陳挺
[摘 要]高考對平面向量的考查一直以交匯性問題的形式出現(xiàn),不僅考查向量知識(shí)與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用,而且考查平面向量的工具性。文章結(jié)合幾則典例,例析平面向量與三角、解析幾何、函數(shù)與不等式的交匯,以提高學(xué)生的解題能力,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。
[關(guān)鍵詞]平面向量;三角;解析幾何;函數(shù);不等式
[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? A [文章編號(hào)] 1674-6058(2023)26-0004-04
高考對平面向量的考查一直以交匯性問題的形式出現(xiàn),既考查了考生對平面向量本身的認(rèn)識(shí),又考查了平面向量的工具性,因此在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中,教師一定要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注平面向量交匯性問題。本文舉例說明,以供同仁們參考。
一、與三角的交匯
這類命題一般是以平面向量為載體,巧妙地把平面向量的數(shù)量積問題與三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)糅合在一起,以此來考查考生對這兩部分知識(shí)的掌握情況和知識(shí)的遷移能力。
析,利用向量數(shù)量積這一工具,結(jié)合三角恒等變換求出三角函數(shù)值,再結(jié)合角的取值范圍得出答案。
點(diǎn)評(píng):本題屬于解三角形問題。已知條件中雖然沒有出現(xiàn)平面向量,但解答時(shí)卻引進(jìn)了平面向量,并應(yīng)用平面向量的運(yùn)算法則進(jìn)行推理,體現(xiàn)了平面向量在解三角形問題中的“工具”作用。
復(fù)習(xí)建議:對于平面向量與三角函數(shù)的交匯創(chuàng)新試題,復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注平面向量的運(yùn)算法則、同角三角函數(shù)的關(guān)系、三角恒等變換、解三角形、基本不等式等知識(shí),并強(qiáng)化引參、消元、化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用,幫助學(xué)生開闊視野,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。
二、與解析幾何的交匯
平面向量與解析幾何都涉及數(shù)和形,對于解析幾何中圖形的重要位置關(guān)系(如平行、相交、三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等)和數(shù)量關(guān)系(如距離、面積、角度等)都可以通過向量的運(yùn)算而得到解決。
點(diǎn)評(píng):本題將三角形的面積公式,同角關(guān)系,向量夾角公式,數(shù)量積的坐標(biāo)表示,向量的模的坐標(biāo)表示,直線與橢圓的交點(diǎn)的求法,橢圓中的定值問題綜合在一起考查,綜合性極強(qiáng),具有一定的計(jì)算難度。
(1)求[C]的方程;(2)過點(diǎn)[F]且斜率不為零的直線[m]與[C]交于[P、Q]兩點(diǎn),設(shè)[A-1,0],證明:[AP⊥AQ]。
點(diǎn)評(píng):解析幾何中的兩直線平行、垂直或求夾角問題,一般可以轉(zhuǎn)化為平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算問題,這體現(xiàn)了平面向量在解析幾何問題中的靈活應(yīng)用。
復(fù)習(xí)建議:對于平面向量與圓錐曲線的交匯試題,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在對曲線的定義和性質(zhì)理解的基礎(chǔ)上解題,熟練掌握直線方程、圓錐曲線的概念和性質(zhì)等,深刻體會(huì)由向量關(guān)系式列出方程是后繼應(yīng)用韋達(dá)定理、函數(shù)的增減性等簡化運(yùn)算的關(guān)鍵。
三、與函數(shù)、不等式的交匯
平面向量與函數(shù)、不等式等知識(shí)的交匯試題,當(dāng)平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時(shí),由向量平行或垂直的充要條件可以得到關(guān)于未知數(shù)的關(guān)系式。在此基礎(chǔ)上,可以設(shè)計(jì)出有關(guān)函數(shù)、不等式的綜合問題。
(1)求[y]關(guān)于[x]的函數(shù)解析式;
點(diǎn)評(píng):本題以平面向量基本定理的應(yīng)用為背景,通過平面向量運(yùn)算構(gòu)建函數(shù),并在此基礎(chǔ)上考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì),具有“向量搭臺(tái),函數(shù)唱戲”的特點(diǎn)。
復(fù)習(xí)建議:平面向量與函數(shù)、不等式等知識(shí)交匯的試題大多考查了平面向量基本定理和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式的應(yīng)用,以及函數(shù)的恒成立問題的轉(zhuǎn)化求解。合理運(yùn)算、化簡,轉(zhuǎn)化為與二次函數(shù)相關(guān)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用是解答題目的關(guān)鍵。因此,復(fù)習(xí)此類問題,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)轉(zhuǎn)化思想和換元思想,不斷提高分析問題和解決問題的能力。尤其要掌握兩種轉(zhuǎn)化途徑:一是利用向量平行或垂直的充要條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化;二是利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。
總之,通過以上交匯性問題的探索,應(yīng)讓學(xué)生知道,平面向量交匯性問題不僅考查向量知識(shí)與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用,而且考查平面向量的工具性,是一類兼顧基礎(chǔ)性與綜合性考查的好題。因此,在復(fù)習(xí)平面向量時(shí),教師既要注重學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固和基本技能的提高,又要注意平面向量方法的滲透。