江蘇省天一中學(xué)(214101) 安愷凱

對稱現(xiàn)象普遍存在于自然世界中,而數(shù)學(xué)學(xué)科正是對自然事物的抽象、歸納和概括,因此在高中數(shù)學(xué)的許多內(nèi)容中也彌漫與充斥著對稱美.著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞曾說:“從一般意義上講,對稱對于我們的論題(探索解題)是很重要的”.高中數(shù)學(xué)課程標準指出: 數(shù)學(xué)教育要注重提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、會用數(shù)學(xué)思維思考世界、會用數(shù)學(xué)語言表達世界(三會),“三會”中提到的世界不僅指數(shù)學(xué)外部世界,也包括數(shù)學(xué)內(nèi)部世界,而對稱作為自然世界中隨處可見的一種現(xiàn)象,同時也是數(shù)學(xué)內(nèi)部世界的一種重要表現(xiàn)形式,理應(yīng)成為在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實“三會”必不可少的載體.對稱不僅給我們以美感,更重要的它是一種思想方法,它既是思考問題的出發(fā)點,又是探索解題思路的精良武器,在簡化解題過程、進行數(shù)學(xué)命題推廣等方面也具有獨特的作用.對于2022 年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷,考后從多種渠道反饋出學(xué)生具有一定的不適應(yīng)性,背后折射出的是中學(xué)教學(xué)觀念與新高考理念的不匹配性,過多的強化知識立意的教學(xué)模式,容易造成學(xué)生感知對稱的直覺與本能的喪失.以下筆者從“三會”視角出發(fā),與讀者一起賞析對稱美在新高考Ⅰ卷中的體現(xiàn).

1 會用數(shù)學(xué)語言表達對稱——五千言內(nèi)隱玄關(guān)

例1(2022 年新高考Ⅰ卷第6 題) 記函數(shù)的最小正周期為T.若,且y=f(x)的圖象關(guān)于點中心對稱,則

賞析三角函數(shù)是一類重要的函數(shù),三角函數(shù)的對稱性是其基本性質(zhì),三角函數(shù)的對稱性決定了該函數(shù)的零點、周期性、單調(diào)性等很多其它性質(zhì).本題解答的關(guān)鍵是學(xué)生是否能用頻率ω和參數(shù)b正確描繪正弦型函數(shù)的對稱中心,從而反映出學(xué)生是否理解頻率ω和參數(shù)b的變化對三角函數(shù)各種幾何性質(zhì)和代數(shù)性質(zhì)帶來的“可變性”與“不變性”影響.

例2(2022 年新高考Ⅰ卷第10 題) 已知函數(shù)f(x) =x3-x+1,則( )

A.f(x)有兩個極值點

B.f(x)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=f(x)的對稱中心

D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線

賞析多項式函數(shù)是各類函數(shù)中結(jié)構(gòu)最具規(guī)律性和簡潔性的一種, 在初中階段學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比函數(shù)之后, 三次函數(shù)作為多項式函數(shù)中的一個重要函數(shù)模型,其對稱性可從多個角度引導(dǎo)學(xué)生理解與表達.一是可從對稱函數(shù)的定義進行驗證判識,即考查函數(shù)f(x)是否滿足f(x)+f(-x)=2;二是可由奇(偶)函數(shù)通過平移變化得到,由于g(x) =x3-x是對稱中心為(0,0)的奇函數(shù),而f(x)可由g(x)向上平移一個單位得到,可知(0,1)是f(x)的對稱中心;三是可在導(dǎo)數(shù)視域下由二次函數(shù)對稱性的等價條件類比生成三次函數(shù)對稱性的等價條件,二次函數(shù)的對稱軸對應(yīng)的橫坐標是其一階導(dǎo)數(shù)的零點,可引導(dǎo)學(xué)生類比猜想三次函數(shù)的對稱中心橫坐標是其二階導(dǎo)數(shù)的零點,基于學(xué)情適當(dāng)補充三次函數(shù)拐點的相關(guān)知識,合理增加學(xué)生的知識與見識;四是可基于函數(shù)圖像進行直觀感知,認識到f(x)的對稱中心應(yīng)為其兩個極值點的中點,從而由極值點坐標求得對稱中心.基于以上分析可見本題選項C 的設(shè)置為學(xué)生預(yù)留了豐富的表達路徑,使學(xué)生主動探究的能力得到展示.

