澤納基斯隨機(jī)音樂(lè)中的數(shù)與樂(lè)探究

摘要：目的：文章探討希臘裔法國(guó)作曲家澤納基斯的隨機(jī)音樂(lè)理論，特別是其作品中的數(shù)學(xué)思維與作曲技法的關(guān)聯(lián)，以期為深入理解澤納基斯的隨機(jī)音樂(lè)提供具體解釋和分類。方法：通過(guò)對(duì)澤納基斯隨機(jī)音樂(lè)的深入研究，將其分為三個(gè)主要組成部分——決定論、非決定論及中間者，并詳細(xì)剖析每個(gè)部分蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)理論與音樂(lè)理論。決定論部分探討澤納基斯提出的篩選理論（the Sieve），該理論基于除法計(jì)算產(chǎn)生序列；非決定論部分則分析澤納基斯如何將《概率論》中的思維與數(shù)學(xué)模型作為創(chuàng)作方法，特別關(guān)注馬爾可夫鏈和布朗運(yùn)動(dòng)等概念在音樂(lè)中的應(yīng)用。同時(shí)，結(jié)合澤納基斯的個(gè)人背景、跨學(xué)科音樂(lè)藝術(shù)發(fā)展的目標(biāo)以及國(guó)內(nèi)關(guān)于澤納基斯研究的現(xiàn)狀，對(duì)隨機(jī)音樂(lè)進(jìn)行全面解析。結(jié)果：澤納基斯的隨機(jī)音樂(lè)不僅僅是基于音高的創(chuàng)新，更重要的是對(duì)音色的創(chuàng)新。他將數(shù)學(xué)計(jì)算法則與電子音樂(lè)、物理聲學(xué)相結(jié)合，創(chuàng)造出獨(dú)特的音色。澤納基斯反對(duì)將音樂(lè)創(chuàng)作完全交給偶然性，而是運(yùn)用概率論等數(shù)學(xué)模型來(lái)指導(dǎo)創(chuàng)作，使作品既具有隨機(jī)性又不失控制。結(jié)論：澤納基斯的隨機(jī)音樂(lè)理論展現(xiàn)了他將數(shù)學(xué)、科技、哲學(xué)與音樂(lè)相結(jié)合的跨學(xué)科藝術(shù)追求。分析隨機(jī)音樂(lè)的分類和具體技法，可以更好地理解澤納基斯作品中數(shù)學(xué)思維與音樂(lè)理論的融合，以及他如何創(chuàng)造出前所未有的新音色。這能為進(jìn)一步研究和欣賞澤納基斯的隨機(jī)音樂(lè)提供有益的參考。

關(guān)鍵詞：澤納基斯；隨機(jī)音樂(lè)；決定論；非決定論；數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：J614 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1004-9436（2024）19-00-03

本文引用格式：付騰.澤納基斯隨機(jī)音樂(lè)中的數(shù)與樂(lè)探究［J］.藝術(shù)科技，2024，37（19）：-，31.

0 前言

希臘裔法國(guó)作曲家伊奧尼斯·澤納基斯（Iannis Xenakis，1922—2001）活躍于20世紀(jì)60年代以后的西方音樂(lè)界［1］，他的音樂(lè)作品被冠以“隨機(jī)音樂(lè)”之名，指“音樂(lè)在細(xì)節(jié)上不確定但向著一個(gè)明確的目標(biāo)發(fā)展”，體現(xiàn)出音樂(lè)與數(shù)學(xué)之間的關(guān)系［2］。澤納基斯不僅是一名作曲家，還是巴黎的一名建筑設(shè)計(jì)師。建筑學(xué)的內(nèi)容是以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的，20世紀(jì)60年代以后的法國(guó)音樂(lè)經(jīng)舍費(fèi)爾和布萊茲等人發(fā)展，逐步形成與數(shù)學(xué)、科技相融合的局面。作為西方文明發(fā)源地的希臘人，澤納基斯從古希臘哲學(xué)思想出發(fā)，將從事的建筑事業(yè)與作為基礎(chǔ)的高等數(shù)學(xué)一并納入音樂(lè)創(chuàng)作。澤納基斯認(rèn)為，音樂(lè)從古希臘至今一直與數(shù)學(xué)具有密切的聯(lián)系，但作曲家們并沒(méi)有將音樂(lè)中的數(shù)學(xué)提高到它本身具有的高度，他將在自己的隨機(jī)音樂(lè)中用數(shù)學(xué)這個(gè)“小鬼”來(lái)嚇一嚇音樂(lè)領(lǐng)域的作曲家［3］。

