基于實測頻率振型的大跨斜拉橋響應(yīng)面模型修正研究

摘 要：為了驗證基于實測頻率和振型的響應(yīng)面模型修正方法的準確性與可行性，以某大跨斜拉橋為工程背景，分別進行靜載試驗和環(huán)境激勵下的模態(tài)測試。以豎向前4階實測頻率及振型作為狀態(tài)變量，選取合理的修正參數(shù)，進行中心復(fù)合試驗設(shè)計；采用考慮交互項的響應(yīng)面模型進行數(shù)據(jù)擬合，并計算參數(shù)R2值的范圍，進行精度檢驗；分析頻率及振型的改變率，將修正后模型的撓度與實測撓度進行對比，驗證該模型修正的準確性。結(jié)果表明：在參數(shù)范圍內(nèi)，各響應(yīng)面模型的R2值均接近于1，擬合精度較高；修正后模型的頻率與振型均接近實測值，能準確反映橋梁的動力特性；修正后模型的撓度計算值與實測值最大誤差不超過7.98%，滿足工程精度要求，能夠真實反映大跨斜拉橋的工作狀態(tài)。研究證明了基于實測頻率與振型的響應(yīng)面模型修正方法對大跨斜拉橋的適用性和可行性，可為實際工程中類似橋梁的模型修正提供參考。

關(guān)鍵詞：橋涵工程；大跨斜拉橋；動力參數(shù)；響應(yīng)面法；有限元模型修正；靜載試驗

中圖分類號：

U446.1

文獻標識碼：A

DOI： 10.7535/hbgykj.2024yx04005

Response surface model modification of long-span cable-stayed bridges based on measured frequency mode

LI Mingxing1， SI Zhenzhen2， QI Xingjun2， CAO Sanpeng2， YANG Hongchao2

（1.Shandong Railway Investment Holding Group Company Limited， Ji’nan，Shandong 250102， China; 2.School of Transportation Engineering， Shandong Jianzhu University， Ji’nan， Shandong 250101，China）

Abstract：In order to verify the accuracy and feasibility of the response surface model correction method based on the measured frequency and mode shape， the static load test and the modal test under environmental excitation were carried out with a long-span cable-stayed bridge as the engineering background. Using vertically measured frequencies and modes as state variables for the fourth-order forward experiment， appropriate correction parameters were selected to conduct a central composite experimental design. The response surface model considering the interaction term was used for data fitting， and the R2 value of the parameter range was calculated for accuracy testing. The change rate of frequency and mode shape was analyzed， and the deflection of the modified model was compared with the measured deflection to verify the accuracy of the model. The results show that in the parameter range， the R2 values of each response surface model are close to one， indicating high fitting accuracy. The frequencies and vibration mode of the modified model closely match the measured values， which can accurately reflect the dynamic characteristics of the bridge. The maximum error between the calculated deflection value and the measured value of the modified model is less than 7.98%， which meets the requirements of the engineering accuracy， and it can realistically reflect the working state of the large-span cable-stayed bridge. The study proves the applicability and feasibility of the response surface model correction method based on the measured frequencies and vibration modes for large-span cable-stayed bridges， which can provide a reference for the model correction of similar bridges in practical engineering.

Keywords：bridge and culvert engineering; long-span cable-stayed bridge; power parameters; response surface method; finite element model modification; static load test

在對橋梁結(jié)構(gòu)尤其是大型復(fù)雜橋梁結(jié)構(gòu)進行力學(xué)分析以及狀態(tài)評定時，通常需要以設(shè)計圖紙為依據(jù)，建立出可以真實反映橋梁結(jié)構(gòu)特性的基準有限元模型[1]。但實際在役橋梁的物理參數(shù)具有隨機、離散等特點，而建立有限元模型時的參數(shù)較為理想化，與實際橋梁結(jié)構(gòu)相差較大。同時，在建模過程中，邊界條件、材料屬性等也進行了簡化和不合實際的假設(shè)，不能真實反映其力學(xué)特性[2-3]。利用有限元模型修正技術(shù)，對初始理論有限元模型的彈性模量、密度等參數(shù)進行修正，可以減小誤差，使模型更接近于實際情況。既確保了參數(shù)自身的精度，又可以使修正后的有限元模型的計算結(jié)果與測試結(jié)果趨于一致[4]。

