? 江蘇省蘇州市相城區(qū)教育發(fā)展中心 凌 健

1 背景

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》明確要求應(yīng)整體把握教學(xué)內(nèi)容,推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì),注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化.這就需要在教學(xué)中重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析,幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系[1].在章始課的教學(xué)中,由于對(duì)大單元教學(xué)的認(rèn)識(shí)不精準(zhǔn),目前出現(xiàn)了兩大突出問(wèn)題.一是很多教師非常注重知識(shí)體系的建構(gòu),但卻容易忽視章始課內(nèi)容學(xué)習(xí)的深度,導(dǎo)致學(xué)生對(duì)內(nèi)容本身缺乏深刻的感悟.二是有的教師認(rèn)為大單元教學(xué)視域下的章始課可以無(wú)限突破新授范圍,更有甚者用一節(jié)課上完整章內(nèi)容,面面俱到,沒(méi)有控制好度.一堂好的章始課,必須要處理好這兩方面的關(guān)系,讓學(xué)生既能看清樹(shù)木,又能俯視整片森林,同時(shí)又不額外增加學(xué)生負(fù)擔(dān).下面結(jié)合筆者的一節(jié)大市課改展示課蘇科版“6.1函數(shù)”的教學(xué)加以說(shuō)明.

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 基于情境,發(fā)現(xiàn)變量

觀看一段關(guān)于中國(guó)空間站、遼寧號(hào)航母和高鐵的視頻.

師:自然中,萬(wàn)事萬(wàn)物都是運(yùn)動(dòng)變化的,比如空間站的位置隨時(shí)間的變化而變化等,通過(guò)數(shù)學(xué)思考可以知道,有些變量之間存在著變化關(guān)系.下面我們來(lái)看實(shí)例.

問(wèn)題1復(fù)興號(hào)高鐵列車(chē)從蘇州開(kāi)往北京,在某個(gè)時(shí)段,保持350 km/h速度勻速行駛,在列車(chē)行駛的過(guò)程中,涉及到哪些量?在這些量中,哪些量是不變的?哪些量是不斷變化的?

生:涉及路程、速度和時(shí)間.速度和總路程是不變的;時(shí)間、列車(chē)行駛的路程和列車(chē)距離終點(diǎn)的路程是不斷變化的.

師:沒(méi)有變化的量應(yīng)該叫什么?可以取不同數(shù)值的量又叫什么呢?

生:沒(méi)有變化的量叫常量;可以取不同數(shù)值的量叫變量.

師:列車(chē)行駛的路程和時(shí)間這兩個(gè)變量之間有怎樣的關(guān)系?

生:列車(chē)行駛的路程隨著時(shí)間的變化而變化.

師:我們從實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)了變量,而且有些變量間存在關(guān)聯(lián),關(guān)聯(lián)變量間有變化關(guān)系,有些問(wèn)題中常常含有多個(gè)變量.今天我們來(lái)研究最簡(jiǎn)單的兩個(gè)變量之間的關(guān)系.

教學(xué)說(shuō)明:類(lèi)比代數(shù)式和方程的學(xué)習(xí),將從實(shí)際問(wèn)題中抽象出已知量和未知量的經(jīng)驗(yàn)遷移到學(xué)習(xí)函數(shù)的過(guò)程當(dāng)中.學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出常量和變量,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題當(dāng)中常常含有多個(gè)變量,先從最簡(jiǎn)單的兩個(gè)變量之間的關(guān)系開(kāi)始研究.

2.2 研究變量,感悟關(guān)系

變式復(fù)興號(hào)高鐵列車(chē)從蘇州開(kāi)往北京,若保持350 km/h速度勻速行駛,行駛的時(shí)間為th,行駛的路程為skm.

填寫(xiě)表1:

表1

問(wèn)題2觀察表1,你能發(fā)現(xiàn)高鐵行駛的時(shí)間和高鐵行駛的路程這兩個(gè)變量之間的關(guān)系嗎?

追問(wèn):上一章我們學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系,你能在平面直角坐標(biāo)系中描出這些點(diǎn)嗎?

活動(dòng)組織:學(xué)生通過(guò)描點(diǎn),猜想兩個(gè)變量構(gòu)成的有序?qū)崝?shù)對(duì)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能在一直線上.

