基于相平面的電動汽車操穩(wěn)性模型預(yù)測控制*

黃開啟 溫書誠

（江西理工大學(xué) 機電工程學(xué)院，贛州 341000）

主題詞：相平面 操縱穩(wěn)定性 模型預(yù)測控制 轉(zhuǎn)矩分配

1 前言

分布式驅(qū)動電動汽車以其傳動效率高、電機響應(yīng)快及四輪轉(zhuǎn)矩獨立、可控等優(yōu)點，在車輛結(jié)構(gòu)和操縱穩(wěn)定性控制等方面具有極大優(yōu)勢，引起了國內(nèi)外眾多學(xué)者的重視[1-3]。近年來，汽車底盤控制系統(tǒng)發(fā)展迅速，如主動前輪轉(zhuǎn)向(Active Front Steering，AFS)系統(tǒng)和直接橫擺力矩控制(Direct Yaw-moment Control，DYC)系統(tǒng)，旨在提高駕駛員舒適度和車輛橫向穩(wěn)定性[4]。AFS系統(tǒng)能在不干預(yù)駕駛員轉(zhuǎn)向輸入的情況下，修正前輪轉(zhuǎn)角提高車輛操縱穩(wěn)定性。目前大多數(shù)研究通過自抗擾控制[5]、滑?？刂芠6]、魯棒控制[7]、模型預(yù)測控制(Model Predictive Control，MPC)[8]等控制策略設(shè)計AFS 系統(tǒng)。其中，李紹松等[9]通過考慮輪胎非線性特性，對線性時變模型預(yù)測控制進行改進，改善了AFS系統(tǒng)在極限工況下對車輛穩(wěn)定性的控制效果。然而當車輛處于極限轉(zhuǎn)向工況或低附著系數(shù)路面行駛時，輪胎側(cè)向力達到飽和，AFS 系統(tǒng)的控制效能會受到極大影響。

與AFS 系統(tǒng)不同，DYC 系統(tǒng)通過對輪胎縱向力進行控制，進而提高車輛的操縱穩(wěn)定性。Wang 等[10]基于線性二次調(diào)節(jié)器實現(xiàn)了車輛直接橫擺力矩控制，并通過在傳統(tǒng)線性二次型調(diào)節(jié)器的反饋中增加額外控制項，提出了增益調(diào)度魯棒線性二次調(diào)節(jié)器來保證控制器的魯棒性。Nahidi 等[11]基于線性時變模型預(yù)測控制設(shè)計了橫縱向車輛DYC 控制器，該方法在低速工況下表現(xiàn)良好，但高速工況下無法保證控制性能。

上述研究在設(shè)計單獨的控制系統(tǒng)時取得了成功，但是學(xué)者普遍認為集成AFS系統(tǒng)和DYC系統(tǒng)能夠更好地改善車輛的操縱穩(wěn)定性[12]。Song 等[13]提出了基于MPC的主動轉(zhuǎn)向系統(tǒng)與直接橫擺力矩系統(tǒng)的集成控制器，提高了車輛橫向穩(wěn)定性，但因該控制器只能輸出固定的主動轉(zhuǎn)角和附加橫擺力矩，在低附著系數(shù)路面的表現(xiàn)并不理想。基于此，本研究提出基于MPC 的AFS 系統(tǒng)與DYC 系統(tǒng)的集成控制器，引入質(zhì)心側(cè)偏角相平面作為車輛穩(wěn)定性判據(jù)，對控制器輸出的主動轉(zhuǎn)角和附加橫擺力矩大小進行調(diào)整，同時根據(jù)車輛穩(wěn)定程度，設(shè)計綜合轉(zhuǎn)矩優(yōu)化分配算法對四輪轉(zhuǎn)矩進行分配，進而實現(xiàn)車輛操縱穩(wěn)定性控制。