對于橋梁結(jié)構(gòu)，常見的模型修正方法有靜力模型修正法[5]和動力模型修正法[6]。鄧苗毅等[7]以靜力響應(yīng)為目標，對一座兩跨連續(xù)梁橋的有限元模型進行了修正，提高了模型修正的優(yōu)化效率和修正精度。李延強等[8]以實測索力和位移為目標值，通過靜力荷載試驗，對一座獨塔斜拉橋的有限元模型進行了修正，對比修正后模型的索力與實測索力，結(jié)果吻合良好。馬印平等[9]提出一種全橋多尺度有限元模型修正技術(shù)，修正了一座鋼管混凝土組合桁梁橋的撓度和應(yīng)力，修正后的參數(shù)變化情況與實際工程情況相吻合。靜力模型修正法具有測量精度高、抗干擾能力強和適應(yīng)性好等優(yōu)點，但需要進行多因素影響的荷載試驗，加載模式單一、測試數(shù)據(jù)量較少、需中斷交通等，所以測試過程比較困難。

動力模型修正法以反映橋梁結(jié)構(gòu)特性的模態(tài)參數(shù)作為特征參數(shù)[10]，不依賴于任何荷載形式，可采用環(huán)境激勵法進行測試，且不影響車輛的行駛。已有研究表明，該方法更適合檢測實際的橋梁結(jié)構(gòu)。韓建平等[11]在現(xiàn)場動力測試的基礎(chǔ)上，對一座剛構(gòu)-連續(xù)組合梁橋進行了模型修正，該結(jié)果可精確地反映橋梁結(jié)構(gòu)的動態(tài)性能。BELL等[12]和 SCHLUNE等[13]提出了同時使用靜、動力無損檢測數(shù)據(jù)的參數(shù)估計方法以及誤差函數(shù)歸一化技術(shù)，用來修正橋面板模型的剛度和質(zhì)量。姚昌榮等[14]對大跨橋梁初始模型計算參數(shù)進行了修正，修正后的模型使橋梁結(jié)構(gòu)的計算分析更加切合實際。張文武等[15]聯(lián)合單輛重車實測位移和頻率對某裝配式鋼筋混凝土簡支梁橋進行模型修正，得到精準的有限元修正模型。王曉光等[16]以斜拉橋為例，采用穩(wěn)健估計法，進行基于振動頻率的響應(yīng)面模型修正，最大限度地保證了修正結(jié)果的穩(wěn)定性。

通過上述研究可知，大多數(shù)動力模型修正方法僅采用頻率作為響應(yīng)特征值，對于振型的研究少之又少；而模態(tài)參數(shù)中振型響應(yīng)對模型的影響頗為重要，僅采用頻率進行修正有一定的局限性。因此，本文以一座大跨度斜拉橋為研究對象，建立初始有限元模型，以橋梁實測頻率和振型作為狀態(tài)變量，基于響應(yīng)面方法對該有限元模型進行動力模型修正，對比修正后的撓度與實測撓度，以驗證該模型修正后的準確性。

1 工程實例

1.1 工程概況

緯六路斜拉橋（以下簡稱斜拉橋）位于濟南市天橋區(qū)，是一座雙塔雙斜索面五跨連續(xù)的預(yù)應(yīng)力混凝土斜拉橋，采用墩塔固結(jié)，全漂浮體系。該橋全長為704 m，寬為30 m，跨徑為（42+120+380+120+42）m，主跨380 m，邊跨設(shè)輔助墩，橋梁整體外觀如圖1所示。

該橋主梁截面采用帶懸臂的雙邊主梁斷面形式，懸臂端至梁底高2.10 m，懸臂長為1.75 m，在橋塔處主梁去掉懸臂，橋?qū)挏p為26.38 m，橋面板厚度為0.3 m；邊跨內(nèi)每 4.4 m 設(shè)置一道橫隔梁，其余區(qū)段每7.5 m 設(shè)置一道橫隔梁。該橋橋塔為A 字形，采用單箱雙室斷面，塔高124.8 m，斜拉索在邊