教師總結(jié):可以通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線畫(huà)圖,借助圖象預(yù)測(cè)變化趨勢(shì).

問(wèn)題3三峽水庫(kù)蓄水總庫(kù)容量為3.93×1010m3,某段時(shí)間內(nèi)水位的高低與相應(yīng)的蓄水量如表2所示,

表2

表2中有幾個(gè)變量?它們之間有什么關(guān)系?

問(wèn)題4如圖1,搭一條小魚(yú)需要8根火柴棒,每多搭一條小魚(yú)就要增加6根火柴棒.請(qǐng)?zhí)畋?.

圖1

表3

在搭小魚(yú)的過(guò)程中有哪幾個(gè)變量?它們之間有什么關(guān)系?

教學(xué)說(shuō)明:問(wèn)題2由教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)兩個(gè)變量之間滿足的三層關(guān)系,這里通過(guò)列表、描點(diǎn)和連線畫(huà)出函數(shù)圖象點(diǎn)到即止,不需要深入探究;問(wèn)題3讓學(xué)生自己感悟,嘗試自主歸納和表達(dá)兩個(gè)變量之間的三層關(guān)系;問(wèn)題4再一次強(qiáng)化兩個(gè)變量之間的三層關(guān)系,并能流暢地進(jìn)行表達(dá).同時(shí),讓學(xué)生感悟到可以用圖表、解析式和圖象等多種形式來(lái)描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系.

2.3 提取要義,抽象概念

觀看視頻《函數(shù)的由來(lái)》.

問(wèn)題5了解了函數(shù)這個(gè)詞的由來(lái),你能給函數(shù)下個(gè)定義嗎?什么叫函數(shù)?

教學(xué)說(shuō)明:通過(guò)觀看視頻,引導(dǎo)學(xué)生給函數(shù)下定義.學(xué)生自主歸納函數(shù)的概念,講得不夠完整的地方,再由其他同學(xué)不斷進(jìn)行完善.這里的完善要做到三點(diǎn).第一點(diǎn),讓學(xué)生說(shuō)出在一個(gè)變化過(guò)程中兩個(gè)變量之間滿足的三層關(guān)系:①一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化而變化;②當(dāng)一個(gè)變量確定時(shí),另一個(gè)變量也隨之確定;③對(duì)于一個(gè)變量的每一個(gè)值,另一個(gè)變量都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng).第二點(diǎn),讓學(xué)生總結(jié)提煉,發(fā)現(xiàn)第③層包含第①②層的關(guān)系,在定義里只需要保留③即可.第三點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)提煉,發(fā)現(xiàn)用字母x,y代替變量可以使陳述更為簡(jiǎn)潔.在這個(gè)過(guò)程中,教師不斷地提問(wèn)和追問(wèn),學(xué)生不斷地思考和表達(dá),最后水到渠成,函數(shù)的概念自然生成.在此過(guò)程中,加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解,促進(jìn)學(xué)生抽象能力的發(fā)展.

2.4 應(yīng)用概念,解決問(wèn)題

練習(xí)1把一根長(zhǎng)20 cm的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形.

(1)當(dāng)長(zhǎng)方形的寬為3 cm時(shí),長(zhǎng)為多少?

(2)當(dāng)長(zhǎng)方形的寬為4 cm時(shí),長(zhǎng)為多少?

(3)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的函數(shù)嗎?如果是,請(qǐng)寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

練習(xí)2表4中的y是x的函數(shù)嗎?為什么?

表4

練習(xí)3圖2的四個(gè)圖形中,表示y是x的函數(shù)的是( ).

圖2

教學(xué)說(shuō)明:學(xué)生先自主完成,再通過(guò)小組討論,組內(nèi)統(tǒng)一意見(jiàn),每組推薦一名代表上講臺(tái)講題展示.通過(guò)練習(xí)1,深化學(xué)生對(duì)概念的理解;通過(guò)練習(xí)2,再次強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念中“唯一對(duì)應(yīng)”的理解;通過(guò)練習(xí)3,引導(dǎo)學(xué)生作x軸的垂線,發(fā)現(xiàn)只有選項(xiàng)C中所作垂線與圖象只有一個(gè)交點(diǎn),滿足函數(shù)的定義.這個(gè)探究過(guò)程培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直觀和創(chuàng)新意識(shí).教師繼續(xù)追問(wèn),你認(rèn)為函數(shù)有哪些表示方法?學(xué)生通過(guò)前面的學(xué)習(xí)和三個(gè)練習(xí)的鞏固,歸納出函數(shù)一般有列表法、圖象法和解析法等多種表示方法.

