蔡志勤, 曹彬彬, 彭海軍,2

(1.大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系,大連 116024;2.大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析優(yōu)化與CAE軟件全國重點實驗室,大連 116024)

1 引 言

近年來,由于航天任務(wù)的逐漸復(fù)雜化,航天器結(jié)構(gòu)逐漸向大型化和柔性化方向發(fā)展?？臻g可展桁架結(jié)構(gòu)伸展臂具有展開剛度高和展收比高等優(yōu)點[1],經(jīng)常用作航天器工作平臺的支撐結(jié)構(gòu)。但是在空間環(huán)境中,伸展臂會受到空間溫度變化和太陽光壓等外界因素的影響,另外在進(jìn)行位姿變化和太空作業(yè)等主動工作過程時,都很容易導(dǎo)致伸展臂發(fā)生振動[2],在阻尼較低的空間環(huán)境中,結(jié)構(gòu)振動能量衰減速度很慢,如果不加以控制,可能會對整個系統(tǒng)造成不利影響。

針對伸展臂的結(jié)構(gòu)振動問題,學(xué)者們提出的振動抑制方案主要分為被動控制和主動控制。被動控制主要通過提升結(jié)構(gòu)自身的阻尼來加速振動衰減。Moshrefi-Torbati等[3]用遺傳算法優(yōu)化設(shè)計出一種具有隔振特點的伸展臂。但是遺傳算法在計算最優(yōu)構(gòu)型過程中計算成本很高,Wei等[4]提出混合并行遺傳算法,顯著降低計算成本的同時進(jìn)一步提高求解質(zhì)量。但是被動控制無法在復(fù)雜多變的環(huán)境干擾下實現(xiàn)靈活的控制,而且振動抑制效率偏低。

主動控制是利用傳感器得到的實時反饋信號對被控對象主動施加控制力的控制方法,可以實現(xiàn)高效率的、具有針對性的振動抑制。隨著智能材料的不斷涌出,由具有良好的形狀固定和回復(fù)性能的形狀記憶合金和碳纖維復(fù)合材料制作出的復(fù)合材料鉸鏈,可以減輕展開過程中帶來的振動[5]。Lan等[6]制備出環(huán)氧基形狀記憶聚合物以及復(fù)合材料,并基于此制備出復(fù)合材料鉸鏈,此鉸鏈能在回復(fù)率接近100%的前提下有效降低結(jié)構(gòu)的振動效應(yīng)。壓電陶瓷材料由于具有良好的承載能力也用于振動控制,可以將壓電陶瓷貼片粘貼在伸展臂上充當(dāng)傳感器來檢測結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng),也可以將壓電陶瓷材料制作壓電桿集成到伸展臂中充當(dāng)作動器來實現(xiàn)主動振動控制[7-9]。目前,壓電作動器廣泛用于控制空間結(jié)構(gòu)的振動,但其在大型結(jié)構(gòu)中的放置和布線都比較復(fù)雜。

為了對上述情況進(jìn)行改進(jìn),Lu等[10]通過PSO算法選擇出18根伸展臂上用來減小鉸鏈間隙的拉繩充當(dāng)作動器,和壓電材料充當(dāng)作動器相比,這個方法不會增加結(jié)構(gòu)的復(fù)雜度。但是由于充當(dāng)作動器的拉繩并不是串聯(lián)在一起的,所以需要在結(jié)構(gòu)的18個鉸鏈處安裝用來收放拉繩的電機(jī),這種設(shè)計會增加伸展臂的質(zhì)量。而且這些拉繩均在伸展臂每一段中的連接鉸和連接鉸之間,這也會限制優(yōu)化算法的搜索空間。

本文采用拉繩作為作動器,但并非利用的用來減小鉸鏈間隙的張力繩。這樣就解除了只能在連接鉸和連接鉸之間連接的限制,而且充當(dāng)作動器的拉繩還可以串聯(lián)在一起,進(jìn)而驅(qū)動作動繩的電機(jī)在數(shù)量上可以減少的同時,也可以將電機(jī)的安裝位置轉(zhuǎn)移到基座上,進(jìn)一步降低結(jié)構(gòu)的復(fù)雜度。本文伸展臂的每一面分別有一個作動繩,通過遺傳算法尋找出每一個作動繩在當(dāng)前面的鉸鏈中的最佳串聯(lián)順序。在數(shù)值仿真中,通過模型預(yù)測控制方法對伸展臂進(jìn)行振動控制。

