一道高中數(shù)學(xué)小題的算法分析

馬建

【摘? 要】? 本文通過(guò)一道數(shù)值估算小題，用常用算法、改進(jìn)算法、巨難算法、最優(yōu)算法來(lái)進(jìn)行分析比較，對(duì)于估值計(jì)算，大多情況下學(xué)生解題時(shí)都要使用到題目中所給出的參考數(shù)據(jù).如果出現(xiàn)其他的數(shù)據(jù)，再尋找關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換.類似的問(wèn)題選擇合適的算法，提高運(yùn)算的速度和解題的正確率，在高考中從容面對(duì)各種運(yùn)算問(wèn)題，才能順利解答相關(guān)問(wèn)題，完美體現(xiàn)出數(shù)學(xué)算法表征．本文又舉例一道高考題，學(xué)生當(dāng)年高考的時(shí)候也算不出來(lái)，分析主要原因在于沒(méi)有認(rèn)真審題，所以，數(shù)學(xué)運(yùn)算前提都要進(jìn)行閱讀和認(rèn)真審題.

【關(guān)鍵詞】? 高中數(shù)學(xué)；數(shù)據(jù)估算；數(shù)學(xué)算法表征

高中學(xué)生只有具備良好的運(yùn)算能力，才能順利解答相關(guān)問(wèn)題．高考對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力提出了較高的要求，運(yùn)算能力也反映了學(xué)生的學(xué)習(xí)水平．高中學(xué)生正處于能力培養(yǎng)的關(guān)鍵階段，數(shù)學(xué)教師必須重視其運(yùn)算能力的培養(yǎng)．因此，在教學(xué)的過(guò)程中，教師要根據(jù)學(xué)生的學(xué)情和心理狀態(tài)，應(yīng)用創(chuàng)新性教學(xué)策略，全面提升學(xué)生的運(yùn)算能力．

數(shù)學(xué)算法表征，是數(shù)學(xué)其他表征中最突出的一個(gè)表征，它與數(shù)學(xué)的其他表征都有交集和融匯，在各種問(wèn)題的解決中，必不可少.

下面，通過(guò)一道最近的高三數(shù)學(xué)小測(cè)試中數(shù)值估算小題來(lái)進(jìn)行研究和分析數(shù)學(xué)的多元表征中，算法表征的應(yīng)用.

1? 例題

（2022年12月廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)高三周測(cè)訓(xùn)練）已知某種裝水的瓶?jī)?nèi)芯近似為底面半徑是4dm、高是8dm的圓錐，當(dāng)瓶?jī)?nèi)裝滿水并喝完一半，且瓶正立放置時(shí)（如下圖1所示），水的高度約為（? ?）（本題使用的參考數(shù)據(jù)， ）

（A） 1.62dm. ? ? ? （B） 1.64dm.

（C） 1.65dm. ? ? ? （D） 1.66dm.

2? 數(shù)學(xué)表征分析

上題中的數(shù)學(xué)文字表征表述得十分清晰，數(shù)學(xué)圖形表征也是簡(jiǎn)單明了，并且學(xué)生在解答本題的時(shí)候?qū)Α捌績(jī)?nèi)裝滿水并喝完一半”這句話的理解是沒(méi)有任何問(wèn)題的，它的準(zhǔn)確表示是體積的一半，而不是表示喝了水高度的一半，從題目的問(wèn)題也能看出來(lái)，本題主要是求這個(gè)幾何體進(jìn)行體積.

本題的考查目標(biāo)：數(shù)學(xué)的文字表征、數(shù)學(xué)的表征圖形、數(shù)學(xué)的公式表征、數(shù)學(xué)的運(yùn)算表征、數(shù)學(xué)的算法表征等多元表征，同時(shí)也考查了學(xué)生的審題能力.

3? 用常規(guī)算法求得準(zhǔn)確值但不是正確答案，改進(jìn)算法后進(jìn)行原因分析

如圖2、圖3，設(shè)圓臺(tái)上下底面的圓心分別為，上、下底面圓的半徑為和，且，圓臺(tái)以上部分的小圓錐的高為，體積為，大圓錐的高為，體積為.

