董 曦

(湖南省交通運(yùn)輸廳規(guī)劃與項(xiàng)目辦公室，湖南 長(zhǎng)沙 410029)

0 引言

斜拉橋因其造型美觀、跨越能力大以及梁體截面尺寸小等特點(diǎn)，近些年來得到了廣泛的應(yīng)用[1-2]。由于斜拉橋往往是區(qū)域交通網(wǎng)絡(luò)中的控制性工程，是地區(qū)經(jīng)濟(jì)社會(huì)的生命線，一旦發(fā)生事故，對(duì)人民生命安全和地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展均影響巨大。因此，為確保斜拉橋的安全運(yùn)營(yíng)，對(duì)其可靠度進(jìn)行研究具有十分重要的意義。

目前，國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究人員對(duì)斜拉橋的可靠度進(jìn)行了眾多研究[3-4]。王濤等[5]采用有限元軟件建立了某大跨度鐵路斜拉橋的有限元模型，基于損傷理論，采用蒙特卡洛法對(duì)該橋在風(fēng)以及列車動(dòng)力作用下的可靠度進(jìn)行了分析；魯乃唯等[6]根據(jù)斜拉橋的結(jié)構(gòu)失效特點(diǎn)建立相應(yīng)模型，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和聯(lián)合智能算法對(duì)某斜拉橋的體系可靠度進(jìn)行了分析，并探討了相關(guān)參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)體系可靠度的影響；劉劍等[7]采用ANSYS建立了某斜拉橋的有限元模型，采用綜合分析法對(duì)該大跨度斜拉橋的可靠度進(jìn)行了分析。然而，上述方法有一定的運(yùn)用環(huán)境和限制條件，其中采用蒙特卡洛法需要抽取大量的樣本，才能滿足精度要求，運(yùn)算量較大，耗時(shí)久；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法在泛化時(shí)，易出現(xiàn)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行過擬合的現(xiàn)象，從而影響可靠度計(jì)算。

基于此，本文闡述了支持向量機(jī)的基本原理，提出了基于支持向量機(jī)的橋梁結(jié)構(gòu)可靠度分析方法。以國(guó)內(nèi)某斜拉橋?yàn)楣こ虒?shí)例，建立了該橋斜拉索應(yīng)力極限狀態(tài)方程以及主塔應(yīng)力極限狀態(tài)方程，通過基于支持向量機(jī)的橋梁可靠度計(jì)算方法，得到了斜拉索的應(yīng)力可靠度以及主塔應(yīng)力可靠度。

1 基本理論

1.1 支持向量機(jī)基本原理

支持向量機(jī)(SVM)是一種基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)原理的機(jī)器學(xué)習(xí)算法，其基本原理為超平面上的樣本數(shù)據(jù)線性分類器，可用于處理數(shù)據(jù)的擬合和預(yù)測(cè)，且支持向量機(jī)可以根據(jù)數(shù)據(jù)樣本針對(duì)性地改進(jìn)核函數(shù)參數(shù)的選擇，對(duì)于不同類型的數(shù)據(jù)均有較好的學(xué)習(xí)性和適應(yīng)性，對(duì)于結(jié)構(gòu)近似功能函數(shù)的擬合具有天然的優(yōu)勢(shì)[8]。

SVM算法可根據(jù)線性可分的假定進(jìn)行相應(yīng)的推導(dǎo)，本文通過二維線性回歸對(duì)其基本原理進(jìn)行相應(yīng)闡述，其中回歸是指將已得到的樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)與響應(yīng)值進(jìn)行擬合，再根據(jù)擬合得到的擬合函數(shù)預(yù)測(cè)位置樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)的響應(yīng)值，二維線性分類如圖1所示，其中矩形點(diǎn)和三角形點(diǎn)分別表示兩類不同的訓(xùn)練樣本，H為將兩類訓(xùn)練樣本分隔開來的分類線，H1、H2分別為距離分類線最近并且通過各自訓(xùn)練樣本點(diǎn)的線，同時(shí)該線平行于分類線H，h為H1與H2之間的距離，稱為分類間隔。當(dāng)分類間隔最大并且使兩類訓(xùn)練樣本誤差率為0的分類線H稱為最優(yōu)分類線，若將其擴(kuò)展至三維空間，最優(yōu)分類線即可稱為最優(yōu)超平面。

圖1 二維線性分類示意

假設(shè)存在兩類線性可分的訓(xùn)練樣本{(x1，y1)，(x2，y2)，……，(xn，yn)}，其中xn∈Rn，xn∈(-1，1)，定義其判別函數(shù)如式(1)所示：

y(x)=αx+b

(1)