跨主梁上的錨固間距為4.4 m，其余區(qū)段主梁上錨固間距為7.5 m，橋塔中心線兩側(cè)各15.5 m處補設(shè)第1對拉索，全橋共計196根斜拉索。該橋橫斷面、立面結(jié)構(gòu)如圖2所示。

1.2 有限元模型

依據(jù)斜拉橋竣工圖紙建立橋梁有限元模型：主梁、橋塔和橫隔梁均采用BEAM4單元模擬；斜拉索采用LINK8單元模擬；橋面板則采用SHELL63單元模擬，單元長度為0.5 m；瀝青鋪裝，人行道、非機動車道欄桿等采用質(zhì)量單元MASS21附加到橋面節(jié)點上。約束順橋向及橫橋向自由度，建立的斜拉橋有限元模型如圖3所示。

1.3 現(xiàn)場模態(tài)測試

模態(tài)試驗基于環(huán)境激勵，在不中斷交通的情況下進行。在斜拉橋左右兩側(cè)各布置37個豎向測點，全橋共設(shè)置74個測點，每側(cè)設(shè)置2個參考點，采集74個測點的速度時程數(shù)據(jù)，測點布置見圖4。

現(xiàn)場測試時采樣頻率設(shè)置為50 Hz，采用SSI，EFDD等模態(tài)參數(shù)識別方法對采集到的速度時程數(shù)據(jù)進行模態(tài)識別。通過對比2種方法，識別得到的結(jié)果均一致。

為了便于實際橋梁進行剛度等狀態(tài)評估，需建立合理的有限元模型；以豎向前4階實測頻率及振型為狀態(tài)變量，對初始有限元模型進行動力模型修正。豎向前4階有限元理論頻率及實測頻率對比如表1所示，實測振型的MAC值如表2所示。

2 斜拉橋模型修正

2.1 待修正參數(shù)選取

為了提高優(yōu)化修正的效率，需要選擇出合理的待修正參數(shù)。大量研究數(shù)據(jù)表明，斜拉橋的主梁、橋塔、橋面板和斜拉索都會影響到斜拉橋的振動頻率和振型，由此，選用主梁彈性模量Eg（A）、密度ρg（B），橋塔彈性模量Et（C），斜拉索彈性模量Es（D）和板彈性模量Eb（E）、密度ρb（F）等6個變量作為待修正參數(shù)；根據(jù)工程經(jīng)驗結(jié)合相關(guān)文獻[16-17]，使待修正值上下變化幅度為30%，待修正參數(shù)及取值范圍如表3所示。

2.2 試驗設(shè)計及顯著性分析

方差分析作為數(shù)理統(tǒng)計中的一種基礎(chǔ)分析方法，通過檢驗多個總體的均值是否相等來判斷分類型自變量對數(shù)值型因變量是否有顯著性影響[11]。

F檢驗是把總變差分解為回歸平方和SSA與殘差平方和SSe，然后分別除以各自自由度得到均方回歸和均方殘差，求出F值[18]。應(yīng)用F檢驗法進行顯著性分析，分辨出高度顯著或顯著水平的參數(shù)。對有限元模型的設(shè)計參數(shù)A進行檢驗的統(tǒng)計量為

FA=SSA/fASSe/fe～F（fA，fe），（1）

式中：fA和fe分別為參數(shù)A和偏差的自由度。

進行方差分析時，F(xiàn)檢驗法的通用規(guī)則為當F≥F1－0.01（fA，fe），則稱因素的影響高度顯著；F1－0.01（fA，fe）gt;F≥F1－0.05（fA，fe），則稱因素的影響顯著；F1－0.05（fA，fe）gt;F≥F1－0.1（fA，fe），則稱因素有一定的影響；Flt;F1－0.1（fA，fe），則稱因素無顯著性影響，即每個因素的作用效應(yīng)為0。

以識別的豎向前4階頻率和振型作為響應(yīng)特征值，選取的A，B，C，D，E和F作為試驗設(shè)計參數(shù)，進行中心復(fù)合試驗設(shè)計。

