小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的價(jià)值審視、現(xiàn)象剖析及策略探尋

江蘇南通市錫通園區(qū)小學(xué)（226311） 徐美權(quán)

2022 年4 月，教育部發(fā)布了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》），這意味著義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程改革步入了新的階段。新階段帶來(lái)諸多新的研究熱點(diǎn)，例如，“單元整體教學(xué)”“跨學(xué)科主題式學(xué)習(xí)”……然而無(wú)論出現(xiàn)多少新的研究熱點(diǎn)，“概念教學(xué)”仍然是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重?？陀^事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式是數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，數(shù)學(xué)概念是數(shù)量關(guān)系或空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映。筆者研究了小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的現(xiàn)狀，并在實(shí)踐中探索教學(xué)策略。

一、價(jià)值的審視

無(wú)論哪個(gè)版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，數(shù)學(xué)概念都是重要組成部分。因此，人們對(duì)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)研究高度重視。同時(shí)，《課程標(biāo)準(zhǔn)》中提出核心素養(yǎng)的課程目標(biāo)，賦予了小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)更深遠(yuǎn)的意義。

1.練就數(shù)學(xué)的眼光

數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是數(shù)量關(guān)系和空間形式。人們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量及其數(shù)量關(guān)系、圖形及其圖形化關(guān)系進(jìn)行抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其關(guān)系，建構(gòu)起眾多的數(shù)學(xué)概念。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)是人們基于對(duì)客觀世界的觀察抽象出的數(shù)量關(guān)系或空間形式，它是人們思維活動(dòng)的結(jié)果。人們?cè)谶@個(gè)過(guò)程中逐漸練就數(shù)學(xué)的眼光。

2.磨礪數(shù)學(xué)的思維

數(shù)學(xué)為人們提供了一種理解與解釋現(xiàn)實(shí)世界的思考方式。人們進(jìn)行判斷和推理的基礎(chǔ)是概念，而應(yīng)用概念的基本形式就是判斷和推理。判斷屬于概念應(yīng)用的低層次，它能用特殊的例子將概念外延并充實(shí)；而推理屬于概念應(yīng)用的高層次，它能運(yùn)用概念的本質(zhì)去解決問(wèn)題。但是，無(wú)論哪種層次的概念應(yīng)用，都伴隨著數(shù)學(xué)的思維，因此，人們的數(shù)學(xué)思維在概念應(yīng)用的過(guò)程中得以磨礪。

3.精確數(shù)學(xué)的語(yǔ)言

數(shù)學(xué)為人們提供了一種描述與交流現(xiàn)實(shí)世界的表達(dá)方式。要想將人腦中數(shù)量關(guān)系及空間形式的本質(zhì)屬性反映出來(lái)，離不開(kāi)精準(zhǔn)的、簡(jiǎn)約的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。數(shù)學(xué)語(yǔ)言參與數(shù)學(xué)概念的形成，參與數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示，也參與數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決。

二、現(xiàn)象的剖析

概念教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要基礎(chǔ)，是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的起點(diǎn)。隨著教育改革的不斷深入，概念教學(xué)取得了較大的進(jìn)步，但是，仍有一些問(wèn)題值得教師關(guān)注，仍有一些司空見(jiàn)慣的現(xiàn)象值得教師剖析。

1.數(shù)學(xué)化的概念被生活化的概念所替代

學(xué)生數(shù)學(xué)概念的形成容易受生活經(jīng)驗(yàn)的影響。在學(xué)習(xí)新概念之前，學(xué)生可能對(duì)新概念有一些初步的認(rèn)知，這些認(rèn)知或片面或?qū)挿?，容易使學(xué)生錯(cuò)誤地理解抽象的數(shù)學(xué)概念。例如，在生活中人們談到“垂直”大多以垂直的墻角為例，這容易使學(xué)生誤以為只有水平方向與垂直方向的互相垂直才是“垂直”，相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念被生活概念所替代。實(shí)際上，數(shù)學(xué)概念中的“垂直”是指兩條直線(xiàn)相交，并且所成的夾角為直角，這兩條直線(xiàn)就是互相垂直，與兩條直線(xiàn)的位置沒(méi)有關(guān)系。

為了改變學(xué)生對(duì)生活概念認(rèn)識(shí)的不精確，教師可在從生活現(xiàn)象引入“互相垂直”概念后，用多種有效的數(shù)學(xué)現(xiàn)象讓學(xué)生抽象出“垂直”的概念，緊抓關(guān)鍵詞——“相交成直角”，并及時(shí)練習(xí)。這樣才能幫助學(xué)生抓住“垂直”概念的本質(zhì)，才能鞏固“相交成直角”的含義，從而加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念“垂直”的理解。

