心形葉片中的數(shù)學(xué)

遲琳琳

在大自然中，有很多數(shù)學(xué)的奧秘。一片美麗的心形葉片、一棵生長(zhǎng)的幼苗都可以看作由一條拋物線的一部分沿直線折疊而形成的（如圖1、圖2）。

我們能否利用所學(xué)的二次函數(shù)的知識(shí)提出并解決一些問題呢？

問題1 我們能否建立平面直角坐標(biāo)系，確定心形葉片下部輪廓線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式呢？

如圖3，建立平面直角坐標(biāo)系，心形葉片下部輪廓線可以看作二次函數(shù)圖像的一部分，且過原點(diǎn)，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-1），據(jù)此可以確定此二次函數(shù)的表達(dá)式嗎？

小明是這樣想的：由頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-1），可以設(shè)此二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a（x-2）2-1，a≠0。因?yàn)閳D像經(jīng)過（0，0），可求得a=[14]，所以二次函數(shù)的表達(dá)式為y=[14]（x-2）2-1。

自然界中有些植物身上有紛繁復(fù)雜的圖案，仔細(xì)觀察，甚至有驚人的秩序和構(gòu)造。因此，我們要善于用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界。

問題2 如圖3，畫出心形葉片的對(duì)稱軸（直線AB），A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-2，0）、（0，2），過點(diǎn)H（6，0）的直線分別交拋物線和直線AB于點(diǎn)E、F，點(diǎn)E、E′是葉片上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，EE′交直線AB于點(diǎn)G。我們能否求出葉片的寬度EE′呢？

小穎是這樣想的：∵A（-2，0）、B（0，2），∴OA=OB=2?！唷螦BO=45°。

∴AH=HF=8。

在y=[14]（x-2）2-1中，當(dāng)x=6時(shí)，y=3。

∴E（6，3）?！郋F=5。

∵EF∥OB，∴∠GFE=∠ABO=45°。

∵E、E'是葉片上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，

∴EE'=2EG，EG⊥FG。

∴△EFG是等腰直角三角形。

∴EG=[22]EF=[522]?！郋E'=[52]。

當(dāng)現(xiàn)實(shí)中的實(shí)物抽象為數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們就可以利用數(shù)學(xué)知識(shí)，通過運(yùn)算、推理得到結(jié)論。因此，我們也要善于用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界。

問題3 小李在觀察幼苗生長(zhǎng)的過程中，發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線都可以看作二次函數(shù)y=mx2-4mx-20m+5圖像的一部分。當(dāng)天，小李發(fā)現(xiàn)幼苗葉片下方輪廓線正好可以看作二次函數(shù)y=[14]（x-2）2-1圖像的一部分，直線PD與水平線的夾角為45°（如圖4）；三天后，點(diǎn)D長(zhǎng)到與點(diǎn)P同一水平位置的點(diǎn)D′時(shí)，葉尖Q落在射線OP上（如圖5）。能否求出此時(shí)幼苗葉子的長(zhǎng)度QD′呢？

小李是這樣想的：∵直線PD與x軸成45°角，直線PD可以看作一個(gè)一次函數(shù)的圖像，因此設(shè)它的表達(dá)式為y=-x+b。把點(diǎn)D（2，-1）代入，得-1=-2+b，解得b=1。聯(lián)立[y=14（x-2）2-1，y=-x+1，]解得[x=-2，y=3，]或[x=2，y=-1。]∴P（-2，3）。

同理，OP也可以看作一個(gè)一次函數(shù)的圖像，可求出它的表達(dá)式為y=[-32]x，則D′（2，3）。把D′（2，3）代入y=mx2-4mx-20m+5，∴4m-8m-20m+5=3，解得m=[112]?！喽魏瘮?shù)的表達(dá)式為y=[112]x2[-13]x+[103]。聯(lián)立[y=-32x，y=112x2-13x+103，]

解得x1=-4，x2=-10。

∵幼苗越長(zhǎng)越張開，∴x2=-10不合題意，舍去。∴Q（-4，6）。

作QH⊥PD'，交D'P的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H（如圖6）。

∴QD′=[（-4-2）2+（6-3）2]=[35]。

此時(shí)幼苗葉子的長(zhǎng)度為[35]。

對(duì)問題的追問，是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好習(xí)慣。我們只有不斷地深入探索與發(fā)現(xiàn)，才能越發(fā)感受到自然界的神奇，也能發(fā)現(xiàn)“數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的基礎(chǔ)”。

（作者單位：江蘇省南京市第十八中學(xué)）