采用m函數(shù)定義Sturm Liouville問題的廣義特征多項式

摘要：分析SturmLiouville問題的m函數(shù)對譜參數(shù)與端點的導(dǎo)數(shù)，以此推出譜參數(shù)分段單調(diào)性。通過m函數(shù)定義SturmLiouville問題廣義特征多項式，從而得出SturmLiouville問題譜對參數(shù)、邊界的導(dǎo)數(shù)簡短證明。

關(guān)鍵詞：m函數(shù)；SturmLiouville問題；廣義特征多項式

充分考慮SturmLiouville方程，在1910年H.Weyl將SturmLiouville方程劃分為極限圓型與極限點型，極限圓型值指的是任意λ∈C/R，SturmLiouville方程所有解都為平方可積；極限點型指的是對于任意λ∈C/R，方程有且只有一個解為平方可積。有研究人員在此基礎(chǔ)上設(shè)置了有效處理工具，也就是TitchmarshWeylm（λ）理論，利用m（λ）函數(shù)性質(zhì)對奇異SturmLiouville問題譜問題進行討論，對于m（λ）函數(shù)具有重大研究意義。

在t=0點附加邊值條件：

y（0）sina-y’（0）cosa=0

-π/2<a≤π/2

以此構(gòu)成SturmLiouville邊值問題，分析不同函數(shù)中的m（λ）函數(shù)比較定理。公式分別為Pro（q）和（1）q，以下給出結(jié)論：

充分考慮a=π/2時候的兩個奇異邊值問題Pro=（q1），Pro（q2），為右定且為極限點型，并且使所對應(yīng)m（λ）函數(shù)作為m1（λ）與m2（λ）。-∞<λ0<λ1<…<λn<…為m1（λ）的極點；另外，-∞<u0<u1<…<un<…為m2（λ）的極點。

如果q1（t）≤q2（t），a.e.t∈（a，∞）

其次，（λk-1，λk）⌒（uk-1，uk）=（ξk-1，ξk）≠￠的時候，在k=0的時候，λ-1，u-1，ξ-1指的是-∞，那么（ξk-1，ξk）為必有的：

m1（λ）≥m2（λ）

1有限譜問題分析

微分算子指的是線性算子中使用比較廣泛的算法，也就是描述固體熱傳導(dǎo)問題的數(shù)學(xué)模型從而產(chǎn)生的SturmLiouville問題研究，因為實際使用背景，促進了微分算子譜理論的發(fā)展。經(jīng)典SturmLiouville問題被廣泛使用，研究領(lǐng)域從正則問題轉(zhuǎn)變到奇異問題。一般來說，經(jīng)典SturmLiouville問題或者高階微分方程解和解的擬導(dǎo)數(shù)在定義區(qū)間中為絕對連續(xù)函數(shù)，但是此條件有很多數(shù)學(xué)物理或者工程技術(shù)領(lǐng)域中的問題無法滿足，比如內(nèi)部存在不連續(xù)性問題。此問題指的是微分方程解或者解的擬導(dǎo)數(shù)在微分算子定義區(qū)間中的發(fā)生間斷，為了解決此問題，要在不連續(xù)點處附加條件，也就是轉(zhuǎn)移條件。

簡單來說，SturmLiouville譜問題指的是通過譜數(shù)據(jù)得出算法的形式，此問題在數(shù)學(xué)、電子、物理和其他自然科學(xué)分支中使用。逆譜問題對于解決數(shù)學(xué)物理中非線性發(fā)展方程尤為重要，針對一般經(jīng)典SturmLiouville問題來說，特征值個數(shù)是無窮盡的。但是有研究人員提出，在方程中系數(shù)滿足部分條件的時候，SturmLiouville問題存在有限個特征值。此類有限譜問題研究和矩陣特征值問題具有密切的關(guān)系，矩陣特征值問題為代數(shù)理論或者矩陣?yán)碚撝饕芯糠较?，此問題被廣泛應(yīng)用到力學(xué)、光學(xué)、結(jié)構(gòu)設(shè)計等方面。另外，部分特殊矩陣問題的使用前景更加廣泛，比如Jacobi矩陣在生物學(xué)中的使用背景就是物種遷移優(yōu)化問題。針對矩陣特征值逆向問題來說，相關(guān)人員給出了逆矩陣特征值的問題起源與結(jié)論。無窮維矩陣特征值問題被廣泛應(yīng)用到生物統(tǒng)計學(xué)中，還是代數(shù)問題中的主要研究方向，包括動力系統(tǒng)紅的熵、流、穩(wěn)定性等。

以此認(rèn)為，不連續(xù)SturmLiouville問題逆譜問題就是：針對兩組交錯實數(shù)，存在一類不連續(xù)SturmLiouville問題，使得到的給定兩組實數(shù)為SturmLiouville方程在不同兩組邊界條件中的特征值，使用的方法也就是Atinson型SturmLiouville問題和矩陣特征值問題等價性。