采用F檢驗法對樣本數(shù)據(jù)進行顯著性分析，在設(shè)計空間內(nèi)進行參數(shù)篩選，通過P值判斷參數(shù)和參數(shù)組合的顯著性。當P∈[0，0.01]時，該參數(shù)影響高度顯著；當P∈（0.01，0.05]時，該參數(shù)影響顯著；當P∈（0.05，1]時，該參數(shù)影響不顯著；以P值確定多項式擬合中涉及到的變量與變量組合。

表4為豎向前4階頻率和振型的P值統(tǒng)計結(jié)果，以此進行顯著性分析。

由表4可知，參數(shù)A，C對豎向前4階頻率及振型的影響高度顯著；參數(shù)B，F(xiàn)對前4階頻率及前3階振型的影響高度顯著，對第4階振型的影響顯著；參數(shù)D對豎向第2階振型的影響不顯著，其余均高度顯著；參數(shù)E對前3階頻率及第1階振型的影響高度顯著，對第3、第4階振型的影響顯著，對第4階頻率及第2階振型的影響不顯著。

二次項A2對第4階頻率影響不顯著；B2對第4階頻率影響顯著，對前4階振型影響不顯著；C2對第2階振型影響不顯著；D2對第3階振型影響不顯著；E2對第1、第3、第4階振型影響不顯著；F2對第4階頻率及前4階振型影響不顯著。

交互項AC對第2、第3階振型影響高度顯著，對第1、第4階振型影響顯著；AD對前3階頻率及第1、第3階振型的影響高度顯著，對第2、第4階振型影響顯著；AF對第1、第2階頻率影響顯著；BD對第3、第4階頻率影響顯著；CD對前4階頻率及第1、第3、第4階振型的影響高度顯著；BF，DF對前3階頻率影響高度顯著。

綜上可得，交互項在前4階頻率與振型中起到了至關(guān)重要的作用，不可忽略。

2.3 響應(yīng)面擬合

響應(yīng)面分析是一種最優(yōu)化方法，它是通過設(shè)計合理的試驗次數(shù)，得到試驗的實際數(shù)據(jù)，將體系的響應(yīng)作為一個或多個因素的函數(shù)，建立一個包含各顯著因素的一次項、平方項以及任意2個因素之間交互項的數(shù)學(xué)模型，精確研究各因素與響應(yīng)值之間的關(guān)系，擬合出多元二次回歸方程，該方程能夠通過坐標圖的方式表現(xiàn)出來，以此來預(yù)測不同條件對響應(yīng)值的影響，從而選擇試驗設(shè)計中的最優(yōu)條件[19-20]。

考慮到結(jié)構(gòu)有限元模型修正的特性，本文采用二次多項式建立響應(yīng)面模型；建立完響應(yīng)面模型，需要檢驗?zāi)Ｐ偷木龋饕捎肦2參數(shù)，計算見式（2）：

R2=1－∑Nj=1yRS（j）－y（j）2∑Nj=1y（j）－y2，（2）

式中：N為試驗設(shè)計的響應(yīng)值數(shù)量；yRS表示響應(yīng)面模型的計算數(shù)值；y表示在有限元中得到的數(shù)值；y表示在有限元中得到的數(shù)值平均值;

R2為檢驗的一種相關(guān)系數(shù)，取值范圍為0～1。R2值越接近于1，說明擬合的響應(yīng)面模型精度越高；R2值越接近于0，則表示試驗誤差較大，應(yīng)重新進行試驗設(shè)計[21]。

通過中心復(fù)合試驗設(shè)計和顯著性分析，得到的樣本點，選取顯著性較高的參數(shù)，應(yīng)用回歸分析方法，按照考慮交互項影響的響應(yīng)面模型對樣本數(shù)據(jù)進行響應(yīng)面擬合。

對擬合后的響應(yīng)面模型計算其參數(shù)范圍內(nèi)的R2值，進行精度檢驗；各階頻率及振型響應(yīng)R2值如表5所示。

由表5可以看出，各響應(yīng)面模型的R2值均趨近于1，說明在參數(shù)范圍內(nèi)，各響應(yīng)面模型的試驗誤差較小，均具有較高的擬合精度，能很好地反映原有模型的特性，因此，可以采用擬合的響應(yīng)面模型代替初始有限元模型進行修正。豎向前4階振動響應(yīng)面模型如圖5所示。