2.抽象化的概念被形象化的概念所反映

小學(xué)生的思維以形象思維為主，他們的邏輯思維也處于初級(jí)水平，當(dāng)數(shù)學(xué)概念以抽象的定義出現(xiàn)時(shí)，小學(xué)生是難以理解的。因此，現(xiàn)有的小學(xué)數(shù)學(xué)教材常用淺顯的、形象的語(yǔ)言表述概念。而學(xué)生在表述某個(gè)概念時(shí)，會(huì)用自己的語(yǔ)言將概念進(jìn)行“異化”處理。這種處理方式導(dǎo)致概念要素缺失、模糊或多余。例如，教材對(duì)線(xiàn)段、射線(xiàn)和直線(xiàn)的表述：線(xiàn)段有兩個(gè)端點(diǎn)，射線(xiàn)只有1 個(gè)端點(diǎn)，直線(xiàn)沒(méi)有端點(diǎn)。很多學(xué)生對(duì)這個(gè)描述只有直觀上的錯(cuò)誤感知，如“在一條直線(xiàn)上添上1 個(gè)端點(diǎn)，就可以將其分成兩條射線(xiàn)”“直線(xiàn)比射線(xiàn)長(zhǎng)”。數(shù)學(xué)概念是理性認(rèn)知的結(jié)果，卻來(lái)源于感性認(rèn)知，因此，在教學(xué)時(shí)要抓住本質(zhì)屬性“無(wú)限長(zhǎng)”。可以利用手電筒發(fā)出的光讓學(xué)生感悟射線(xiàn)只能向一端無(wú)限延伸；利用課件演示直線(xiàn)可向兩端無(wú)限延伸。這樣教學(xué)，學(xué)生深刻地感悟到直線(xiàn)和射線(xiàn)都可以無(wú)限延伸，因此不能度量出長(zhǎng)度，也就無(wú)法比較長(zhǎng)短。這樣分析數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，學(xué)生對(duì)于線(xiàn)段、射線(xiàn)和直線(xiàn)之間的聯(lián)系與區(qū)別有了更深刻、更全面的理解。

3.本質(zhì)化的概念由表面化的概念所解釋

數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)遵循由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)自身的認(rèn)識(shí)去粗取精、去偽留真，并進(jìn)行由此及彼、由表及里的加工。例如，在探究三角形的穩(wěn)定性時(shí)，部分教師這樣設(shè)計(jì)教學(xué)流程：先提問(wèn)生活中有些物體為什么設(shè)計(jì)成三角形的；接著讓學(xué)生拿出木條釘成的三角形和四邊形框架，通過(guò)動(dòng)手拉，學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形框架拉不動(dòng)，沒(méi)有發(fā)生變形，而四邊形框架一拉就變形，得出三角形具有穩(wěn)定性的結(jié)論。很顯然，這樣會(huì)變成讓表面化的概念去解釋本質(zhì)化的概念。

其實(shí)，數(shù)學(xué)中的“穩(wěn)定”是指當(dāng)圖形的邊長(zhǎng)確定了，大小形狀也就確定。怎樣在教學(xué)中突出本質(zhì)，深刻揭示概念？在探究三角形的穩(wěn)定性教學(xué)中，筆者這樣設(shè)計(jì)流程：首先通過(guò)呈現(xiàn)生活中三角形的廣泛應(yīng)用，設(shè)問(wèn)“三角形有什么特別的作用嗎”；接著讓學(xué)生動(dòng)手操作，初步感知“三角形拉不動(dòng)”“三角形不易變形”；再讓學(xué)生用三根小棒圍成三角形，并引導(dǎo)他們思考“用這三根小棒還能?chē)善渌娜切螁帷?。在嘗試中，學(xué)生得出結(jié)論“三根小棒的長(zhǎng)度固定，只能?chē)晌ㄒ坏娜切巍薄＝虒W(xué)流程中的三個(gè)層次是層層深入的，能夠引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度深刻認(rèn)識(shí)三角形的穩(wěn)定性，即當(dāng)三角形的三邊確定了，大小形狀也就確定了，不易變形。

三、策略的探尋

由于數(shù)學(xué)概念的抽象性與兒童思維的形象性是矛盾的，概念教學(xué)也就成為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)之一。因此，如何讓數(shù)學(xué)概念從枯燥變得生動(dòng)，如何提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，幫助他們建立數(shù)學(xué)概念的知識(shí)結(jié)構(gòu)值得探究，以下是筆者在實(shí)踐中的教學(xué)策略探尋。