從西方音樂(lè)的發(fā)展脈絡(luò)來(lái)看，從畢達(dá)哥拉斯的弦長(zhǎng)理論決定音程關(guān)系開(kāi)始，到巴洛克時(shí)期用羅馬數(shù)字表示通奏低音，再到20世紀(jì)的音級(jí)集合理論，澤納基斯認(rèn)為，這其中所運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識(shí)更多類似于用手指頭數(shù)數(shù)的“數(shù)學(xué)”，而非基于抽象邏輯符號(hào)與計(jì)算公式的“數(shù)學(xué)”。將數(shù)學(xué)、科技、哲學(xué)與音樂(lè)相結(jié)合的跨學(xué)科發(fā)展目標(biāo)正是布萊茲的IRCAM機(jī)構(gòu)成立以后的宗旨，澤納基斯作為法國(guó)跨學(xué)科音樂(lè)藝術(shù)發(fā)展中布萊茲的下一任代表，自然而然地?cái)堖^(guò)了這一面旗幟。

我國(guó)音樂(lè)研究者們鮮有全面系統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)歷，雖然澤納基斯在西方音樂(lè)界已被廣泛研究，但國(guó)內(nèi)音樂(lè)界即使意識(shí)到其具有重大的研究?jī)r(jià)值，仍望而卻步。筆者作為土木工程本科學(xué)生，雖有四年工科和三年音樂(lè)專業(yè)學(xué)習(xí)經(jīng)歷，在面對(duì)作曲家本人的論文與著作時(shí)，也不一定能完全理解作曲家的敘述。澤納基斯在自己的成果中給予后世學(xué)者們最大的研究困難在于，在用數(shù)學(xué)公式時(shí)較少告知符號(hào)的含義和指代的音樂(lè)對(duì)象，大多時(shí)候直接將符號(hào)貫穿于創(chuàng)作作品的實(shí)際操作中，讓人難以捉摸，使研究澤納基斯的西方學(xué)者們的成果宛如對(duì)作曲家著作和論文的注釋。

基于澤納基斯豐富的數(shù)學(xué)與音樂(lè)世界，筆者分類說(shuō)明隨機(jī)音樂(lè)的三個(gè)部分及其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)與音樂(lè)理論，將其作為筆者研究澤納基斯的邏輯脈絡(luò)，也對(duì)“隨機(jī)音樂(lè)”這一寬泛的概念給予相對(duì)具體的解釋，同時(shí)將其作為筆者現(xiàn)階段研究的匯報(bào)成果。

1 隨機(jī)音樂(lè)的三種分類

澤納基斯在著作《形式化音樂(lè)》的序言中詳細(xì)說(shuō)明了自己作曲技術(shù)理論的三個(gè)部分，作曲家從古希臘哲學(xué)家們對(duì)原因與結(jié)果這一對(duì)事件的看法出發(fā)，提出音樂(lè)上的決定論、非決定論、中間者，作為劃分隨機(jī)音樂(lè)三個(gè)部分的名稱［4-5］。這三個(gè)部分均具有各自適用的數(shù)學(xué)理論，決定論以序列化為特點(diǎn)，非決定論以馬爾可夫鏈、布朗運(yùn)動(dòng)等為特點(diǎn)。

1.1 決定論

古希臘時(shí)期，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派主張“任何事物都不能無(wú)因而生”，決定論（determinism）因此產(chǎn)生。這一觀點(diǎn)統(tǒng)治西方幾千年，直到19世紀(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的誕生才顛覆了這一存在。澤納基斯認(rèn)為，無(wú)論是調(diào)性音樂(lè)還是序列主義音樂(lè)，均是決定論的體現(xiàn)。