2逆結(jié)點問題

通過物理學(xué)角度分析，逆結(jié)點問題指的是在本征擺動過程中的一束光振幅為零的位置，對此束光的密度進行確定。逆結(jié)點利用特征函數(shù)節(jié)點對算子重構(gòu)，一般特征函數(shù)零點可測，特征方程標(biāo)準(zhǔn)常數(shù)無法測量，所以可以通過結(jié)點作為數(shù)據(jù)重構(gòu)邊界條件和勢函數(shù)。

McLaughlin屬于充分考慮一維Schrodinger方程逆結(jié)點的數(shù)學(xué)家，其證明只需要特征函數(shù)節(jié)點稠密子集就能夠?qū)turmLiouville問題進行確定的勢函數(shù)，從而得出唯一性定理，對兩個SturmLiouville問題進行考慮：

y（x）+［λ-qi（x）］y（x）=0，i=1，2

邊界條件為：

y（0）=y（1）=0

此問題為勢函數(shù)qi的第n個特征函數(shù)結(jié)節(jié)點，假設(shè)對于每個n能夠?qū)ふ襧∈{1，2，…，n-1}，結(jié)節(jié)在公共集［0，1］中為稠密的，那么q1=q2，a.e.［0，1］。之后，Hald等人用同樣的方法使唯一性定理推廣到一般邊界條件中，并且創(chuàng)建重構(gòu)算法。Yang使用McLaughlin方法對唯一性結(jié)論進行證明，并且得出逆結(jié)點問題的顯式解。

在20世紀(jì)50年代后，人們發(fā)現(xiàn)在很多工程領(lǐng)域中的SturmLiouville問題譜參數(shù)會出現(xiàn)在方程和邊界條件中。針對邊界條件帶參數(shù)SturmLiouville問題是通過熱力學(xué)、波動力學(xué)等偏微分方程中利用分離變量得出的，針對具備參數(shù)多項式邊界條件SturmLiouville問題，充分考慮：

-y（x）+q（x）y（x）=λy（x），x∈［0，1］

公式中q（x）為實值連續(xù)函數(shù)，節(jié)點稠密子集可唯一確定邊界條件參數(shù)和勢函數(shù)，但是并沒有給出利用節(jié)點重構(gòu)。Freiling等人使參數(shù)邊界條件在任意實系數(shù)多項式，利用離散譜數(shù)據(jù)、Weyl函數(shù)重構(gòu)算子，并且得出重構(gòu)算法。另外，還得出帶參數(shù)邊界條件SturmLiouvlle問題特征函數(shù)漸進估計式。

以上述結(jié)論表示，假如在參數(shù)邊界條件中的整個區(qū)間節(jié)點稠密子集為唯一確定勢函數(shù)與邊界條件。因為Yang所證明的分離型邊界條件下部分區(qū)間中的結(jié)點信息對算子確定。

3m函數(shù)

假設(shè)v（x，λ）方程能夠滿足初始條件y（a）=1，y1（a）=h的解，那么通過常微分方程對于參數(shù)具備連續(xù)依賴性。定義xb處的WrylTitchmarshm函數(shù)：

m（λ；b）：=－v′（b，λ）v（b，λ）（1）

其中m（λ；b）為半純函數(shù)。

區(qū)間［a，b］為邊條件（1.2）與y（b）=0構(gòu)成的自伴SturmLiouville問題譜為{λDn|n=0，1，…}，其中λDn為實數(shù)，并且為v（b，λ）的全部零點，也就是m（λ；b）的全部極點。

對于固定b，m（λ；b）為Herglotz的函數(shù)，指的是在上半復(fù)平面的半純函數(shù)：

∫ba（v（x，λ））v-（x，λ）－v'（x，λ）v-（x，λ））'dx=∫ba（v（x，λ））v-″（x，λ）－v″（x，λ）v-（x，λ））dx

=∫ba（v-（x，λ）［－v″（x，λ）+q（x）v（x，λ）］－v（x，λ）［－v-″（x，λ）+q（x）v-（x，λ）］）dx

=（λ－λ-）∫bav（x，λ））v-（x，λ）dx=2iλ‖v‖2L2［a，b］（2）

另一方面：

∫ba（v（x，λ））v-′（x，λ）－v′（x，λ）v-（x，λ））′dx=［v（x，λ）v-（x，λ）-v′（x，λ）v-（x，λ）］ba

=v（b，λ）v-（b，λ）－v′（b，λ）v-（b，λ）

=v（b，λ）v-（b，λ）（－v′（b，λ）v（b，λ）+v′（b，λ）v（b，λ））

=|v（b，λ）|2（m（λ；b）－m（λ；b））

=2i|v（b，λ）|2m（λ；b）（3）

通過以上公式得到：

m（λ；b）λ=‖v‖2L2［a，b］|v（b，λ）|2>0

因為Herglotz函數(shù)會被極點，留數(shù)和沿虛線軸趨于無窮時漸進性唯一確定，在對逆譜問題研究過程中為主要性質(zhì)。

4主要結(jié)果

定理1：如果常數(shù)－ba∈（λDn，λDn+1），公式中的λDn與λDn+1指的是右端取Dirichlet邊條件的SL問題某相鄰特征值，記作為λD-1=—∞，那么：