例3(2022 年新高考Ⅰ卷第12 題)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為R,記g(x) =f′(x),若,g(2+x)均為偶函數(shù),則( )

A.f(0)=0 B.C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

賞析本題作為新高考試卷的壓軸選擇題,借助多選題的題型特征,多層次地考查了抽象函數(shù)的對稱性,由于抽象函數(shù)沒有具體的表達式,因此對學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的表達能力提出了更高的要求.本題主要圍繞以下四個考點: 一為“如何由f(kx+b)的奇偶性求f(x)的對稱性”; 二為“如何由f(x) 的兩個對稱性求f(x) 的周期性”; 三為“如何由f(x)的對稱性求f′(x)的對稱性”;四為“如何由f′(x)的對稱性求f(x)的對稱性”.考點一、二是對函數(shù)對稱性的平行描述,考點三是對函數(shù)對稱性的正向描述, 考點四則是對函數(shù)對稱性的反向描述, 要求由導(dǎo)函數(shù)的對稱性反推原函數(shù)的對稱性,創(chuàng)造性地將求不定積分的運算思想引入其中,成為本題的一大亮點.對于選項A,由于∫f′(x)dx=f(x)+C,即(f(x)+C)′=f′(x),所以f(x)的圖像經(jīng)過上下平移后,其軸對稱性和導(dǎo)函數(shù)的對稱性不會發(fā)生改變,即f(x)+C也滿足題意,所以不能確定f(0)=0,故選項A 錯誤.

從上述實例可以看出, 用數(shù)學(xué)語言表達函數(shù)的對稱性,即有抽象函數(shù)視域下的共性語言,又由具體函數(shù)(三角函數(shù)、三次函數(shù)等)視域下的個性語言,無一不向我們展示著數(shù)學(xué)語言的魅力和函數(shù)對稱的玄妙.

2 會用數(shù)學(xué)眼光觀察對稱——觀物間中得化機

例4(2022 年新高考Ⅰ卷第16 題) 已知橢圓,C的上頂點為A, 兩個焦點為F1,F2,離心率為.過F1且垂直于AF2的直線與C交于D,E兩點,|DE|=6,則?ADE的周長是____.

解答由題設(shè)條件知,a= 2c,?AF1F2為正三角形, 從而直線DE為?AF1F2一邊上的中垂線.不妨設(shè)F1為左焦點, 那么直線DE的方程為設(shè)D(x1,y1),E(x2,y2), 由得,故.如圖1, 由對稱及橢圓定義, 得C?ADE=C?F2DE=4a=13.

圖1

圖2

賞析直線、橢圓及相關(guān)幾何量的計算是高中數(shù)學(xué)的必備知識, 學(xué)生長期處于知識立意為重的套路化教學(xué)環(huán)境中,對于“設(shè)直線—聯(lián)立方程—應(yīng)用弦長公式”的解題流程是極為熟悉的,因此求得橢圓方程對大部分學(xué)生并無障礙.作為填空壓軸題,本題的第二個考查重點是學(xué)生對圖形中對稱的感知與應(yīng)用,能否將?ADE的周長對稱轉(zhuǎn)化為?F2DE的周長成為本題解答的關(guān)鍵.若學(xué)生缺少觀察與發(fā)現(xiàn)對稱的眼光,則或陷入“求得橢圓方程后束手無策”的窘境,或掉入“通過直接求出點D和點E坐標來求周長”的粗淺運算的困境,在高考這類大型考試中,會對解題心理帶來極其不利的影響.

例5(2022 年新高考Ⅰ卷第21 題)已知點A(2,1)在雙曲線上,直線l交C于P,Q兩點,直線AP,AQ的斜率之和為0.

(1)求l的斜率;(2)略.

進而由兩式作差可得4x1- 4x2+ 4y1- 4y2= 0, 即y1-y2=-(x1-x2),故.

賞析有別于以往高考試卷,新高考試卷中圓錐曲線大題的第一問便對學(xué)生的理性思維深度提出了較高要求.解決本題第一問的通常方法是設(shè)出直線PQ方程(含有兩個參變量),聯(lián)立方程組結(jié)合已知條件尋找兩個參變量之間的關(guān)系,回代直線方程進而求出直線PQ的斜率,該方法思路清晰但運算繁瑣,學(xué)生普遍“望算生畏”.筆者則根據(jù)雙曲線中一個與對稱點相關(guān)的性質(zhì)(若點A,B是C上關(guān)于原點對稱的兩點,點P是C上異于A,B的一點,則)尋得化機,分兩次轉(zhuǎn)化題設(shè)條件“kAP+kAQ= 0”中的斜率kAP與kAQ, 從而聯(lián)立出具有對稱結(jié)構(gòu)的方程組予以解答,“對稱”為解決這類問題開拓了新視野.

