張子龍，潘秋景,2，仉文崗，黃 阜

(1.中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南，長沙 410075；2.中南大學(xué)隧地工程研究中心，湖南，長沙 410075；3.重慶大學(xué)土木工程學(xué)院，重慶 400045；4.長沙理工大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南，長沙 410004)

地鐵的通行釋放了城市的地面空間，在很大程度上緩解了日益增加的人口和車輛給城市交通系統(tǒng)帶來的壓力。盾構(gòu)法以其自動化程度高、安全快速、環(huán)境友好等特點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于地鐵隧道的施工中。在城市建筑物密集、人口稠密的復(fù)雜環(huán)境下修建地鐵隧道時需嚴(yán)格控制對周邊環(huán)境的影響。因此，科學(xué)合理地預(yù)測地層變形對保障施工安全具有重要意義。此外，城市軌道交通作為“十四五”規(guī)劃中“新基建”的重要一環(huán)，如何使地鐵建設(shè)朝著智能綠色、安全可靠的現(xiàn)代化、智慧化方向發(fā)展是需要進(jìn)一步研究的課題。

當(dāng)前有關(guān)盾構(gòu)施工誘發(fā)地表沉降的研究方法主要有：經(jīng)驗(yàn)公式法[1-3]、解析法[4-8]、數(shù)值模擬[9-11]、模型試驗(yàn)[12-13]、機(jī)器學(xué)習(xí)[14-16]等。以Peck 公式[1]及其修正形式[3]為代表的經(jīng)驗(yàn)公式法可以反映地表沉降的一般形態(tài)，但需要基于實(shí)測資料和地域特性并結(jié)合具體的施工方法才能得到比較合理的預(yù)測結(jié)果[2]。解析法的理論推導(dǎo)過程復(fù)雜，且大多忽視了地層變形是一個動態(tài)的過程，導(dǎo)致其工程應(yīng)用性較差。數(shù)值模擬可以最大程度地描述實(shí)際施工過程，被廣泛應(yīng)用于盾構(gòu)施工誘發(fā)地層變形的分析中[10-11]，但也存在輸入?yún)?shù)過多、參數(shù)不明確、計(jì)算成本較高等缺點(diǎn)。模型試驗(yàn)[12-13]對于揭示沉降變形的規(guī)律及演變機(jī)理有重要價值，但由于試驗(yàn)成本較高，試驗(yàn)結(jié)果與工程實(shí)際差距較大，對工程的指導(dǎo)相對有限。

伴隨著計(jì)算機(jī)和人工智能技術(shù)的發(fā)展，以機(jī)器學(xué)習(xí)方法為代表的代理模型在巖土工程和隧道工程領(lǐng)域展現(xiàn)了廣闊的應(yīng)用前景[17-22]。CHEN等[14]對反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在預(yù)測盾構(gòu)隧道施工誘發(fā)地表沉降方面的性能進(jìn)行了對比，以長沙地鐵4 號線的工程實(shí)測數(shù)據(jù)為樣本進(jìn)行了訓(xùn)練和驗(yàn)證，表明了廣義回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測結(jié)果與實(shí)測結(jié)果有較強(qiáng)的相關(guān)性。林榮安等[23]提出了一種粗糙集和支持向量機(jī)耦合的算法 (RS-SVR)，實(shí)現(xiàn)了對上軟下硬地質(zhì)條件下盾構(gòu)施工誘發(fā)地表沉降的準(zhǔn)確預(yù)測。陳仁朋等[24]對反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) (BPNN) 和隨機(jī)森林算法 (RF) 在預(yù)測地表沉降上的準(zhǔn)確性進(jìn)行了對比，以粒子群算法優(yōu)化BPNN 和RF 中的超參數(shù)以提高其魯棒性，結(jié)果表明RF 算法具有更優(yōu)的預(yù)測性能。FREITAG 等[15]借助循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和正交分解法預(yù)測了盾構(gòu)隧道掘進(jìn)產(chǎn)生的地表沉降場。不可否認(rèn)，上述機(jī)器學(xué)習(xí)方法提升了地表沉降預(yù)測的效率，但需要借助大量的訓(xùn)練樣本，而實(shí)際工程的復(fù)雜性難以保證充足的訓(xùn)練數(shù)據(jù)。究其原因是上述模型僅依靠數(shù)據(jù)驅(qū)動建立輸入與輸出之間的非線性映射關(guān)系，忽視了隧道施工與地層響應(yīng)之間的物理機(jī)理，導(dǎo)致其泛化能力差，過分依賴大數(shù)量訓(xùn)練樣本的弊端[25]。