那么，分類面方程可表示為：

αx+b=0

(2)

將訓(xùn)練樣本進(jìn)行歸一化處理，使兩類訓(xùn)練樣本均滿足|y(x)|≥1,即:

yi(αxi+b)≥1,i=1,2,…,n

(3)

通過式(3)即可將兩類訓(xùn)練樣本正確分隔開，此時(shí)分隔間隔h=2/α。為得到最優(yōu)超平面，分裂間隔h應(yīng)盡可能大，即α2應(yīng)取最小值。因此，可將上述問題轉(zhuǎn)化為約束優(yōu)化問題，如式(4)所示：

(4)

式中：minα2表示目標(biāo)函數(shù)，yi(αxi+b)≥1表示分類超平面。若H為最優(yōu)超平面，那么處于分H1、H2上的訓(xùn)練樣本即為支持向量。

引入拉格朗日函數(shù)可將其轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃尋優(yōu)的對(duì)偶問題，其中定義拉格朗日函數(shù)如式(5)所示：

(5)

式中：vi表示拉格朗日乘子，通常情況下vi=0，但若訓(xùn)練樣本為支持向量時(shí)vi≠0。

令上式對(duì)α、b、v的偏微分為0，則可求得拉格朗日函數(shù)的最小值。根據(jù)二次規(guī)劃尋優(yōu)的對(duì)偶問題可得：

(6)

對(duì)于式(6)，可將其視為函數(shù)求極值問題，通過計(jì)算推導(dǎo)可得其最優(yōu)分類函數(shù)：

(7)

上述為線性可分情形下采用支持向量機(jī)的求解方法，然而在實(shí)際應(yīng)用中非線性可分的情形居多。對(duì)于非線性可分的情形，可在線性可分的基礎(chǔ)上引入松弛系數(shù)ξ求解[9]，即將式(4)轉(zhuǎn)化為式(8)：

(8)

式中：c表示懲罰因子，主要用于減小計(jì)算過程中的誤差；松弛系數(shù)ξi≥0。

1.2 樣本的選取

采用支持向量機(jī)法對(duì)功能函數(shù)進(jìn)行模擬時(shí)，通常需要一定數(shù)量的訓(xùn)練樣本，本文利用拉丁超立方抽樣的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行抽樣，該方法的優(yōu)點(diǎn)是其具有記憶功能，以使抽樣得到的訓(xùn)練樣本覆蓋較大的范圍，從而使樣本點(diǎn)分布均勻，避免樣本點(diǎn)出現(xiàn)局部集中的情況[10]。對(duì)于本文選用的斜拉橋，取訓(xùn)練樣本區(qū)間為[μ-3δ，μ+3δ]，其中，μ表示隨機(jī)變量的均值，δ表示隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，此區(qū)間已包含絕大部分樣本點(diǎn)。

2 可靠度分析方法

橋梁的可靠度是指橋梁結(jié)構(gòu)在規(guī)定的條件下、規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成預(yù)定功能的能力[11]。在實(shí)際工程中，可靠度通常用于預(yù)測(cè)和評(píng)估結(jié)構(gòu)的性能，通?？刹捎霉δ芎瘮?shù)來表示結(jié)構(gòu)的具體狀態(tài)，如式(9)所示：

Z=g(R,S)=R-S

(9)

式中：R表示結(jié)構(gòu)抗力；S表示荷載效應(yīng)。

影響結(jié)構(gòu)可靠度大小的因素有很多，例如材料性能、荷載分布情況以及服役環(huán)境等，考慮到影響結(jié)構(gòu)可靠度因素的不確定性，可將功能函數(shù)式(9)改寫為：

Z=g(X)=g(X1,X2,…,Xm)

(10)

式中：X1，X2，…，Xm表示影響結(jié)構(gòu)可靠度的隨機(jī)變量。

橋梁結(jié)構(gòu)的可靠性概率可以通過式(11)計(jì)算得到：

Pr=P(Z>0)=

(11)

通過式(11)直接計(jì)算得到結(jié)構(gòu)的可靠性概率十分困難，因此，在計(jì)算分析中，通常使用結(jié)構(gòu)的可靠度指標(biāo)β來代替可靠性概率Pr，它表示結(jié)構(gòu)安全性的度量，可靠度指標(biāo)β的計(jì)算表達(dá)式如(12)所示：

(12)