2 系統(tǒng)動力學(xué)模型

本文研究三棱柱式桁架結(jié)構(gòu)伸展臂[11],每段由豎梁、橫梁、張力繩以及驅(qū)動鉸和連接鉸組成,如圖1所示。在大多數(shù)空間結(jié)構(gòu)中,為了避免結(jié)構(gòu)的低頻振動,都會安裝張力繩來提高結(jié)構(gòu)的剛度。當(dāng)這些結(jié)構(gòu)發(fā)生變形時,結(jié)構(gòu)中的拉繩會隨著變形產(chǎn)生拉力。但是從圖1可以看出,張力繩均是在連接鉸之間,而且每段之間相互獨立。如果將張力繩充當(dāng)作動器,除了無法利用驅(qū)動鉸外,也需要根據(jù)優(yōu)化結(jié)果在連接鉸安裝電機(jī),影響伸展的質(zhì)量以及穩(wěn)定性。

對于本文研究的伸展臂,產(chǎn)生極大幅度的非線性振動需要相當(dāng)極端的條件,所以大部分振動仍處于線性范圍內(nèi)。換言之,線性振動的主動控制更具有實際意義?；谶@些因素,在進(jìn)行振動控制分析時,將伸展臂視為線性系統(tǒng)。值得注意的是,雖然可以在線彈性范圍內(nèi)考慮結(jié)構(gòu)振動,但這種振動仍然會嚴(yán)重影響伸展臂的正常工作。因此,發(fā)展一種合適的振動控制方法是必要的。

圖1 伸展臂

基于有限元法建立的結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程為

(1)

式中M,C和K分別為整體質(zhì)量陣、阻尼陣和剛度陣。Fu為作動器的控制力,H為作動器分布矩陣,Fe為干擾外力向量。

模態(tài)分析是分析結(jié)構(gòu)動力性能最成熟的線性分析技術(shù),主要是將結(jié)構(gòu)系統(tǒng)從物理坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為模態(tài)坐標(biāo),使得方程解耦,從建立的有限元模型中可以獲得結(jié)構(gòu)的固有頻率和模態(tài)信息。模型的前p階模態(tài)振型和模態(tài)坐標(biāo)可以表示為

x=Φq

(2)

式中Φ為前p階振型組成的矩陣,q為對應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo),將式(2)代入式(1),并且統(tǒng)一左乘ΦT,則動力學(xué)方程可以寫為

(3)

再將模態(tài)空間的動力學(xué)方程(3)改寫為狀態(tài)空間的形式為

(4)

(5,6)

3 作動器位置優(yōu)化及控制率設(shè)計

首先通過遺傳算法計算出三根作動繩上鉸鏈的最優(yōu)串聯(lián)順序。以此為基礎(chǔ),再通過模型預(yù)測控制方法對三根作動繩上的拉力進(jìn)行控制,抑制伸展臂的振動。

3.1 作動器位置優(yōu)化

基于系統(tǒng)可控性的優(yōu)化準(zhǔn)則和遺傳算法,對作動繩上鉸鏈的串聯(lián)順序進(jìn)行優(yōu)化分析。根據(jù)文獻(xiàn)[10,12],系統(tǒng)的可控性Gramian矩陣可以表示為

(7)

且滿足Lyapunov方程

AWc+WcAT+BBT=0

(8)

文獻(xiàn)[13]定義了優(yōu)化準(zhǔn)則

(9)