近年來，RAISSI 等[26]提出了物理信息深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) (PINN)，顛覆了傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)方法的“黑箱”工具屬性，PINN 的巧妙之處在于可以集成研究對象內(nèi)在的物理規(guī)律，在處理流體力學(xué)、量子力學(xué)和計(jì)算力學(xué)等問題上展現(xiàn)了強(qiáng)大的計(jì)算能力。不僅如此，PINN 在對未知物理量的反演問題上也逐漸嶄露頭角[27]。作為一種新興的深度學(xué)習(xí)方法，雖然在處理力學(xué)問題上已引起了較多的關(guān)注[28-29]，但其工程應(yīng)用的潛力有待進(jìn)一步開發(fā)。盾構(gòu)隧道施工誘發(fā)地層變形的過程顯然滿足一定的物理力學(xué)機(jī)理，這也是解析法和以有限元為代表的數(shù)值模擬法的理論基礎(chǔ)。因此，將盾構(gòu)施工誘發(fā)地表沉降的物理機(jī)理耦合至深度學(xué)習(xí)框架，結(jié)合已有的工程實(shí)測數(shù)據(jù)，構(gòu)建數(shù)據(jù)-物理雙驅(qū)動的PINN 預(yù)測模型，以期為盾構(gòu)施工誘發(fā)地表沉降的預(yù)測提供一種新的、有效的解決途徑。

本文基于Verruijt 和Booker 提出的隧道開挖誘發(fā)地層變形的解析模型，以深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對Verruijt-Booker 解的圍巖位移因子進(jìn)行修正，從而建立地表沉降與開挖面空間位置的關(guān)聯(lián)。將修正后的物理控制方程耦合至另一并行的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)框架中，構(gòu)建用以預(yù)測盾構(gòu)施工誘發(fā)地表沉降的PINN 模型。以施工前期一定數(shù)量的實(shí)測數(shù)據(jù)為訓(xùn)練樣本，預(yù)測后續(xù)施工過程開挖面處于不同位置時的圍巖位移因子，控制方程的物理信息通過PINN 損失函數(shù)中的物理殘差項(xiàng)進(jìn)行約束，通過迭代優(yōu)化，可以實(shí)現(xiàn)對工程后期施工過程中開挖面處在不同位置時監(jiān)測斷面地表變形的預(yù)測。研究表明：預(yù)測得到的地表沉降曲線與工程實(shí)測數(shù)據(jù)吻合較好，PINN 相較于傳統(tǒng)DNN 方法顯著降低了對訓(xùn)練樣本的需求量，泛化性能顯著提升；提出的方法有助于提高盾構(gòu)隧道施工中地表沉降安全控制的智慧化程度，可為工程的潛在風(fēng)險(xiǎn)和施工決策提供預(yù)警和指導(dǎo)。

1 物理力學(xué)基礎(chǔ)

1.1 半無限空間隧道誘發(fā)地層變形的解析解

半無限空間隧道誘發(fā)地層位移的解析解目前限于線彈性范圍[5,8,30]，經(jīng)典的Verruijt-Booker 解提供了一個簡潔合理的解答[5]，在合理地確定圍巖位移因子ur和ue后，即可得到符合工程實(shí)際情況的地表沉降預(yù)測值[31-32]。

圖1 給出了Verruijt-Booker 解中兩種圍巖位移因子的示意圖。其中：ur為隧道開挖過程中地層損失所引起的均勻徑向位移；ue為由各向異性初始應(yīng)力引起的隧道輪廓橢圓化變形?；谏鲜黾僭O(shè)，可在 (x,z) 空間內(nèi)定義在 (0,h) 和 (0,－h(huán)) 區(qū)間點(diǎn)的彈性理論奇異解[30]，如圖2 所示，得到隧道及其映像在x和z方向的位移表達(dá)式為：

圖1 隧道卸載引起的地層損失和橢圓化變形Fig.1 Ground loss and ovalization of a tunnel

圖2 奇異點(diǎn)及其映像Fig.2 A singularity and its image

式中：k=ν/(1+ν)；z1=z-h；z2=z+h。

此時，在自由面z= 0 處會出現(xiàn)一個非零的法向應(yīng)力。由于奇異解嚴(yán)格的對稱性，需在自由面處施加一個大小相等方向相反的法向力，從而得到的位移解為：