式中：μz、σz分別為功能函數(shù)Z的均值和方差，假定功能函數(shù)Z服從正態(tài)分布。

對(duì)式(12)進(jìn)一步細(xì)化可得：

(13)

3 算例分析

3.1 工程概況

本文選取國(guó)內(nèi)某斜拉橋?yàn)楣こ虒?shí)例，橋梁全長(zhǎng)為640 m，跨徑組合為(50+95+350+95+50)m，主梁采用預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁，C55混凝土；主塔為獨(dú)柱式橋塔，采用C50混凝土；斜拉索采用聚乙烯高強(qiáng)鋼絲拉索。該斜拉橋總體布置如圖2所示。

圖2 算例斜拉橋總體布置(單位：m)

3.2 有限元模型建立

本文采用有限元軟件ANSYS對(duì)該斜拉橋進(jìn)行建模，其中主梁采用BEAM44單元進(jìn)行模擬，橋塔采用BEAM188單元進(jìn)行模擬，采用LINK10單元對(duì)斜拉索進(jìn)行模擬，其垂度效應(yīng)采用ERNST公式進(jìn)行計(jì)算，橋面板采用SHELL63單元進(jìn)行模擬。

3.3 隨機(jī)變量的選取

橋梁結(jié)構(gòu)實(shí)際建設(shè)是一個(gè)理論與實(shí)際相融合的過程，相關(guān)設(shè)計(jì)人員提供的構(gòu)件幾何尺寸、材料特性等均是在理想條件下設(shè)計(jì)的。然而，在橋梁的施工過程中，由于施工工藝以及施工技術(shù)人員施工水平的差異會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)實(shí)際所處的狀況與理想設(shè)計(jì)時(shí)的狀態(tài)有所差異。因此，為了定量分析上述差異對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的影響，首先需要選取影響斜拉橋可靠度的隨機(jī)變量。斜拉橋結(jié)構(gòu)復(fù)雜，影響因素較多，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，本文算例斜拉橋考慮的隨機(jī)變量主要包括：主梁、主塔以及斜拉索的彈性模量和容重、二期恒載、汽車荷載等。參考相關(guān)文獻(xiàn)[12]以及相關(guān)規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)[13-14]，本文選取的隨機(jī)變量取值如表1所示。

表1 隨機(jī)變量相關(guān)參數(shù)取值隨機(jī)變量主梁彈性模量/GPa主塔彈性模量/GPa斜拉索彈性模量/GPa主梁容重/(kN·m-3)主塔容重/(kN·m-3)斜拉索容重/(kN·m-3)汽車荷載/(kN·m-1)二期荷載/(kN·m-1)分布類型正態(tài)分布正態(tài)分布正態(tài)分布正態(tài)分布正態(tài)分布正態(tài)分布極值I型分布正態(tài)分布均值35.534.5204262578.532.96112.28變異系數(shù)0.10.10.10.10.10.10.120.08

3.4 建立功能函數(shù)

3.4.1斜拉索應(yīng)力失效模式的功能函數(shù)建立

由相關(guān)規(guī)范[14]可知，在正常運(yùn)營(yíng)狀態(tài)下，斜拉索應(yīng)力的應(yīng)滿足式(13)：

[σ]≤fyk

(13)

式中：[σ]表示斜拉索容許預(yù)應(yīng)力；fyk表示斜拉索屈服強(qiáng)度。

由此可建立斜拉索應(yīng)力失效的功能函數(shù)，如式(14)所示：

Z1=[σ]-σ(E1,E2,E3,γ1,γ2,γ3,q1,q2)

(14)

式中：E1、E2、E3分別為斜拉橋主梁、主塔以及斜拉索的彈性模量；γ1、γ2、γ3分別為斜拉橋主梁、主塔以及斜拉索的容重；q1、q2分別為汽車荷載和二期荷載。

3.4.2主塔應(yīng)力失效模式的功能函數(shù)建立

算例斜拉橋?yàn)槌o定結(jié)構(gòu)，其主塔為最主要的偏心受壓構(gòu)件，承擔(dān)著由主梁傳遞過來的恒載以及活載作用。由于主塔采用的是C50混凝土，故其軸心抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值[σ]=23.1 MPa，從而可得到主塔應(yīng)力失效模式的功能函數(shù)為：

Z2=[σ]-σ(E1,E2,E3,γ1,γ2,γ3,q1,q2)

(15)