本文采用遺傳算法尋找出每一個作動器串聯(lián)的鉸鏈數(shù)量以及最優(yōu)串聯(lián)順序。從圖2可以看出,伸展臂每一面有18個鉸鏈,按圖2所示的順序依次對伸展臂的所有面的鉸鏈進(jìn)行編號。作動器1所連鉸鏈的編號范圍為1～18,作動器2所連鉸鏈的編號范圍為19～36,作動器3所連鉸鏈的編號范圍為37～54。定義一個向量v1×54,其中1～18元素表示作動器1的連接順序,元素取值范圍(1,18),19～36元素表示作動器2的連接順序,元素取值范圍為(19,36),37～54元素表示作動器3的連接順序,元素取值范圍為(37～54)。由于作動器無法在同一個鉸鏈連續(xù)串聯(lián)兩次,所以在算法迭代過程中每次對v中連續(xù)相同的元素進(jìn)行合并。

圖2 作動繩上鉸鏈串聯(lián)

在遺傳算法中考慮上述條件作為約束條件。綜上所述,該優(yōu)化問題的表達(dá)式為

(10)

3.2 控制率的設(shè)計

一般來說,桁架結(jié)構(gòu)伸展臂,在展開過程中張力繩處于松弛狀態(tài),以確保結(jié)構(gòu)的順利展開。在展開完成后,對拉繩進(jìn)行張緊,以提高結(jié)構(gòu)的剛度,減少低頻振動的發(fā)生。對于本文的伸展臂,結(jié)構(gòu)中布置的作動繩是影響結(jié)構(gòu)振動的主要因素,在控制律的設(shè)計中必須考慮拉繩的特點,即單邊約束和飽和特性。綜上所述,本文做出以下假設(shè)[10]。

(1) 作動繩的控制力大小范圍,u∈[0,umax]。

(2) 在施加主動控制力之前,所有拉繩的張力均為零。

(3) 振動引起的變形比結(jié)構(gòu)本身的尺寸小很多。

在模型預(yù)測控制器的設(shè)計過程中,通常會根據(jù)受控對象的特點建立一個模型,用于預(yù)測受控對象未來的變化趨勢,并基于這個模型來制定相應(yīng)的控制策略[15]。同時,模型預(yù)測控制器具備反饋校正的能力,能夠確?？刂破髟诓煌r下都能表現(xiàn)出良好的穩(wěn)定性和魯棒性。模型預(yù)測控制方法還能夠方便地引入對控制輸入的約束,以滿足系統(tǒng)的操作限制。所以,本文主要采用模型預(yù)測控制方法調(diào)節(jié)3個作動繩的控制力。

首先,對系統(tǒng)狀態(tài)方程(4)進(jìn)行離散化,可寫為

x(k+1)=As(k)x(k)+Bs(k)u(k)

y(k)=Cs(k)x(k)

(11)

式中 采樣周期為ts,k為第k個采樣周期,As,Bs和Cs分別為由連續(xù)狀態(tài)方程轉(zhuǎn)換為離散狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣。

為了求解預(yù)測控制問題,在狀態(tài)空間表達(dá)式中必須計算被控變量的預(yù)測值。其可由當(dāng)前狀態(tài)的最佳估計值以及假設(shè)的未來輸入計算。假設(shè)當(dāng)前時刻為第k個采樣周期,根據(jù)式(9)可以預(yù)測未來l個時間步的狀態(tài)值為

(12)

式中 式(12)的項分別為

(13,14)

(15)

(16)

(17)

在滿足約束條件下,模型預(yù)測控制器找到控制輸入的最優(yōu)序列,使得目標(biāo)函數(shù)J最小化,即

(18)

式中umax為由3個作動繩拉力最大值組成的列向量,J為系統(tǒng)性能指標(biāo),可以表示為

(19)

式中rk為期望軌跡,在本文則為所有節(jié)點的位移,所以rk=0;Q和R為控制權(quán)矩陣。結(jié)合式(12),目標(biāo)函數(shù)J可以寫為

(20)

模型預(yù)測控制問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題中的二次規(guī)劃優(yōu)化問題,利用二次規(guī)劃方法求解可以得到最優(yōu)解。

4 數(shù)值仿真

以一個由4個單元組成的伸展臂為例進(jìn)行數(shù)值仿真。研究對象如圖2所示,假設(shè)該伸展臂的左端固定,右端自由,考慮到伸展臂在工作中的負(fù)載情況,在有限元建模過程中,伸展臂右端A,B,C,D,E和F節(jié)點上分別添加質(zhì)量為20kg的質(zhì)量塊。表1列舉了該結(jié)構(gòu)的幾何尺寸和材料特性。采用ANSYS對結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模,伸展臂中所有長梁均劃分為10個空間梁單元(BEAM188),模型的前6階模態(tài)頻率列入表2。