2.4 模型修正

根據(jù)式（2）計算的響應(yīng)面模型，在響應(yīng)面內(nèi)采用優(yōu)化方法對初始有限元模型的試驗設(shè)計參數(shù)進行了修正，參數(shù)的修正值及變化率如表6所示。

由表6可知，橋面板密度減小，主梁密度出現(xiàn)輕微增大現(xiàn)象；主梁、橋面板、橋塔及斜拉索的彈性模量均大幅度增大，且主梁彈性模量幾乎達到修正上限。將修正參數(shù)替換到初始有限元模型中重新加載計算，分析主梁前4階頻率實測值、頻率修正值的相對誤差以及模型修正前后的MAC值，結(jié)果如表7、表8所示。

由表7、表8可知：基于頻率和振型對初始模型修正后，頻率實測值與頻率修正值的相對誤差最大為9.18%，最小為0.28%；每一階振型的MAC值都更加趨近于1；模型修正后頻率和振型的誤差均明顯減小，修正值與實測值非常接近。結(jié)果表明，基于響應(yīng)面的動力模型修正能夠有效提高模型精度，修正后的模型能夠準確反映結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能。

3 修正后模型響應(yīng)值驗證

設(shè)計斜拉橋的靜載試驗，對比分析修正后有限元模型的靜力撓度與中載工況下各測點的實測撓度，驗證修正后的有限元模型能否進行橋梁的剛度評估。

根據(jù)斜拉橋主橋現(xiàn)場實際情況，依據(jù)規(guī)范設(shè)計中載試驗工況，A1—A3為靜載試驗撓度布置測點，截面測點布置如圖6所示。本次試驗共使用20輛28.14～31.66 t的三軸車進行一次性加載，加載示意圖如圖7所示。

根據(jù)車輛軸重，將車輛荷載等效為集中力分配到修正后的斜拉橋有限元模型節(jié)點上，計算相應(yīng)實測點的理論靜力撓度；模型修正前后撓度值及誤差對比如表9所示，模型修正前后撓度比較如圖8所示。

由表9、圖8可知，模型修正后各測點的撓度值均顯著減小，與實測值的最小誤差為3.95%，最大誤差不超過7.98%，滿足工程精度要求，能夠以修正的有限元模型進行橋梁剛度的評估?；趯崪y頻率與振型響應(yīng)面法有效實現(xiàn)了對大跨斜拉橋的有限元模型修正。

4 結(jié) 語

本文以一座大跨度斜拉橋為研究對象，建立初始有限元模型，并對橋梁頻率及振型的實測值和理論值進行識別，基于響應(yīng)面模型對該有限元模型進行動力模型修正，計算模型修正后的撓度，與實測撓度進行對比，驗證了響應(yīng)面模型修正的準確性，解決了傳統(tǒng)承載力評定方法耗時長、成本高等問題。主要研究結(jié)論如下。

1）計算所得各響應(yīng)面模型的R2值都接近于1，響應(yīng)面模型的擬合精度高，試驗誤差較小，擬合的響應(yīng)面模型能夠代替初始有限元模型進行修正。

2）基于頻率和振型對初始模型進行修正后，頻率實測值與修正值相對誤差最大為9.18%，最小為0.28%；振型的MAC值每一階都更加趨近于1。表明基于響應(yīng)面的動力模型修正可以有效提高模型精度，修正后的模型能夠準確反映結(jié)構(gòu)的動力特性。

3）修正后模型各測點的撓度計算值與實測值最大誤差不超過7.98%，滿足工程精度的要求，對于斜拉橋主梁剛度的評估具有一定的工程可行性。

基于實測頻率與振型的響應(yīng)面模型可有效實現(xiàn)對大跨斜拉橋的有限元模型修正。但在試驗工程中，在對斜拉橋進行模態(tài)測試過程時，布置了大量傳感器，導(dǎo)致采集數(shù)據(jù)量大、處理過程復(fù)雜，因此，在后續(xù)研究時應(yīng)進一步減少傳感器的布置數(shù)量，使試驗過程更加方便快捷。

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