解? 先求小圓錐的底面半徑，再算高.

由題意：，，

所以，，

所以，

，

所以，

得，

所以，

所以，

所以水的高度為，

其實(shí)這就是本題問(wèn)題的準(zhǔn)確值，但題目顯然是要求利用所給的數(shù)據(jù)來(lái)求水的高度的近似值，而題目中并沒(méi)有給出的近似值，所以，需要將進(jìn)行進(jìn)一步的處理.有同學(xué)還發(fā)現(xiàn)有這個(gè)關(guān)系可以用，但是這個(gè)數(shù)不能夠直接完全開(kāi)出來(lái)，接下來(lái)就用兩種常用的算法對(duì)這道題進(jìn)行計(jì)算.

3.1? 常用算法1

用手動(dòng)平方的方法，來(lái)估算的近似值.

經(jīng)過(guò)一些手動(dòng)平方計(jì)算發(fā)現(xiàn)：，，所以可以取近似值1.26，甚至小數(shù)點(diǎn)再向后取一位，這樣可以算到已經(jīng)非常接近了，所以可取的近似值為1.261.

代入最后的式子，求得了水的高度為：，選（D）（錯(cuò)誤答案）.

3.2? 常用算法2

假如有記憶力非常好的同學(xué)，或者是刻意記住了一些特殊根號(hào)的近似值，記住了的準(zhǔn)確近似值為，直接把代入了最后的式子，最后求得了水的高度為：，選（C）（錯(cuò)誤答案）.

以上這兩種算法都求出了水的高度的近似值，而且是較準(zhǔn)確的值，但并非正確答案，那么問(wèn)題到底出在哪里，學(xué)生到底該怎么計(jì)算這道題呢？

3.3? 改進(jìn)算法3

將先求上底面圓的半徑，直接改為求小圓錐的高.

把前面得到的結(jié)果稍加改變后：，所以，從而得到了，這樣小圓錐的高為，這樣就出現(xiàn)了題目給出的參考數(shù)據(jù)：，把這個(gè)近似數(shù)代入題中，求到了小圓錐的高.

下一步代入最后的式子，求得水的高度為：，得到了正確答案，選（B）.

3.4? 學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤的原因分析

雖然由算法1、算法2得到了較準(zhǔn)確值，這些值卻不是題目的正確答案，分析具體原因有以下兩點(diǎn).

錯(cuò)誤原因1? 前面兩種算法，算法1、算法2算錯(cuò)答案的原因，都是先算小圓錐的底面半徑，再算小圓錐的高.小圓錐的底面半徑在計(jì)算過(guò)程中已經(jīng)開(kāi)始進(jìn)行近似取值了，這就能產(chǎn)生由近似值帶來(lái)的下一步計(jì)算產(chǎn)生誤差，計(jì)算小圓錐的高，讓誤差加倍，再經(jīng)過(guò)了一次除法運(yùn)算，然后再取近似值，最后算出的結(jié)果，這樣的多步驟運(yùn)算，它的算法和計(jì)算數(shù)據(jù)都能共同產(chǎn)生的誤差，這樣產(chǎn)生的計(jì)算誤差我們很難控制.所以，做這樣的估值題目，一定要用到題目給出的數(shù)據(jù).還有同學(xué)根本沒(méi)有用題目所給的數(shù)據(jù)，直接得到結(jié)果，也屬于審題不到位導(dǎo)致錯(cuò)誤.

錯(cuò)誤原因2? 原本題目給出的近似數(shù)據(jù)就有誤差：題目給出的是，但是的更精確的數(shù)據(jù)可以為，用這兩個(gè)不同的近似數(shù)值計(jì)算產(chǎn)生了誤差，和之間產(chǎn)生的的偏差，乘以了4之后的結(jié)果對(duì)小數(shù)點(diǎn)后的第二位數(shù)有影響.但是，這道近似估值計(jì)算題，給的數(shù)據(jù)保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位也確實(shí)是沒(méi)有問(wèn)題的，這樣算來(lái)就產(chǎn)生的誤差.