表1 結(jié)構(gòu)幾何尺寸及材料參數(shù)

表2 伸展臂前6階固有頻率

基于上述信息,對作動繩在鉸鏈上的串聯(lián)順序進(jìn)行優(yōu)化分析。遺傳算法中種群染色體數(shù)為1000,交叉和變異概率分別為0.8和0.1。最大迭代次數(shù)設(shè)為1000,算法迭代到300步,最大適應(yīng)度值達(dá)到穩(wěn)定。最終優(yōu)化結(jié)果列入表3,連接效果如圖3所示。

表3 作動繩上鉸鏈串聯(lián)順序優(yōu)化結(jié)果

圖3 作動繩上鉸鏈的最佳串聯(lián)順序

在伸展臂右端節(jié)點A(圖2)上施加100N沿y軸的力(Fy),以產(chǎn)生伸展臂的初始變形。t=0時,移除外力作用。模型預(yù)測控制器中采樣周期為0.1 s,預(yù)測步長為100,控制步長為5,對模型的前4階模態(tài)進(jìn)行控制。

在umax=1時,進(jìn)行仿真計算。圖4(a)表示在伸展臂有無控制的情況下,節(jié)點A在y方向位移的對比結(jié)果。這些結(jié)果表明,在施加控制力后,由振動引起的節(jié)點A的位移在10 s內(nèi)控制在1×10-3m左右。與沒有主動控制的曲線相比,振動衰減時間大大縮短。在初始變形狀態(tài)下,所有節(jié)點y方向位移向量的均方根為0.0134 m,在應(yīng)用主動控制10 s后這些節(jié)點的均方根降低到6.4×10-4m,這個結(jié)構(gòu)幾乎恢復(fù)了平穩(wěn)?？刂屏?時間曲線如圖4(b)所示,清楚地表明有源電纜上的所有控制力都滿足預(yù)設(shè)的0≤u≤umax范圍。輸出控制力可以滿足單邊約束和飽和約束。

為了應(yīng)對不同工況,將施加在節(jié)點A上的力Fy增加到200 N。圖5(a)展示了有無控制的情況下,節(jié)點A在y方向的位移對比結(jié)果。在施加控制力后,節(jié)點A的位移在10 s內(nèi)降低到2.2×10-3m左右。在初始變形狀態(tài)下,所有節(jié)點y方向位移的均方根為0.027 m,在應(yīng)用主動控制10 s后這些節(jié)點的均方根降低到1.3×10-3m。而且作動繩的控制力仍然保持在設(shè)置的范圍內(nèi)(圖5(b))?？梢钥闯?提出的作動繩串聯(lián)的方法可以在不同初始條件下,有效控制伸展臂的振動。

圖4 Fy=100 N時的仿真結(jié)果

圖5 Fy=200 N時的仿真結(jié)果

5 結(jié) 論

為了解決以拉繩作為作動器的伸展臂的振動控制問題,提出了拉繩串聯(lián)伸展臂部分鉸鏈的方式,將需要控制的電機(jī)從文獻(xiàn)中的18個降低到3個,而且驅(qū)動拉繩的電機(jī)的安裝位置也從鉸鏈上移動到基座上,進(jìn)一步降低伸展臂的復(fù)雜度和提高伸展臂的穩(wěn)定性。在數(shù)值模擬中,首先,建立了由4個單元組成的伸展臂結(jié)構(gòu)模型,然后通過遺傳算法尋找出3個作動繩上鉸鏈的最優(yōu)串聯(lián)順序,結(jié)合優(yōu)化結(jié)果對具有初始彎扭變形條件下的伸展臂的振動控制進(jìn)行數(shù)值模擬,驗證了提出的作動繩布置方式以及控制率可以有效地抑制結(jié)構(gòu)的振動,同時滿足控制力的單邊約束和飽和約束,可以保證伸展臂迅速恢復(fù)到滿足精度要求的狀態(tài),這對伸展臂的正常工作具有重要意義。