程中，如果有效地借助于Matlab軟件，將四個步驟進(jìn)行動畫演示，可以很好地展現(xiàn)“化整為零、以直代曲、以不變帶變、積零為整”[5]的數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生更好地理解定積分概念的四個步驟、可以增加課堂的趣味性、直觀性，可以輕輕松松地突破難點(diǎn)，同時也提高了學(xué)生的理解能力、數(shù)學(xué)思維能力和空間想象能力。

另外在分析函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問題時，可以使用Matlab軟件中的fplot命令程序直接繪圖，從而有效避免求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算量大問題。如判斷函數(shù)[y=x3+3x2-2x]在區(qū)間[[-2，2]]的單調(diào)性、極值和最值情況。在進(jìn)行直接計(jì)算時往往需要求出所給定函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)、駐點(diǎn)、二階導(dǎo)數(shù)，其過程相當(dāng)復(fù)雜，計(jì)算量比較大。如果調(diào)用Matlab軟件中的fplot命令程序就一目了然，具體程序?yàn)椋?/p>

fplot（'x^3+3*x^2-2*x'，[-2，2]）;

hold? on ;

ezplot（'0'，[-2，2]） ;

xlabel（‘x’） ; ylabel（‘y’）;

grid on;

運(yùn)行程序得到的結(jié)果如圖2：

5 結(jié)束語

在新工科背景下，利用Matlab軟件協(xié)助高等數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)，能夠大大地提高學(xué)生課堂參與性，能夠讓學(xué)生從復(fù)雜煩瑣的數(shù)學(xué)計(jì)算中解放出來；同時，利用Matlab軟件可以將抽象、枯燥的數(shù)學(xué)理論變得直觀、形象，從而有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和學(xué)習(xí)效率。通過借助Matlab進(jìn)行高等數(shù)學(xué)教學(xué)，將理論和實(shí)踐相結(jié)合，學(xué)生通過參與課堂教學(xué)，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去分析問題、解決問題的能力和創(chuàng)新能力，進(jìn)而成為合格的新工科專業(yè)人才。未來根據(jù)Matlab在高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果的實(shí)際反饋將更進(jìn)一步研究利用Matlab軟件對高等數(shù)學(xué)實(shí)際案例的教學(xué)改革探討，能夠更好地適應(yīng)新工科創(chuàng)新型下人才培養(yǎng)的新要求，體現(xiàn)數(shù)學(xué)在不同工科專業(yè)中的工具性，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

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【通聯(lián)編輯：李雅琪】