2 車輛動力學(xué)模型

為了減少控制器計算量，提高算法實時性，對車輛動力學(xué)模型進行簡化。同時根據(jù)分布式驅(qū)動電動汽車的特點，考慮轉(zhuǎn)矩分配對縱向車速的影響，采用二自由度車輛模型，如圖1所示。

圖1 二自由度車輛模型

由牛頓定律建立車輛側(cè)向和橫擺運動的方程：

式中，F(xiàn)yf為車輛前軸側(cè)向力；Fyr為車輛后軸側(cè)向力；m為車輛質(zhì)量；vx、ω和β為車輛縱向速度、橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角；a、b為車輛前、后軸至車輛質(zhì)心的距離；Iz為車輛繞軸的轉(zhuǎn)動慣量；ΔMz為依賴車輪縱向力的附加橫擺力矩。

假設(shè)路面附著系數(shù)為μ，當車輛前輪轉(zhuǎn)角較小且質(zhì)心處側(cè)向加速度小于0.5μg 時，可認為輪胎側(cè)向力與輪胎側(cè)偏角和輪胎側(cè)偏剛度之間存在如下所示的線性關(guān)系：

式中，k1和k2分別為前、后車輪的側(cè)偏剛度；α1和α2分別為前、后車輪的側(cè)偏角；δf為車輛前輪轉(zhuǎn)角。

將式（3）、式（4）帶入式（1）、（2）中整理可得：

3 基于質(zhì)心側(cè)偏角相平面的穩(wěn)定性判斷模塊

質(zhì)心側(cè)偏角-橫擺角速度相平面和質(zhì)心側(cè)偏角-質(zhì)心側(cè)偏角速度相平面通常用于分析和判斷車輛穩(wěn)定性。但在車輛失穩(wěn)的情況下，后者具有更高的判定精度。因此，本文采用質(zhì)心側(cè)偏角-質(zhì)心側(cè)偏角速度相平面對車輛穩(wěn)定性進行分析。

在相平面的穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)，從任意出發(fā)點出發(fā)的相軌跡都收斂于零點，使車輛能恢復(fù)到穩(wěn)定?？紤]車速和路面附著系數(shù)對質(zhì)心側(cè)偏角相平面穩(wěn)定區(qū)域的影響，劉偉等[14]給出質(zhì)心側(cè)偏角相平面穩(wěn)定性區(qū)域的確定方法，如公式（7）所示：

式中，E1、E2為穩(wěn)定區(qū)域邊界系數(shù)。

如圖2 所示，在相平面中，車輛失穩(wěn)情況通常發(fā)生在第一、三象限，因此在一、三象限內(nèi)且處于穩(wěn)定邊界外的車輛狀態(tài)點，需要及時控制。

圖2 車輛狀態(tài)在質(zhì)心側(cè)偏角相平面中的位置

根據(jù)公式，可以判斷車輛是否處于穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)，但仍需了解車輛的穩(wěn)定性程度并進行相應(yīng)控制，因此，還需結(jié)合穩(wěn)定邊界隨車速和路面附著系數(shù)變化規(guī)律計算當前穩(wěn)定邊界范圍，即穩(wěn)定邊界到穩(wěn)定區(qū)域中心線的距離Rstb。根據(jù)車輛當前質(zhì)心側(cè)偏角，計算當前狀態(tài)點在質(zhì)心側(cè)偏角相平面中的位置，即從當前狀態(tài)點到穩(wěn)定區(qū)域中心線的距離Rc。然后根據(jù)式（8）計算車輛穩(wěn)定性程度。

4 改進MPC控制器設(shè)計

選取車輛質(zhì)心側(cè)偏角β和橫擺角速度ω為狀態(tài)變量，車輛前輪轉(zhuǎn)角δf和附加橫擺力矩ΔMz為控制變量，質(zhì)心側(cè)偏角β和橫擺角速度ω為輸出變量，結(jié)合二自由度車輛模型式（5）、式（6），將模型寫為狀態(tài)空間方程的形式：

