一道雙曲線聯(lián)考題的解法與結(jié)論推廣

李 寒

(貴州省貴陽市第一中學(xué),貴州 貴陽 550081)

雙曲線是一種重要的圓錐曲線,是高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容,尤其是近年高考或各地模擬考試中,雙曲線內(nèi)容常出現(xiàn)在解答題中進(jìn)行考查,體現(xiàn)了高考命題者對(duì)雙曲線內(nèi)容的青睞.下面對(duì)一道高三雙曲線聯(lián)考題的解法和結(jié)論進(jìn)行探究.

1 考題再現(xiàn)

(2)若M(-4,6)為曲線Γ上一點(diǎn),直線MA,MB分別與直線l1交于D,E兩點(diǎn),問以線段DE為直徑的圓是否過定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說明理由.

圖1 2023年2月浙江省七彩聯(lián)盟返校聯(lián)考數(shù)學(xué)21題圖

2 解法探究

2.1 第(1)小題解析

解析根據(jù)題意,易得F(4,0).

=2|x-1|,

d=|x-1|,

點(diǎn)評(píng)由于點(diǎn)F是雙曲線Γ的右焦點(diǎn),直線l1是雙曲線Γ的右準(zhǔn)線,所以該小題實(shí)質(zhì)上考查的是雙曲線的第二定義.

2.2 第(2)小題解析

(3t2-1)y2+24ty+36=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以

直線MA的方程為

令x=1,得

由圖形的對(duì)稱性可知,定點(diǎn)必在x軸上,設(shè)定點(diǎn)P(m,0),則

故以線段DE為直徑的圓過定點(diǎn)P(-2,0)或P(4,0).

解法2 如圖2,過點(diǎn)A作AA1⊥直線l1,垂足為點(diǎn)A1,過點(diǎn)B作BB1⊥直線l1,垂足為點(diǎn)B1,過點(diǎn)M作MN⊥直線l1,垂足為點(diǎn)N,連接FE,FD.

圖2 解法2示意圖

又由△AA1D∽△MND,得

所以在△AFM中,FD是∠AFM的角平分線.

所以∠AFD=∠DFM.

同理在△BFM中,FE是∠BFM的角平分線.

所以∠BFE=∠MFE.

所以∠EFD=∠DFM+∠MFE

所以FD⊥FE.

故以線段DE為直徑的圓過定點(diǎn)F(4,0),根據(jù)對(duì)稱性可知也過定點(diǎn)(-2,0).

點(diǎn)評(píng)該小題考查的是圓過定點(diǎn)問題.解法1首先引入?yún)⒆兞縯,設(shè)出直線l的方程,通過聯(lián)立方程組求出兩交點(diǎn)縱坐標(biāo)的和與積,然后利用直徑所對(duì)的角是直角,構(gòu)造向量,運(yùn)用向量數(shù)量積為0建立等式關(guān)系,求出定點(diǎn).其中由圖形的對(duì)稱性猜測(cè)定點(diǎn)位置,從而明確方向,進(jìn)而簡(jiǎn)化計(jì)算.解法1是解決這類問題的通性通法.解法2根據(jù)題意條件,通過作出輔助線,挖掘并利用隱含的三角形相似、三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)得到線段的垂直關(guān)系,從而找到圓過的定點(diǎn),其解題過程十分簡(jiǎn)捷、巧妙,體現(xiàn)了平面幾何知識(shí)在簡(jiǎn)化解析幾何計(jì)算中的優(yōu)越性.但解法2邏輯推理要求高,思維難度大,不易切入.

3 推廣探究

我們?cè)谶@里將目光放到對(duì)第(2)問的推廣探究上.

3.1 延伸推廣

從對(duì)上述聯(lián)考題的條件和結(jié)論的分析可以看出,F是雙曲線Γ的右焦點(diǎn),直線l1則是雙曲線Γ的右準(zhǔn)線,M是雙曲線Γ左支上的一點(diǎn),其結(jié)論是以線段DE為直徑的圓過的定點(diǎn)是焦點(diǎn)F和焦點(diǎn)F關(guān)于線段DE的對(duì)稱點(diǎn).由此,我們來思考下面的兩個(gè)問題:

(1)能否把聯(lián)考題的結(jié)論延伸為一般雙曲線的情形?

(2)若F是雙曲線Γ的左焦點(diǎn),直線l1則是雙曲線Γ的左準(zhǔn)線,M是雙曲線Γ右支上的一點(diǎn),是否可以得到同樣的結(jié)論?

答案是肯定的!于是由聯(lián)考題推廣為一般情形下雙曲線的兩個(gè)結(jié)論:

結(jié)論1和結(jié)論2的證明可按聯(lián)考題第(2)問的證法2的過程進(jìn)行,這里從略.

3.2 類比推廣

圓錐曲線有許多相似的性質(zhì)或結(jié)論,由于雙曲線與橢圓均為有心二次曲線,能否將雙曲線的結(jié)論1和結(jié)論2分別類比到橢圓,得到同樣的結(jié)論?答案也是肯定的,于是有:

圖3 結(jié)論3示意圖

證明如圖4,過點(diǎn)A作AA1⊥直線l1,垂足為點(diǎn)A1,過點(diǎn)B作BB1⊥直線l1,垂足為點(diǎn)B1,過點(diǎn)M作MN⊥直線l1,垂足為點(diǎn)N,連接FE,FD.

圖4 結(jié)論3證明圖

又由△AA1D∽△MND,得

所以FD是△AFM的∠AFM的外角平分線.

所以∠AFD=∠DFM.

同理,FE是△BFM的∠BFM的外角平分線.

所以∠BFE=∠MFE.

所以∠EFD=∠DFM+∠MFE

所以FD⊥FE.

結(jié)論4的證明可按結(jié)論3的證明過程進(jìn)行,這里從略.

4 結(jié)束語

對(duì)典型試題的解法與結(jié)論推廣進(jìn)行探究,就是指對(duì)問題從不同視角來審視,以不同的切入點(diǎn)探究問題,其實(shí)質(zhì)是對(duì)試題的“二次開發(fā)”.通過對(duì)試題的剖析和思考,展開問題的來龍去脈和知識(shí)間的縱橫聯(lián)系,站在一定的高度去思考問題,突出數(shù)學(xué)本質(zhì),使知識(shí)達(dá)到融會(huì)貫通,使思維得到升華,進(jìn)而優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)[1].