問(wèn)題6你能舉出其他的函數(shù)實(shí)例嗎?

追問(wèn):在C=2πR中,圓的周長(zhǎng)C是半徑R的函數(shù),那么R是C的函數(shù)嗎?在S=πR2(S>0)中,圓的面積S是半徑R的函數(shù),那么R是S的函數(shù)嗎?

編題:學(xué)校準(zhǔn)備開(kāi)展種菜勞動(dòng)項(xiàng)目,要圍一個(gè)______的長(zhǎng)方形菜地,這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)y是寬x的函數(shù),請(qǐng)寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式.(橫線部分不小心被黑墨水蘸了,請(qǐng)你添加一個(gè)條件使題目完整.)

師:接下來(lái)請(qǐng)大家把題目補(bǔ)充完整并解答.

生:受到前面練習(xí)題的啟發(fā),我添加了“周長(zhǎng)是20 m”,此時(shí)解析式為y=-x+10.

師:很好.你還能創(chuàng)設(shè)一個(gè)新的條件嗎?

生:面積為20 m2.

師:解析式是什么?

教學(xué)說(shuō)明:通過(guò)添加適當(dāng)?shù)臈l件來(lái)編題,考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的遷移能力和應(yīng)用能力,培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

2.5 總結(jié)提煉,建構(gòu)體系

問(wèn)題7回憶一下,關(guān)于擺搭小魚(yú),你還解決過(guò)哪些問(wèn)題?

在有理數(shù)中,我們解決了搭一條小魚(yú)需幾根火柴棒;在代數(shù)式中,解決了搭n條小魚(yú)需幾根火柴棒;在方程中,又解決了140根火柴棒能搭多少條小魚(yú);在不等式中,解決了用少于50根的火柴棒最多搭能多少條小魚(yú).

追問(wèn):方程、不等式和函數(shù)之間有什么關(guān)系?

分析：通過(guò)擺搭小魚(yú)這一個(gè)情境,形成思維導(dǎo)圖,如圖3所示.

圖3

將數(shù)與代數(shù)的整個(gè)知識(shí)進(jìn)行串聯(lián),讓學(xué)生回顧代數(shù)的學(xué)習(xí)歷程:數(shù)—式—方程—不等式—函數(shù).通過(guò)問(wèn)題串的設(shè)計(jì),在知識(shí)橫向串聯(lián)成線的基礎(chǔ)上進(jìn)一步縱向交織成網(wǎng).學(xué)生感悟到數(shù)與式是后續(xù)學(xué)習(xí)方程、不等式和函數(shù)的基礎(chǔ),方程、不等式與函數(shù)之間存在著特殊與一般的關(guān)系,因此可以用研究方程和不等式的方法來(lái)研究函數(shù).通過(guò)回顧方程和不等式的研究路徑來(lái)猜想研究函數(shù)的一般路徑是概念與表示—圖象與性質(zhì)—應(yīng)用.

繼續(xù)追問(wèn):觀察黑板上的函數(shù)關(guān)系式,請(qǐng)按自變量的次數(shù)對(duì)它們進(jìn)行分類(lèi)和命名.

生:可分別命名為一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù).

教師:請(qǐng)大家談?wù)劚竟?jié)課有哪些收獲?

學(xué)生從知識(shí)、思想方法等層面加以總結(jié),教師完善結(jié)構(gòu)化板書(shū)(如圖4).