λ0<λD0<λ1<λD1<…<λn-1<λDn-1<λn<λ-ba<λn+1<λDn<λn+2<…

如果常數(shù)-ba=λDn，也就是aλDn+b=0，那么：

λ0<λD0<λ1<λD1<…<λDn-1<λn<λ-ba=λn+1=λDn<λn+2<…

證明：因為函數(shù)m（λ）在區(qū)間（λDk+1，λDk）（k=0，1，…）中連續(xù)，所以F（λ）在區(qū)間（λDk+1，λDk）（k=0，1，…，n-1，n+1，…）和（λDk+1，λDk）中也連續(xù)。通過a>0得知，－1aλ+b在（-∞，-ba）和（-ba，+∞）中單調(diào)遞增：

limλ→－ba－0－1aλ+b=+

（4）

另外，F(xiàn)（λ）區(qū)間（λDk+1，λDk）（k=0，1，…，n-1，n+1，…）和（λDk+1，λDk）中單調(diào)遞增，并且：

limλ→λDn+0F（λ）=－

（5）

所以此連續(xù)函數(shù)介值定理得到F（λ）在區(qū)間（λDk+1，λDk）（k=0，1，…，n-1，n+1，…）中有且只有一個零點，通過上述方程生成SL問題特征值。

如果-ba=λDn，那么1aλDn+b=

，m（λDn）=∞，已知-ba=λDn也是SL問題特征值，得證。

定理2：在區(qū)間［a，b］中充分考慮m（λ，b）函數(shù)，也就是y（t，λ，b）=y1（t，λ）+m（λ，b）y2（t，λ）為方程滿足a點邊界條件m（λ，b）y（a）-y′（a）=0，在b點滿足邊界條件y（b）=0的解，也就是：

λn（b）對固定n相關(guān)b的嚴(yán)格單減；

在λ∈（-∞，λ0（b））的時候，y（t，λ，b）在（a，b）中設(shè)置零點，在λ∈（-∞，λ0（b））的時候，y（t，λ，b）在（a，b）中的零點為k。

證明：先證明第一個部分：通過{λn（b）}定義得到y(tǒng)2（b，λn（b））=0，并且y2（t，λ）在a點能夠滿足y（a）=0，y’（a）=1。通過Prufer變換得知，y2（t，λn（b））處于a點輻角為0，在b點輻角為（n+1）π。假設(shè)b2>b1，因為y2（t，λn（b1））=0，y2（t，λn（b2））=0，所以（b1，λn（b1））=（n+1）π。

定理3：充分考慮a=π/2奇異的邊值問題Pro（q1），假設(shè)m1（λ）的極點可排列：

-∞<λ0<λ1<…<λn

另外，u（t，λ）=θ（t，λ）+m1（λ）ψ1（t，λ）為滿足方程初始條件的唯一平方可積解，那么在λ∈（-∞，λ0）的時候，u（t，λ）在（a，∞）中沒有零點。在λ∈（λk-1，λk）的時候，u（t，λ）在（a，∞）中零點有k個。

證明：在不同邊界條件中，相同方程特征值相互交錯，關(guān)系式為：

m（λ，a）=m（λ，β）+tan（β－a）1－tan（β－a）m（λ，β）（6）

通過此公式得到β=π/2，得出：

m（λ，a）=m（λ）+cota1－cotam（λ）（7）

在-β/2<a≤β/2，a≠π/2的時候，m1（λ）=tana的λ值就是Pro（q1）特征值。在a=π/2的時候，m1（λ）函數(shù)處于（-∞，λ0）還是從-∞遞增得到的。對任意所取的常數(shù)T，-∞<T<∞，在m1（λ）函數(shù)每個區(qū)間都有1個λ，m1（λ）=T。推出λk（0≤k≤n）為特征值，存在k個零點，之后通過T任意性得證。

定理3：對于固定h和實數(shù)a>0與b，{λn}+∞n=0與{λDn}+∞n=0為唯一確定q（x）

證明：通過定理1證明，得證。

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作者簡介：陸騫（1987—），男，漢族，江蘇無錫人，本科，講師，研究方向：高等數(shù)學(xué)、高職數(shù)學(xué)教育。