3.4? 典型的巨難算法4

直接求圓臺(tái)的上底面半徑或者高，

設(shè)圓臺(tái)的體積為，

則，

整理得：.

這個(gè)算法看似非常簡(jiǎn)單、直接，但得到上面的三次方程后就很難把它解出來(lái)了.又或者把求上底面半徑轉(zhuǎn)換成求小圓錐的來(lái)試一下，

有：.

整理得：，這個(gè)三次方程同樣很難解出來(lái).

3.5? 最優(yōu)算法5

利用相似幾何體的相似比來(lái)做這道題.其實(shí)，這道題可以直接使用相似幾何體的體積比為等于它們對(duì)應(yīng)邊比的立方來(lái)求解.

由大小圓錐相似，易得：，.

接下來(lái)就遇到了和前面同樣的困境：無(wú)法正確表達(dá)出來(lái).

其實(shí)，學(xué)生除了能找到了和有平方關(guān)系外，還可以發(fā)現(xiàn)：，然后把結(jié)果右邊的分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以來(lái)進(jìn)行這樣的處理，

處理之后就得到了：，這樣，就可以把成功地轉(zhuǎn)換成來(lái)進(jìn)行近似計(jì)算了，代入求得結(jié)果：.

從而代入最后的式子，求得水的高度為：，得到正確答案，選（B），題目得到完美解決.

4  分析問(wèn)題

綜上幾種不同的計(jì)算方法，表面上看都能解決本題的問(wèn)題，但是，作為近似計(jì)算的題目，大多要用到，也是必須用到題目中給出的參考數(shù)據(jù)，對(duì)于計(jì)算結(jié)果中沒(méi)有出現(xiàn)的新的數(shù)據(jù)，學(xué)生要想辦法尋找數(shù)據(jù)之間的關(guān)系或者變形來(lái)進(jìn)行解決，進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換.不同的算法過(guò)程不一樣，結(jié)果一樣，但是得到結(jié)果所花費(fèi)的時(shí)間也不一樣，學(xué)生可以對(duì)這些算法進(jìn)行對(duì)比和總結(jié)，從而可以找到快速有效解決這些問(wèn)題的最優(yōu)算法.

數(shù)學(xué)高考考試大綱中對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的要求實(shí)質(zhì)就是“多思少算”．所以通過(guò)研究高考試題的特點(diǎn)，多了解、理解算理，改進(jìn)計(jì)算的方法，減少在高考解題過(guò)程的計(jì)算量是贏得考試時(shí)間和考試成功的重要途徑[5].

數(shù)學(xué)多元表征的類型系統(tǒng)，在科學(xué)研究中一般使用語(yǔ)言描述、數(shù)值表示和圖像顯示三種表征形式[2].數(shù)學(xué)的數(shù)值表示在各種問(wèn)題考核中都是最直觀、最清晰的有效表述.在高考中，每道數(shù)學(xué)題都把數(shù)學(xué)多元表征的融合表現(xiàn)得淋漓盡致.近年來(lái)，為了體現(xiàn)教育公平，有很多省份都陸續(xù)加入了全國(guó)統(tǒng)一考試的行列，同時(shí)，近幾年的數(shù)學(xué)高考題，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的要求也是越來(lái)越高，考查的內(nèi)容和方向也是多種多樣，如果沒(méi)有好的數(shù)學(xué)運(yùn)算思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算方法，在高考答題中一定會(huì)大大減慢答題速度，甚至影響到整張?jiān)嚲泶痤}的完整性，有的甚至出現(xiàn)算了半天，得到了錯(cuò)誤的結(jié)果，所以，教學(xué)過(guò)程中要加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)算法的分析和總結(jié).