其中，狀態(tài)向量x=[β ω]T，

模型預(yù)測控制算法需對連續(xù)系統(tǒng)方程離散化，使用歐拉方法對上述狀態(tài)空間方程進行離散化處理：

其中，A=I+AcTs，B=BcTs，Ts為仿真步長，Ts=0.01。

為保證車輛狀態(tài)變化平穩(wěn)，需要將控制變量轉(zhuǎn)變?yōu)榭刂圃隽浚傻茫?/p>

MPC 控制器通過迭代方程以預(yù)測系統(tǒng)未來的輸出（假設(shè)控制時域與預(yù)測時域相等為N）：

MPC 控制器目標函數(shù)的設(shè)計目的是在預(yù)測時域內(nèi)使狀態(tài)量與期望值的誤差最小，同時最小化控制器的輸出。與傳統(tǒng)MPC 目標函數(shù)不同，本文將表示車輛穩(wěn)定性的質(zhì)心側(cè)偏角相平面穩(wěn)定域公式加入目標函數(shù)設(shè)計當中，根據(jù)車輛實時穩(wěn)定程度計算該部分權(quán)重，考慮系統(tǒng)對目標函數(shù)的約束，得到如公式（14）所示的MPC 目標函數(shù)：

在目標函數(shù)(14)中，第一項表示控制器輸出實際質(zhì)心側(cè)偏角和橫擺角速度與其理想值的誤差，保證控制精度；第二項表示控制增量大小，防止前輪轉(zhuǎn)角變化過大；第三項表示在質(zhì)心側(cè)偏角相平面中，車輛當前狀態(tài)點離穩(wěn)定域中心的距離，防止車輛狀態(tài)偏離相平面穩(wěn)定域；第四項為松弛因子，保證該問題有解。

橫擺角速度的期望值如式（15）所示：

期望質(zhì)心側(cè)偏角如式所示：

為保證車輛始終安全運行，對控制變量、控制增量和輸出變量進行約束，其理論表達式如下所示：

根據(jù)預(yù)測方程、目標函數(shù)以及上述約束可得MPC優(yōu)化問題。在Matlab中，采用Fmincon函數(shù)對MPC優(yōu)化問題進行求解。

5 綜合轉(zhuǎn)矩優(yōu)化分配算法

MPC控制器可以得到車輛穩(wěn)定性控制所需要的附加橫擺力矩，因此，需通過4 個車輪的轉(zhuǎn)矩進行分配以形成直接橫擺力矩。本文通過計算期望縱向速度vxdes與實際縱向速度vx的差值，采用比例積分微分控制（Proportional Integral Derivative，PID）方法計算得到車輛需要的總縱向力Fxd，表達式如式（20）所示：

式中，kp為比例系數(shù)；TI為積分時間常數(shù)；TD為微分時間常數(shù)；e(t)為vxdes與vx的差值。

將Fxd分配給4個車輪以產(chǎn)生所需橫擺力矩。因此，根據(jù)力平衡及力矩平衡等式約束，得到如下方程：

式中，F(xiàn)xfl0、Fxfr0、Fxrl0及Fxrr0表示4個輪胎力沿x軸的合力；B表示輪距；Mz為期望直接橫擺力矩。

計算4個輪胎力沿車輛坐標系縱向合力：

式中，F(xiàn)xfl、Fxfr、Fxrl及Fxrr表示各輪胎縱向力。

除了需要滿足上述等式約束，輪胎縱向力還需滿足路面附著條件的不等式約束：

縱向力的分配主要有2種分配原則：穩(wěn)定性分配和動力性分配。根據(jù)Mokhiamar等[15]提出的將輪胎利用率平方和作為優(yōu)化目標的方法進行穩(wěn)定性分配，其目標函數(shù)如下所示：