面對(duì)調(diào)性音樂(lè)作品，首先要分析調(diào)性，然后才能寫(xiě)出主和弦、下屬和弦與屬和弦。從申克分析思維來(lái)看，調(diào)性音樂(lè)皆圍繞這三個(gè)和弦形成，無(wú)論音樂(lè)如何變化，T、IV和V和弦的核心地位均不被動(dòng)搖，它們既控制旋律進(jìn)行的方式，又控制和弦進(jìn)行。在和聲寫(xiě)作中，作品結(jié)束時(shí)總是出現(xiàn)屬和弦到主和弦的終止式，因?yàn)橹骱拖?、下屬和弦與屬和弦的存在，所以整部作品圍繞功能和弦展開(kāi)，這是一種決定論的思維。在序列主義音樂(lè)中，作曲家需要將12個(gè)半音全部列舉出來(lái)，某一個(gè)音的前后關(guān)系在作曲家寫(xiě)下序列時(shí)就被嚴(yán)格決定了，縱使作曲家運(yùn)用移位、倒影等操作來(lái)改變?cè)凸逃械囊舾?，但前后的音程關(guān)系并沒(méi)有被改變。這些操作是表面的、外在的改變，而非內(nèi)在的變化。表現(xiàn)主義代表人物勛伯格將原型與移位、倒影等操作采用復(fù)調(diào)思維結(jié)合起來(lái)，形成不同的線性陳述方式。同樣是外在表現(xiàn)出旋律的多樣性，由這一手法形成的作品，歸根到底是圍繞最初呈示的原型序列的，體現(xiàn)出決定論的思維。

澤納基斯從反對(duì)序列主義音樂(lè)出發(fā)，提出了基于決定論思維的新的作曲技法：篩選理論（the Sieve）。1990年，澤納基斯在其論文中首次提出這一理論的操作方法。這一方法基于除法計(jì)算而來(lái)，固定除法計(jì)算中的余數(shù)與除數(shù)，從0、1、2、3等自然數(shù)開(kāi)始不斷改變商值，得到一系列除數(shù)，將這些除數(shù)排列起來(lái)，再運(yùn)用數(shù)學(xué)中的交集、并集等計(jì)算，得到序列。例如，固定除數(shù)為4，余數(shù)為3，先代入商為0時(shí)，被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，即被除數(shù)=4×0+3=3；商為1時(shí)，被除數(shù)=4×1+3=7，以此類推，將得到一連串?dāng)?shù)字，然后設(shè)置不同的被除數(shù)和余數(shù)，再累計(jì)計(jì)算，又將得到一連串?dāng)?shù)字，將他們運(yùn)用交集并集計(jì)算，就能得到所需的序列。作曲家按照需要，決定最小數(shù)字和單位數(shù)字1所代表的音高和音程關(guān)系，以得到音高，也可以據(jù)此得到節(jié)奏、力度等序列，以形成不同于整體序列主義或十二音序列的模式［6］。

但他為何要批判決定論后再創(chuàng)一個(gè)新的決定論的序列手法呢？從篩選理論的創(chuàng)作手法來(lái)看，作曲家設(shè)置的是音高形成的初試狀態(tài)，只確定了多個(gè)不同的被除數(shù)和余數(shù)，經(jīng)過(guò)交集和并集計(jì)算后，誰(shuí)都無(wú)法提前預(yù)測(cè)結(jié)果，音高、音程、節(jié)奏、力度等關(guān)系是未知的，在經(jīng)過(guò)一定小節(jié)以后，作曲家會(huì)改變除數(shù)和余數(shù)的數(shù)值，改變接下來(lái)的序列，直到作曲家用開(kāi)頭的音高序列呈現(xiàn)再現(xiàn)原則來(lái)結(jié)束整部作品。這樣看來(lái)，與十二音原型序列和功能和聲不同，篩選理論的決定論思維是根據(jù)小節(jié)數(shù)不斷改變的，經(jīng)過(guò)一定小節(jié)后，其主導(dǎo)作用的角色將不斷改變，而在受到?jīng)Q定論約束的這部分小節(jié)中，各個(gè)音樂(lè)要素并不是在作曲家的嚴(yán)格控制下產(chǎn)生的，而是經(jīng)過(guò)交集和并集計(jì)算后產(chǎn)生的隨機(jī)結(jié)果，體現(xiàn)出決定論框架下的隨機(jī)性。