3 會用數(shù)學(xué)思維思考對稱——識得廬山真面目

例6(2022 年新高考Ⅰ卷第20 題)一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系,在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100 例(稱為病例組),同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100 人(稱為對照組),得到如下數(shù)據(jù):

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(1)略;(2)從該地的人群中任選一人,A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”,B表示事件“選到的人患有該疾病”.與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標, 記該指標為R.(ⅰ)證明:;(ⅱ)略.

解答

賞析本題要求證明新定義的統(tǒng)計概念R的兩個表達式之間的等價關(guān)系,通過創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新情境,促使統(tǒng)計試題中慣用的“套用公式,機械計算”模式在高考考場中失速失效.若仔細觀察,不難發(fā)現(xiàn)R的兩個表達式之間似乎存在著一定的對稱聯(lián)系,入乎其內(nèi)思考,兩者等價的關(guān)鍵是貝葉斯公式P(B|A)P(A) =P(A|B)P(B)的應(yīng)用, 貝葉斯公式作為用來描述兩個條件概率之間關(guān)系的數(shù)學(xué)公式,常以其對稱優(yōu)雅、深刻雋永而聞名.出乎其外思索,兩者等價的實質(zhì)是對列聯(lián)表作對稱變化(如圖3,顛倒行列)后,度量值標R值不發(fā)生改變.數(shù)學(xué)的概念和公式是人類大腦抽象思維的產(chǎn)物,人們在創(chuàng)造數(shù)學(xué)概念和公式時,一方面要依據(jù)事物本身的規(guī)律,另一方面是出于對高于事物本身的思維上的對稱美學(xué)的欣賞.而這些對稱美學(xué)的直觀感受,有時往往超越了數(shù)學(xué)知識的本身.

圖3

圖4

例7(2022 年新高考Ⅰ卷第22 題) 已知函數(shù)f(x) =ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1) 求a; (2) 證明: 存在直線y=b, 其與兩條曲線y=f(x) 和y=g(x) 共有三個不同的交點, 并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.

賞析本題作為整張試卷的壓軸題,對學(xué)生的知識、能力和創(chuàng)新思維均有較高的要求, 體現(xiàn)了考查關(guān)鍵能力的導(dǎo)向,繼第一問求得a=1 后,從對稱角度對第二問分析如下:

設(shè)A,B為函數(shù)y1= ex與y2=x+b圖象的兩個交點,C,D為函數(shù)y3= lnx與y4=x-b圖象的兩個交點, 且xB=xD, 因為y1與y2、y3與y4的圖象關(guān)于直線y=x對稱, 所以xB-xA=xC-xD, 從而xA+xC=xB+xD=2xB.學(xué)生若能理解同底的指對數(shù)函數(shù)圖象間互為反函數(shù)的對稱關(guān)系,則不難由上述分析發(fā)現(xiàn)問題的圖形本質(zhì).可見追求數(shù)學(xué)本質(zhì)的命題與推廣,往往突出對概念、屬性、表現(xiàn)形態(tài)中對稱性的理解與運用,強調(diào)數(shù)學(xué)對象中蘊含著的代數(shù)、幾何的在對稱層面上的和諧統(tǒng)一.

綜合以上幾例可以看出,2022 年新高考Ⅰ卷的許多關(guān)鍵試題都可以通過“對稱”知微見著,凸顯出數(shù)學(xué)的美學(xué)精神,著重考查學(xué)生會數(shù)學(xué)的眼光觀察對稱、會用數(shù)學(xué)的思維思考對稱、會用數(shù)學(xué)的語言表達對稱.而正因在日常教學(xué)中教師沒有重視培育學(xué)生“三會”視域下的對稱觀念,致使高考考場上出現(xiàn)大量粗淺、蠻干的變換手段,從而把題目變“難”或變“繁”,以致學(xué)生答題時間“捉襟見肘”,羈絆于繁難的境況無法脫身,造成事實上的“難”試卷.對稱美是數(shù)學(xué)美的特征之一,對對稱美的追求,在一定的程度上促進了數(shù)學(xué)的發(fā)展,成為創(chuàng)造好的數(shù)學(xué)和完善性重要思考的組成部分.培養(yǎng)學(xué)生能有意識地運用對稱思想去思維,主動地用對稱的眼光思考數(shù)學(xué)學(xué)科,不僅在解題時駕簡馭繁、開拓思路,在對數(shù)學(xué)的理解上也能愈加透徹和深入,致使能在一種十分美妙的精神世界里把對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和探究活動變得充滿樂趣和富有魅力.