1.概念的內(nèi)涵要厘定

小學(xué)數(shù)學(xué)概念涉及的領(lǐng)域很多，這些都是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基礎(chǔ)。教師要將概念的內(nèi)涵進(jìn)行厘定，才能在教學(xué)中不斷加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的印象。

（1）概念本質(zhì)的把握要精準(zhǔn)

數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)就是所研究的數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)在。例如，數(shù)的運(yùn)算的本質(zhì)就是對(duì)計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的運(yùn)算……可以說(shuō)，只有深入理解數(shù)學(xué)研究對(duì)象的本質(zhì)，才能把握住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，才能開(kāi)展對(duì)數(shù)學(xué)概念的探究和應(yīng)用，才能為學(xué)生的概念學(xué)習(xí)掃清障礙。

（2）對(duì)概念邏輯的把握要嚴(yán)謹(jǐn)

眾所周知，數(shù)學(xué)是邏輯嚴(yán)密的科學(xué)，體現(xiàn)出獨(dú)特的育人魅力。在小學(xué)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，教師要統(tǒng)攬十二冊(cè)的教材內(nèi)容，理順概念間的先后關(guān)系及邏輯關(guān)系，以此促進(jìn)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的積累。例如，在教學(xué)“3 的倍數(shù)的特征”中，在探究活動(dòng)后，學(xué)生得出結(jié)論“如果一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和是3 的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)就是3 的倍數(shù)”，這是一個(gè)真命題。這個(gè)結(jié)論就是我們以往判斷一個(gè)數(shù)是不是3 的倍數(shù)時(shí)所用的依據(jù)。筆者在教學(xué)時(shí)抓住了蘇教版教材上本教學(xué)內(nèi)容的設(shè)問(wèn)“如果一個(gè)數(shù)不是3 的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和還是3 的倍數(shù)嗎？”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論，得出的結(jié)論為原命題的逆否命題“如果一個(gè)數(shù)不是3 的倍數(shù)，那么這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和也不是3 的倍數(shù)”。數(shù)學(xué)上，原命題與逆否命題具有同真假性。這樣，我們?cè)谂袛鄷r(shí)自然可以運(yùn)用原命題的逆否命題為依據(jù)了。

2.概念的建構(gòu)要嚴(yán)謹(jǐn)

數(shù)學(xué)概念的知識(shí)體系是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系：概念組成了命題，命題組成了判斷，判斷組成了證明。這個(gè)邏輯體系中數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維最基本的單位，對(duì)其的學(xué)習(xí)也是數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)也必須遵守“先對(duì)基礎(chǔ)認(rèn)知進(jìn)行思維加工，再形成新的數(shù)學(xué)概念，循序漸進(jìn)”的原則。

（1）數(shù)學(xué)概念的實(shí)例要豐富

在蘇教版教材中，有些數(shù)學(xué)概念是描述性的，容易造成學(xué)生對(duì)概念的模糊認(rèn)知。因此，除了教材中提供的教學(xué)例子，在實(shí)際教學(xué)中教師要根據(jù)學(xué)情，恰當(dāng)?shù)卦黾由顚?shí)例，讓學(xué)生被熟悉的素材激發(fā)已有的知識(shí)，觸發(fā)已有的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生的視野得到拓寬，體驗(yàn)?zāi)軌蜇S富。

例如，對(duì)于“圓柱的高有無(wú)數(shù)條”知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，教師可以提供學(xué)生日常生活中常見(jiàn)的素材。比如，出示裝滿(mǎn)能碰到盒蓋的牙簽的圓柱形透明牙簽盒，然后提問(wèn)學(xué)生哪個(gè)是這個(gè)圓柱的高，學(xué)生能很快指出牙簽盒側(cè)面的高。接著引導(dǎo)學(xué)生理解“圓柱的高有無(wú)數(shù)條”，教師可以這樣做，向?qū)W生提問(wèn)：“如果牙簽盒上下兩個(gè)圓面的厚度忽略不計(jì)，還可以把什么看做圓柱牙簽盒的高？”學(xué)生很容易指出豎直放置的牙簽可以看作圓柱的高；筆者接著提問(wèn)“圓柱大概有多少條高”，學(xué)生答“有多少根牙簽就有多少條高，如果牙簽足夠細(xì)，那么高就有無(wú)數(shù)條”。這個(gè)問(wèn)答過(guò)程中，學(xué)生對(duì)“圓柱的高有無(wú)數(shù)條”的理解從實(shí)物變?yōu)槌橄螅瑢?duì)其本質(zhì)內(nèi)涵的把握更加深刻。