式中，m=1/(1-2ν)。地層位移ux、uz的最終解即為式(1)和式(3)，式(2)和式(4)的和。

在自由表面z=0處，可得地表沉降值為：

其中：

在求解得到位移以后，相應(yīng)的應(yīng)力和應(yīng)變分量即可根據(jù)彈性力學(xué)的基本原理求解得到。半無限空間隧道誘發(fā)沉降變形的控制方程總結(jié)為：

式中： σij和 εij(i,j=x,z)分別為應(yīng)力和應(yīng)變張量；下標(biāo)逗號表示偏導(dǎo)；fi為體力； δij為克羅內(nèi)克函數(shù)； λ和μ為拉梅常數(shù)，可通過下式計(jì)算得到：

1.2 圍巖的縱向變形

如前所述，Verruijt-Booker 解可以預(yù)測橫斷面的地層變形，準(zhǔn)確程度依賴于假定的圍巖位移因子ur和ue的取值。在Verruijt-Booker 解中未建立位移因子與開挖面掘進(jìn)位置的關(guān)系。實(shí)際上，盾構(gòu)掘進(jìn)過程中，監(jiān)測斷面的地層變形和圍巖位移因子隨開挖面掘進(jìn)位置的不同而變化。因此，確定開挖面在不同位置時Verruijt-Booker 解的圍巖位移因子，即可構(gòu)建監(jiān)測斷面地層變形與開挖面掘進(jìn)位置的關(guān)系。

隧道開挖過程中圍巖變形的空間效應(yīng)如圖3所示，其中橫坐標(biāo)表示開挖面掘進(jìn)位置，縱坐標(biāo)表示拱頂位移；Verruijt-Booker 解中圍巖的拱頂位移為ur和ue的和，在此用us進(jìn)行表示；u∞表示開挖面距監(jiān)測斷面無窮遠(yuǎn)處時的拱頂位移；開挖面處于yi時的拱頂位移為us(yi)，此時有us(yi) =ur(yi) +ue(yi)。在確定ur(yi)和ue(yi)后，再根據(jù)Verruijt-Booker 解便可確定開挖面于yi處時監(jiān)測斷面的地層變形。

圖3 圍巖位移與開挖面空間位置的關(guān)系Fig.3 Relation between the displacement of surrounding rock and the position of excavation surface

基于上述思路，本文以DNN 修正Verruijt-Booker 解中的圍巖位移因子ur和ue，建立地表沉降與開挖面空間位置的關(guān)聯(lián)，即圖3 所示關(guān)系。修正后的圍巖位移因子表示為η = {ur(yi),ue(yi)}，η 將通過DNN 和并行的PINN 共同訓(xùn)練得到，具體的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)在下文的工程應(yīng)用小節(jié)進(jìn)行了詳述。修正后可表征空間效應(yīng)的地表沉降解析表達(dá)式為：

2 PINN 深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)

物理問題往往需要滿足其內(nèi)在規(guī)律，如能量守恒、動量守恒。對于隧道開挖引起的地表沉降而言，也需要滿足一定的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系?；跀?shù)據(jù)-物理雙驅(qū)動的深度學(xué)習(xí)方法，是將研究問題所需滿足的物理機(jī)制耦合至深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)框架中，物理信息通過損失函數(shù)中的物理殘差項(xiàng)進(jìn)行表達(dá)，以此來懲罰不滿足相應(yīng)物理?xiàng)l件的解，約束神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在滿足物理關(guān)系的空間中訓(xùn)練，從而降低對訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)量的過度需求，提高模型的泛化性能。圖4 為PINN 的基本框架圖。

圖4 PINN 框架圖Fig.4 Framework of a physics-informed neural network

深度前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包含輸入層、隱含層和輸出層。隱含層中每一層神經(jīng)元的輸出作為下一層神經(jīng)元的輸入，信號由輸入層向輸出層單向傳播，此單向傳播過程可以表示為：

式中：上標(biāo)l為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)；下標(biāo)i為神經(jīng)元的索引；ali為第l層中全部i個神經(jīng)元的輸出集合；zli為第l層中全部i個神經(jīng)元的輸入集合；wl為第l層中所有權(quán)重的集合；bl為第l層中所有偏置的集合； σ(zli)為激活函數(shù)，本文采用雙曲正切激活函數(shù)：