1.2 非決定論

澤納基斯認(rèn)為，決定論思維不再適合當(dāng)今世界音樂(lè)發(fā)展的脈絡(luò)，取而代之的應(yīng)是非決定論或偶然性（indeterminism，chance）。但澤納基斯的偶然性思維不同于美國(guó)作曲家約翰·凱奇，他不愿意將音樂(lè)創(chuàng)作的權(quán)利交給骰子，認(rèn)為讓上帝來(lái)決定音樂(lè)創(chuàng)作是作曲家不負(fù)責(zé)任的表現(xiàn)。作為解決方案，澤納基斯采用《概率論》學(xué)科中的思維作為形成作品的方法。非決定論思維并非完全與決定論思維相對(duì)，在調(diào)性和聲的教科書(shū)上總能見(jiàn)到如此表達(dá)：導(dǎo)和弦（Vii）大多時(shí)候以第一轉(zhuǎn)位出現(xiàn)，在四部和聲的寫(xiě)作中，多重復(fù)三音，也可以重復(fù)五音；六級(jí)和弦（VI）在和聲連接中，后多跟三級(jí)和弦（III），也可跟同功能組的IV、II級(jí)和弦；調(diào)性音樂(lè)以屬到主和弦終止作為區(qū)分樂(lè)段等表述?！岸唷薄翱梢浴钡缺磉_(dá)本身就具有一定的概率性。在曲式結(jié)構(gòu)中，屬主終止來(lái)決定樂(lè)段的說(shuō)法并不是100%的，如在奧地利作曲家貝多芬和舒伯特的奏鳴曲式作品中，更多時(shí)候是在屬和弦、導(dǎo)七和弦甚至在一個(gè)延長(zhǎng)音上結(jié)束一個(gè)樂(lè)段。

澤納基斯如何運(yùn)用非決定論思維作曲？他將《概率論》學(xué)科中的知識(shí)章節(jié)作為指導(dǎo)作曲的技術(shù)理論，不遺余力地在自己的著作中用150多頁(yè)闡述概率論中的數(shù)學(xué)公式、原理等內(nèi)容，使其占整部著作的1/3。其中運(yùn)用了豐富的函數(shù)圖像、公式等。在如此煩瑣的數(shù)學(xué)公式和原理中，作曲家將作曲技法分為兩類，一類是基于馬爾可夫鏈的技法，另一類是基于計(jì)算機(jī)控制的隨機(jī)算法。對(duì)于這兩類技法，筆者用生活案例來(lái)解釋，以便音樂(lè)領(lǐng)域的讀者理解。基于計(jì)算機(jī)控制的算法中亦有分類，筆者在此僅舉例作曲家在音樂(lè)中采用布朗運(yùn)動(dòng)的技巧。這兩類中，馬爾可夫鏈占據(jù)極為重要的地位，但作曲家運(yùn)用的《概率論》知識(shí)并不止兩種，他還綜合運(yùn)用泊松分布、正態(tài)分布等多種概率型。

第一，馬爾可夫鏈。該統(tǒng)計(jì)學(xué)概念因1906年由俄羅斯數(shù)學(xué)家安德雷·馬爾可夫（Andrey A Markov，1856—1922）提出而得名。馬爾可夫鏈指對(duì)一系列事件而言，下一階段即將發(fā)生的事情只與當(dāng)下有關(guān)，而不與之前事件相關(guān)［7］。筆者以一個(gè)班同學(xué)們的成績(jī)變化為例。

假定某年級(jí)共有學(xué)生300人，第一次考試后，得分在甲、乙、丙等級(jí)的學(xué)生人數(shù)均為100人；第二次考試后，得甲、乙、丙等級(jí)的人數(shù)為130人、130人和40人。通過(guò)詢問(wèn)，教師發(fā)現(xiàn)，第一次考試得甲級(jí)的學(xué)生中有50人在第二次考試中仍然是甲級(jí)，有40人變?yōu)橐壹?jí)，有10人變?yōu)楸?jí)；第一次得乙級(jí)的學(xué)生有40人提高為甲級(jí)，50人保持在乙級(jí)，還有10人下降為丙級(jí)；第一次得丙級(jí)的學(xué)生有40人升為甲級(jí)，40升為丙級(jí)，20人保持在丙級(jí)。由此便能夠得出甲級(jí)保留自身的概率為50%，轉(zhuǎn)移至乙級(jí)的概率為40%，轉(zhuǎn)移至丙級(jí)的概率為10%；乙級(jí)轉(zhuǎn)移至甲級(jí)的概率為40%，保留自身的概率為50%，轉(zhuǎn)移至丙級(jí)的概率為10%；對(duì)丙級(jí)來(lái)說(shuō)，三個(gè)比例分別為40%、40%和20%［8］。

在計(jì)算出這三個(gè)等級(jí)在第一和第二次考試的轉(zhuǎn)移概率后，教師便能推測(cè)出第三次考試后三個(gè)等級(jí)的人數(shù)分布。甲級(jí)有133人，乙級(jí)有133人，丙級(jí)有34人。根據(jù)數(shù)據(jù)，教師們能為成績(jī)會(huì)下降的學(xué)生提出建議。