（2）數(shù)學(xué)概念的表征要多元

研究表明，多元化的表征有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)。多元化的表征包含多個(gè)不同的方面，教師要關(guān)注學(xué)生的心理，從他們的認(rèn)知狀態(tài)出發(fā)，多角度地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念，幫助學(xué)生多層次地理解數(shù)學(xué)概念，這有助于學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念體系，最終達(dá)到提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)概念的能力。例如，教學(xué)“面積單位”一課時(shí)，該課的教學(xué)重難點(diǎn)是幫助學(xué)生建立起1 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)面積單位的表象。筆者在教學(xué)時(shí)創(chuàng)設(shè)“做數(shù)學(xué)、找數(shù)學(xué)”的情境，首先出示1cm2的正方形，學(xué)生通過(guò)猜、測(cè)的活動(dòng)初步明確1cm2的定義；接著，學(xué)生通過(guò)摸、想、找、比的活動(dòng)多角度感知1cm2的大?。蛔詈?，教師提供多種素材，指導(dǎo)學(xué)生遷移認(rèn)識(shí)1cm2的經(jīng)驗(yàn)，開(kāi)展認(rèn)識(shí)1dm2和1m2的活動(dòng)。就這樣，面積單位以圖形、實(shí)物、文字、符號(hào)等多元形式出現(xiàn)在學(xué)生的面前，學(xué)生對(duì)面積單位的認(rèn)識(shí)不再是抽象的文字，而是直觀的形象。

（3）數(shù)學(xué)概念的聯(lián)結(jié)要廣泛

數(shù)學(xué)概念之間的內(nèi)在聯(lián)系很密切，教師要利用相似性或邏輯的一致性建立起不同知識(shí)體系、不同單元知識(shí)之間的聯(lián)系。數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系其實(shí)是指他們外延的關(guān)系，兩個(gè)概念的外延可以是不同類(lèi)型的相容關(guān)系。例如，可以是同一關(guān)系，等腰三角形底邊上的高與等腰三角形底邊上的中線(xiàn)就是同一關(guān)系；可以是交叉關(guān)系，等腰三角形與直角三角形就是交叉關(guān)系；還可以是從屬關(guān)系，自然數(shù)與整數(shù)、整數(shù)與有理數(shù)之間就是從屬關(guān)系。在教學(xué)時(shí)注意數(shù)學(xué)概念之間的聯(lián)結(jié)，抓好新概念的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，關(guān)注新概念的“發(fā)展點(diǎn)”，幫助學(xué)生感知概念知識(shí)的整體性。

3.概念的運(yùn)用要靈活

概念教學(xué)應(yīng)是變抽象為形象、變枯燥為生動(dòng)的，概念的運(yùn)用也應(yīng)有不同的層次，除了應(yīng)用概念，還要深刻概念的內(nèi)涵、拓寬概念的外延。因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象、推理或建模。

（1）對(duì)接生活原型

荷蘭數(shù)學(xué)教育家費(fèi)賴(lài)登塔爾提出的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則”認(rèn)為，對(duì)于任何數(shù)學(xué)問(wèn)題，人們總能在現(xiàn)實(shí)中找到它的原型。數(shù)學(xué)概念也是這樣。教師要關(guān)注概念的背景，讓概念的應(yīng)用對(duì)接生活。例如，圓柱的高在生活中有多種表現(xiàn)形式：長(zhǎng)——將日光燈管看作近似的圓柱的話(huà)，它的高可表述為燈管的長(zhǎng)；厚——硬幣可以看作一個(gè)近似的圓柱，它的高可表述為硬幣的厚；深——一口水井可看作一個(gè)近似的圓柱，它的高就是水井的深。圓柱的高的三種表述形式（長(zhǎng)、厚、深）既豐富了學(xué)生對(duì)圓柱的表象，又溝通了概念與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，還提高了學(xué)生運(yùn)用概念的能力。

（2）提供感性材料

在運(yùn)用數(shù)學(xué)概念時(shí)，幾何圖形、計(jì)量單位等約定式概念要提供多種感性材料。例如，在體積單位的教學(xué)中，首先按照概念出示相應(yīng)的實(shí)物，讓學(xué)生建立初步的表象；然后讓學(xué)生找出身邊體積大約是1 立方厘米、1 立方分米和1 立方米的物體，鞏固已有的表象；最后將能表示“長(zhǎng)度單位”“面積單位”“體積單位”的實(shí)物進(jìn)行比對(duì)，從三種單位的聯(lián)系與區(qū)別中，學(xué)生了解了幾種單位的內(nèi)涵與外延。

綜上所述，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中教師要專(zhuān)注找出關(guān)鍵的問(wèn)題，尋找概念教學(xué)的最佳路徑，方能彰顯數(shù)學(xué)概念的育人價(jià)值。