圖4

3 教學(xué)反思

3.1 大單元教學(xué)要注重教學(xué)和核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)

新課標(biāo)指出,要注重教學(xué)與核心素養(yǎng)之間的關(guān)聯(lián).大單元教學(xué)視域下的教學(xué)目標(biāo)可以分為單元整體教學(xué)目標(biāo)和具體課時(shí)教學(xué)目標(biāo).考慮到核心素養(yǎng)在教學(xué)中的達(dá)成,函數(shù)主題的素養(yǎng)表現(xiàn)目標(biāo)定為關(guān)注數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和應(yīng)用意識(shí)的形成和發(fā)展;本課時(shí)定為關(guān)注數(shù)學(xué)抽象能力和應(yīng)用意識(shí)的發(fā)展.為了實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo),進(jìn)行了單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化.課堂教學(xué)通過(guò)課堂對(duì)話、追問(wèn)和靈性思考,實(shí)現(xiàn)函數(shù)概念的自然生成,學(xué)習(xí)任務(wù)在生生互動(dòng)、不斷發(fā)現(xiàn)、健全認(rèn)知和完善表達(dá)中完成,在問(wèn)題變通過(guò)程中創(chuàng)新解決.函數(shù)概念的生成和表示方法的探索過(guò)程,發(fā)展了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

3.2 大單元教學(xué)要以大概念為核心,使內(nèi)容結(jié)構(gòu)化

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出,要重視以學(xué)科大概念為核心,使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化,以主題為引領(lǐng),使課程內(nèi)容情境化,促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí).顯然,函數(shù)概念在函數(shù)主題中居于核心地位,因此將其確定為學(xué)科大概念.一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)等都是函數(shù)概念的下位概念.由此可以建立學(xué)習(xí)函數(shù)的一般路徑,確定函數(shù)的研究方法,滲透數(shù)學(xué)思想,開(kāi)展類(lèi)比學(xué)習(xí),形成知識(shí)體系、方法體系和思想體系,使得這些原先弧立的、零散的內(nèi)容產(chǎn)生關(guān)聯(lián),變得有序,最終形成結(jié)構(gòu).結(jié)構(gòu)化包括所學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化,研究方法的結(jié)構(gòu)化和數(shù)學(xué)思想的結(jié)構(gòu)化.在數(shù)與代數(shù)中,數(shù)和式是研究方程、不等式和函數(shù)的基礎(chǔ),方程和不等式又與函數(shù)存在著特殊與一般的關(guān)系,凸顯了函數(shù)在數(shù)與代數(shù)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的核心地位,揭示了學(xué)習(xí)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)和結(jié)構(gòu).由此可見(jiàn),大概念是大單元的靈魂,而大單元是大概念的骨架和血肉,結(jié)構(gòu)化是二者的結(jié)晶.

3.3 大單元教學(xué)要以學(xué)習(xí)者為中心

新課標(biāo)指出,學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)是一個(gè)主動(dòng)的過(guò)程.本節(jié)課通過(guò)獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流的方式學(xué)習(xí),充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位.大單元教學(xué)視域下的課堂始終以學(xué)生的發(fā)展為中心,在傳授知識(shí)的同時(shí),更提升了學(xué)生的智慧和能力.課堂沿著預(yù)設(shè)促進(jìn)學(xué)生思考,在對(duì)話中開(kāi)啟學(xué)生智慧,在生成中推動(dòng)學(xué)生發(fā)展[2],體現(xiàn)出以學(xué)習(xí)者為中心的理念,真正做到學(xué)科育人.

3.4 大單元教學(xué)做到深度和適度并重

新課標(biāo)在課程實(shí)施的教學(xué)建議部分指出,要整體把握教學(xué)內(nèi)容.在大單元教學(xué)視域下,既要做好教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化,又要充分挖掘教學(xué)深度.本節(jié)函數(shù)起始課在初步建構(gòu)知識(shí)體系的同時(shí),對(duì)于起始課的內(nèi)容也力求教得深刻,讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、試驗(yàn)、猜測(cè)、推理、交流、反思、開(kāi)放編題等活動(dòng),對(duì)函數(shù)概念形成深刻的感悟.學(xué)生通過(guò)探究數(shù)、式、方程、不等式與函數(shù)的特殊與一般關(guān)系,發(fā)現(xiàn)可以類(lèi)比研究方程和不等式的思想方法和路徑來(lái)研究函數(shù)[3],在形成系統(tǒng)思考的同時(shí),通過(guò)類(lèi)比,猜想函數(shù)的后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容.本課教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)后續(xù)內(nèi)容的猜想和探究,以點(diǎn)帶面、點(diǎn)到即止,適度展開(kāi),只為完善結(jié)構(gòu)體系,沒(méi)有過(guò)于深入.最后形成結(jié)構(gòu)化的板書(shū)是畫(huà)龍點(diǎn)睛之筆,讓知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)可視化.