本題不能得到正確答案的原因還有就是，沒(méi)有經(jīng)過(guò)認(rèn)真審題，這種錯(cuò)誤的原因就是拿到了題目就開(kāi)始悶頭計(jì)算，沒(méi)有看到題目后的小括號(hào)里的補(bǔ)充說(shuō)明，根本沒(méi)有看到（本題使用的參考數(shù)據(jù)，），或者學(xué)生認(rèn)為不需要這個(gè)他可以直接求出來(lái).事實(shí)上，他確實(shí)可以求出結(jié)果，只不過(guò)求到的不是正確答案而已，這種情況完成以自我的中心，根本不管題目.因此，學(xué)生在今后的讀題、審題過(guò)的程中，一定要把題目看完整，也包括把題目中所給的附加括號(hào)的條件，或者試卷題頭中出現(xiàn)的公式、數(shù)字記住，甚至練一個(gè)標(biāo)點(diǎn)符號(hào)也不要放過(guò).在高考過(guò)程中，學(xué)生拿到試卷后打鈴前的五分鐘，切記不要急于做前面的幾道小題，拿到高考試卷后應(yīng)該先把整張?jiān)嚲硗ㄓ[一遍，包括試卷前給的文字和公式等，做到心中有數(shù)，簡(jiǎn)單判斷了各個(gè)題目的大致難易程度，打鈴之后再認(rèn)真地從第一題開(kāi)始作答.

5? 變式練習(xí)

本文最后再給大家創(chuàng)造一個(gè)訓(xùn)練的機(jī)會(huì)，不妨將第一個(gè)例題進(jìn)行一個(gè)小的改編：若將水瓶倒置喝完水瓶一半高度的水后，再將水瓶進(jìn)行正立旋置如圖1，問(wèn)：此時(shí)水瓶中的水的高度是多少？（參考數(shù)據(jù)）（參考答案：水瓶中的水的高度約為）

6? 結(jié)語(yǔ)

在高中數(shù)學(xué)的解題過(guò)程中，審題尤為重要，這是能正確算出結(jié)果的一個(gè)充要條件.審題關(guān)鍵之一在于要逐字逐句看，看清楚問(wèn)題.特別是要注意容易看錯(cuò)和被忽略的字詞.審題關(guān)鍵之二在于要學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化問(wèn)題.對(duì)一些題目，題目背景很長(zhǎng)，給出的已知條件和結(jié)論都很繁雜，在審題時(shí)，可將條件和問(wèn)題重新整理在草稿紙上，并進(jìn)行簡(jiǎn)化，學(xué)會(huì)化繁為簡(jiǎn).審題關(guān)鍵之三還在于要注意題目中的隱含條件.有一些題目的題干中給出的條件并不是那么明顯，需要對(duì)一些隱含的條件要進(jìn)行深入地思考、分析、挖掘和加工之后才能運(yùn)用到解題過(guò)程中.此外，在審題過(guò)程中還可以通過(guò)畫(huà)出相應(yīng)的圖形等直觀地進(jìn)行問(wèn)題分析.

【基金：廣東省教育科學(xué)規(guī)劃2022年度中小學(xué)教師教育科研能力提升計(jì)劃項(xiàng)目一般課題“基于數(shù)學(xué)表征的高中生運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)實(shí)踐研究”（課題編號(hào)：2022YQJK554）階段性研究成果之一】

參考文獻(xiàn)：

[1]普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社出版，2020.05.

[2]唐劍嵐.數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)的認(rèn)知模型及教學(xué)研究[M].南京：南京師范大學(xué)出版社，2009.07.

[3]姚建法.數(shù)學(xué)多元表征研究綜述[J].江蘇教育研究，2020（13）：53-59.

[4]王佳榮.高中學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)策略[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2022（26）：116-118.

[5]張展彬、王位高.優(yōu)化高考運(yùn)算能力的策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2010（09）：7-10.

[6]張梅.數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)——審題[J].課程教材教學(xué)研究（中教研究），2022（07）：34-35.