澤納基斯運(yùn)用這一手法作曲時(shí)，設(shè)置了一個(gè)初始的音高、力度和節(jié)奏范圍，根據(jù)自身喜好設(shè)置一個(gè)轉(zhuǎn)移概率，這些不同的轉(zhuǎn)移概率涉及音高、力度、節(jié)奏、音區(qū)等。例如，小字組演奏完成后轉(zhuǎn)移至大字組的概率、Pianissimo力度后變?yōu)镕orte力度的轉(zhuǎn)移概率等。作曲家對(duì)音樂(lè)各個(gè)參數(shù)設(shè)置轉(zhuǎn)移概率必將導(dǎo)致大量的數(shù)據(jù)和計(jì)算困難，這也是作曲家引入計(jì)算機(jī)計(jì)算的原因。

第二，布朗運(yùn)動(dòng)。布朗運(yùn)動(dòng)（Brownian Movements）既是統(tǒng)計(jì)學(xué)概念，也是物理學(xué)概念，指懸浮在液體或氣體中分子小而混亂的運(yùn)動(dòng)，這些運(yùn)動(dòng)由它們與周圍分子碰撞引起［9］。布朗運(yùn)動(dòng)因1827年由羅伯特·布朗（Robert Brown，1773—1858）發(fā)現(xiàn)而得名，這樣的物理現(xiàn)象被澤納基斯用在弦樂(lè)的滑音上。

布朗運(yùn)動(dòng)

圖1

圖1中，筆者展示了1971年澤納基斯運(yùn)用布朗運(yùn)動(dòng)創(chuàng)作的一部小提琴獨(dú)奏作品MIKKA開(kāi)頭的一部分。譜例中最突出的特征是音與音之間的滑奏。值得注意的是，作曲家并不是在創(chuàng)作好音高后再添加滑奏標(biāo)記，而是從第一個(gè)音開(kāi)始，通過(guò)計(jì)算機(jī)隨意取值，來(lái)決定下一個(gè)音滑到哪里。由計(jì)算機(jī)決定的數(shù)值有兩個(gè)——滑奏線條的斜率和滑奏的方向，這兩個(gè)數(shù)值都是通過(guò)概率手法來(lái)控制的。

如圖1中的#c1音，它的滑奏方向是斜向上的，滑走符號(hào)與水平線間的夾角由斜率決定，隨后在這一路徑上選擇一個(gè)長(zhǎng)度，便能得到升高三四分音符的c3音，改變斜率、長(zhǎng)度和方向中的任何一個(gè)均能夠改變旋律進(jìn)程。除此之外，澤納基斯還綜合運(yùn)用決定論與非決定論的作曲技法，使之成為兩級(jí)（bio-pole）之間的第三個(gè)部分，被稱為GAMES。由于這一部分的內(nèi)容是上述手法的綜合，筆者不再贅述。

2 結(jié)語(yǔ)

1966年，澤納基斯建立了EMAMu機(jī)構(gòu)（l'équipe de mathématique et automatique musicales），后于1972年改名為CEMAMu（Centre d'études de mathématique et automatique musicales）。澤納基斯致力于計(jì)算機(jī)音樂(lè)及相關(guān)研究，其中不乏運(yùn)用電子音樂(lè)或信息技術(shù)理論中的傅里葉轉(zhuǎn)換來(lái)產(chǎn)生新的聲音。粗略來(lái)看，作曲家隨機(jī)音樂(lè)的三個(gè)分類似乎是基于音高的創(chuàng)新，但從具體操作來(lái)看，他的音樂(lè)理念是扎根于音色的。在澤納基斯的時(shí)代，正是具體音樂(lè)和電子音樂(lè)融合發(fā)展、相互促進(jìn)的時(shí)代，其從建筑師身份出發(fā)，將在建筑中運(yùn)用新材料、新結(jié)構(gòu)的手法轉(zhuǎn)移到音樂(lè)的新音色中，其目標(biāo)并不是重建一個(gè)序列主義的圍墻，而是將數(shù)學(xué)、電子音樂(lè)乃至物理聲學(xué)相結(jié)合，創(chuàng)造出從未有過(guò)的新音色。澤納基斯對(duì)音色的操作涉及聲學(xué)與電子音樂(lè)的內(nèi)容，這是筆者未來(lái)的研究方向。

了解隨機(jī)音樂(lè)的分類，是明確研究方向的前提；剖析分類中的具體技法，是梳理數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵；對(duì)音色的創(chuàng)新，是澤納基斯運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的目的。

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作者簡(jiǎn)介：付騰 （1995—） ，男，研究方向：西方音樂(lè)。