3.5 可靠度計(jì)算

3.5.1斜拉索應(yīng)力可靠度計(jì)算

采用拉丁超立方抽樣的方法選取200組數(shù)據(jù)，其中20組為測(cè)試樣本，其余為訓(xùn)練樣本，各隨機(jī)變量取值范圍為[μ-3δ，μ+3δ]，通過內(nèi)插法對(duì)各隨機(jī)變量進(jìn)行相應(yīng)計(jì)算可得訓(xùn)練樣本。然后，對(duì)訓(xùn)練樣本進(jìn)行歸一化處理，在通過支持向量機(jī)對(duì)其進(jìn)行學(xué)習(xí)并擬合功能函數(shù)，并從中選擇最優(yōu)結(jié)果。最后，根據(jù)式(12)可計(jì)算得到斜拉索的應(yīng)力可靠度，如圖3所示。由于算例斜拉橋?yàn)閷?duì)稱結(jié)構(gòu)，故圖3中僅列出了半結(jié)構(gòu)的斜拉索應(yīng)力可靠度，其中邊墩到索塔的斜拉索編號(hào)依次為1#～14#，索塔至跨中的斜拉索編號(hào)以此為15#～28#。

圖3 各斜拉索可靠度

從圖3中可以看出，斜拉索可靠度指標(biāo)整體上符合越靠近主塔，可靠度指標(biāo)越大的規(guī)律，其中可靠度指標(biāo)最大的斜拉索為15#，最大值達(dá)到了7.30；可靠度指標(biāo)最小的斜拉索為邊跨最外邊拉索，即1#斜拉索，其值為4.21。根據(jù)設(shè)計(jì)可知，該橋斜拉索規(guī)格并不完全一致，共有6種規(guī)格，由于離主塔較遠(yuǎn)的斜拉索可靠度較小，因此，在斜拉索設(shè)計(jì)過程中，可通過調(diào)整斜拉索的規(guī)格以使全橋各斜拉索的可靠度分布均勻，從而提高斜拉索的體系可靠度。

3.5.2主塔應(yīng)力可靠度計(jì)算

該橋主塔應(yīng)力可靠度的計(jì)算與3.4.1節(jié)類似，故不再贅述。為了分析該斜拉橋主塔各個(gè)位置可靠度指標(biāo)的變化規(guī)律，將3#主塔分為24個(gè)單元，從3#主塔底部至頂部依次進(jìn)行編號(hào)為1#～24#，其中，5#單元為主塔與主梁相接位置的上部，4#單元為主塔與主梁相接位置的下部，主塔各單元的可靠度如圖4所示。

圖4 斜拉橋主塔各單元的可靠指標(biāo)

從圖4中可以看出，5#單元的可靠度最小，為4.56，表明其所處位置(即主塔與主梁相接位置上部)的主塔壓應(yīng)力最大；主塔與主梁相接位置的下部各單元的可靠度均較大，其中最大值達(dá)到了7.50；而主塔與主梁相接位置上部的可靠度度呈現(xiàn)遞增趨勢(shì)，即距離主塔與主梁相接位置越遠(yuǎn)，其單元可靠度越大，其中24#單元的可靠度達(dá)到了7.05，主塔底部與頂部位置的可靠度均較大。

4 結(jié)論

本文闡述了支持向量機(jī)的基本原理，基于可靠度理論，得到了基于支持向量機(jī)的橋梁可靠度分析方法。以國(guó)內(nèi)某斜拉橋?yàn)楣こ虒?shí)例，建立了該橋斜拉索應(yīng)力極限狀態(tài)方程以及主塔應(yīng)力極限狀態(tài)方程，通過基于支持向量機(jī)的橋梁可靠度計(jì)算方法，得到了斜拉索的應(yīng)力可靠度以及主塔應(yīng)力可靠度及以下結(jié)論：

1)越靠近斜拉橋的主塔，斜拉索的應(yīng)力可靠度越大，其中最大值達(dá)到了7.30，最小值為4.21。在實(shí)際工程中，可通過調(diào)整斜拉索的規(guī)格使全橋各斜拉索的可靠度分布均勻，從而提高斜拉索的體系可靠度。

2)主塔與主梁相接位置上部的可靠度呈現(xiàn)遞增趨勢(shì)，距離主塔與主梁相接位置越遠(yuǎn)，主塔單元的可靠度越大。

3)主塔應(yīng)力可靠度最小值出現(xiàn)在主塔與主梁相接位置上部第1個(gè)單元，表明此處主塔壓應(yīng)力最大，主塔與主梁相接位置下部各單元的可靠度均較大。