綜合式（21）～（24），采用拉格朗日乘子法求解輪胎縱向力分配優(yōu)化問題：

式中，H=(Fxd-2ΔMz/B)/2；S=(Fxd+2ΔMz/B)/2。

縱向力動力性分配需要考慮輪胎的滑移率，較小的滑移率有利于提高車輛行駛的動力性，因此，按照動力性分配原則的目標函數(shù)如下：

式中，λi為輪胎滑移率；λmax為輪胎穩(wěn)定狀態(tài)的滑移率最大值。

同樣通過拉格朗日乘子法，得到動力性分配優(yōu)化結(jié)果：

本文結(jié)合穩(wěn)定性分配和動力性分配2 種方法設(shè)計綜合轉(zhuǎn)矩優(yōu)化分配方法，并根據(jù)車輛在質(zhì)心側(cè)偏角相平面中的穩(wěn)定程度確定二者在綜合優(yōu)化分配中的權(quán)重。若車輛穩(wěn)定程度高，則動力性分配權(quán)重高；若車輛穩(wěn)定程度低，則穩(wěn)定性分配權(quán)重高，分配方法如下所示：

其中r和(1-r)分別為穩(wěn)定性分配和動力性分配的權(quán)重系數(shù)，r可以由式（29）確定：

由式（25）～（29）得到綜合優(yōu)化分配結(jié)果：

因分布式驅(qū)動電動汽車施加給車輪的是轉(zhuǎn)矩，因此由式（31）將輪胎縱向力轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)矩：

式中，Ti為電機轉(zhuǎn)矩；Reff為車輪有效半徑。

6 仿真分析

本文所設(shè)計的集成控制策略框架如圖3 所示。車輛模型將車輛縱向速度、質(zhì)心側(cè)偏角等狀態(tài)量傳遞給相平面穩(wěn)定性判斷模塊、縱向力PID控制器和MPC穩(wěn)定性控制器。相平面穩(wěn)定性判斷模塊通過實時車輛狀態(tài)計算出車輛穩(wěn)定程度并發(fā)送給MPC穩(wěn)定性控制器及轉(zhuǎn)矩分配器。MPC控制器結(jié)合車輛狀態(tài)參數(shù)及相平面輸出的車輛穩(wěn)定程度參數(shù)計算出主動前輪轉(zhuǎn)角和期望附加橫擺力矩，并將轉(zhuǎn)角信號直接輸送給車輛模型，將力矩信號輸送給轉(zhuǎn)矩分配器。轉(zhuǎn)矩分配器接收力矩信號，結(jié)合PID控制器輸出的縱向力、車輛模型輸出的輪胎力以及相平面輸出的穩(wěn)定程度對力矩進行綜合優(yōu)化分配，將轉(zhuǎn)矩分配到4個車輪。

圖3 控制策略框架

搭建Carsim與Matlab/Simulink聯(lián)合仿真環(huán)境，采用車輛在實際運行中容易失穩(wěn)的低附雙移線工況，對基于相平面的AFS和DYC模型預(yù)測控制算法進行驗證。在Carsim中選擇C級車作為仿真車輛，車輛關(guān)鍵參數(shù)如表1所示。

表1 車輛關(guān)鍵參數(shù)

為了驗證本文提出的MPC控制器以及綜合轉(zhuǎn)矩分配算法的性能，設(shè)置2個對照組。將本文所設(shè)計的控制策略標記為控制器A，對照組一的上層控制器為不考慮相平面的傳統(tǒng)MPC 控制器，下層轉(zhuǎn)矩分配采用本文所設(shè)計的綜合轉(zhuǎn)矩優(yōu)化分配，標記為控制器B；對照組二的上層控制器同為不考慮相平面的傳統(tǒng)MPC 控制器，下層采用穩(wěn)定性分配與動力性分配權(quán)重固定相等的綜合轉(zhuǎn)矩分配，標記為控制器C。設(shè)定車輛以80 km/h 的速度在路面附著系數(shù)為0.5 的雙移線道路行駛，其中MPC 控制器的控制時域與預(yù)測時域均設(shè)置為10，仿真結(jié)果如圖4～圖11所示。

圖4 控制器A中Rc值變化

圖4 為控制器A 仿真時由質(zhì)心側(cè)偏角相平面計算得到的Rc值的變化，該值越大，則代表車輛越不穩(wěn)定。圖5～圖7 給出了3 個控制器對理想質(zhì)心側(cè)偏角和理想橫擺角速度的跟蹤效果以及質(zhì)心側(cè)偏角相平面中相軌跡分布。對比控制器B 和控制器C，控制器B 對質(zhì)心側(cè)偏角和橫擺角速度理想值的跟蹤均優(yōu)于控制器C，這是因為控制器C中穩(wěn)定性分配與動力性分配的權(quán)重固定，而控制器B 可對2 種分配方法的權(quán)重進行調(diào)整。但從圖7可知，雖控制器B的相軌跡分布略優(yōu)于控制器C，但二者均有超出相平面穩(wěn)定邊界的情況，車輛存在失穩(wěn)的可能性。控制器A因采用了改進的MPC穩(wěn)定性控制器以及綜合轉(zhuǎn)矩優(yōu)化分配算法，其對理想質(zhì)心側(cè)偏角以及理想橫擺角速度的跟蹤皆優(yōu)于控制器B和控制器C，且波動更小，其質(zhì)心側(cè)偏角極值相較于控制器B 減小了25%，相較于控制器C減小了35%，相軌跡始終處于穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)，車輛穩(wěn)定性較好。從圖8 可以看出，當車輛處于轉(zhuǎn)向工況時，控制器A可以增大主動前輪轉(zhuǎn)角輸出以達到改善車輛操縱穩(wěn)定性的目的，而控制器B和控制器C因采用傳統(tǒng)MPC控制器，通過主動轉(zhuǎn)角改善操穩(wěn)性的能力有限。從圖9～圖11 可以看出，由于控制器C 受滑移率波動的影響，導(dǎo)致轉(zhuǎn)矩分配效果不佳。而控制器A綜合了穩(wěn)定性分配原則與動力性分配原則，削弱滑移率波動對轉(zhuǎn)矩分配影響的同時，提高了車輛穩(wěn)定性。

圖5 橫擺角速度響應(yīng)

圖6 質(zhì)心側(cè)偏角響應(yīng)

圖7 質(zhì)心側(cè)偏角相平面

圖8 主動前輪轉(zhuǎn)角

圖9 控制器A轉(zhuǎn)矩分配

圖10 控制器B轉(zhuǎn)矩分配

圖11 控制器C轉(zhuǎn)矩分配

7 結(jié)束語

本文針對分布式驅(qū)動電動汽車在低附著系數(shù)路面上的操縱穩(wěn)定性不佳的問題，提出了基于相平面的AFS和DYC 模型預(yù)測控制器與綜合轉(zhuǎn)矩優(yōu)化分配算法，聯(lián)合搭建Carsim與Matlab/Simulink模型進行仿真，得出以下結(jié)論：考慮了相平面車輛穩(wěn)定程度的改進MPC 控制器可以根據(jù)車輛穩(wěn)定程度調(diào)節(jié)主動前輪轉(zhuǎn)角與附加橫擺力矩的大小來改善車輛操縱穩(wěn)定性。當車輛穩(wěn)定程度較低時，及時增大主動前輪轉(zhuǎn)角及附加橫擺力矩輸出，使車輛迅速恢復(fù)穩(wěn)定。兼顧了穩(wěn)定性與動力性，并根據(jù)相平面車輛穩(wěn)定程度調(diào)節(jié)二者權(quán)重的綜合轉(zhuǎn)矩優(yōu)化分配算法可以削弱滑移率波動對轉(zhuǎn)矩分配的影響，同時進一步提高車輛穩(wěn)定性。