假定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入變量為X，輸出變量為Y，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的待識別參數(shù) θ=[w,b]，輸入層和輸出層之間的關(guān)系可表示為：

式中， N(·;θ) 為 參數(shù)為 θ的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算子。

2.1 PINN 數(shù)值求解

在第2 節(jié)中已推導(dǎo)得到隧道開挖引起地表沉降的物理關(guān)系。隧道的位置參數(shù)、半徑，以及地層的泊松比一般在地勘資料中會明確給出。在利用PINN 深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解這一問題時，假設(shè)地表監(jiān)測點(diǎn)的位置為x，開挖面位置為y，與圍巖位移因子相關(guān)的模型參數(shù)為 η，內(nèi)在的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可以表示為：

除此之外，控制方程的邊界條件也需要滿足。以PINN 作為代理模型進(jìn)行數(shù)值求解時，損失函數(shù)包括數(shù)據(jù)驅(qū)動項(xiàng)(邊界條件項(xiàng))和物理信息項(xiàng)。其中，數(shù)據(jù)驅(qū)動項(xiàng)與傳統(tǒng)DNN 的損失函數(shù)相同，訓(xùn)練過程需要提供位置坐標(biāo)及對應(yīng)的位移值；而物理信息項(xiàng)僅需要提供位置坐標(biāo)進(jìn)行訓(xùn)練，無需對應(yīng)的位移值，物理關(guān)系通過自動微分后得到的控制方程進(jìn)行約束。相對于傳統(tǒng)的深度學(xué)習(xí)算法需要提供大量的輸入和輸出樣本，PINN改善了對大數(shù)量訓(xùn)練樣本的依賴。損失函數(shù)的具體表示形式如下：

圖5 PINN 數(shù)值計(jì)算與反演的網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)示意圖Fig.5 Diagram of a PINN for numerical calculation and identification

2.2 PINN 參數(shù)反演

PINN 除了在數(shù)值求解代理模型上表現(xiàn)出優(yōu)越的性能外，還具備了強(qiáng)大的參數(shù)反演能力[27]。對于隧道開挖誘發(fā)地表沉降而言，這個問題就變?yōu)椋核淼篱_挖后，通過現(xiàn)場監(jiān)測獲得了掌子面位于不同位置處時監(jiān)測斷面的地表沉降值，以此對未知的地層參數(shù)進(jìn)行反演。換言之，已知{x}，{y}和{u0(x,y)}，對未知的地層參數(shù) (如彈性模量和泊松比) 進(jìn)行反演求解。

PINN 反演過程的網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)保持不變，與正向過程不同的是，反演過程是根據(jù)已知數(shù)據(jù) (如位置坐標(biāo)，位移) 對未知的物理參數(shù) (如地層參數(shù)) 進(jìn)行反演識別。此時的損失函數(shù)仍包含數(shù)據(jù)驅(qū)動項(xiàng)和物理信息項(xiàng)，表示為：

式中，u0(xi,yi)為沉降值u0的訓(xùn)練樣本集合。由于反演過程的位移值均已明確，數(shù)據(jù)驅(qū)動項(xiàng)和物理信息項(xiàng)的訓(xùn)練樣本不再分別進(jìn)行采樣，統(tǒng)一采用隨機(jī)取樣的方式獲得，樣本總數(shù)為N。

3 算例分析

本節(jié)將以兩個算例分別探討PINN 的正向預(yù)測和反向識別能力。假設(shè)隧道所處的位置和場地如圖6 所示，相應(yīng)的隧道半徑、地層泊松比以及位移參數(shù)也在圖中給出。

圖6 隧道位置及其他相關(guān)參數(shù) /mFig.6 Geometry and related parameters of a tunnel

3.1 算例1：PINN 求解隧道開挖引起地層變形

在2.1 節(jié)中已就半無限空間隧道誘發(fā)沉降變形的問題進(jìn)行了推導(dǎo)，本節(jié)將采用PINN 的方法對這一過程進(jìn)行求解。依據(jù)式(8)和邊界條件，PINN需滿足的物理關(guān)系總結(jié)為：

損失函數(shù)表示為：

圖5 給出了PINN 數(shù)值計(jì)算與反演的網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)示意圖。以PINN 求解地層位移時，采用深度神經(jīng) 網(wǎng) 絡(luò) 參 數(shù)u?(x,z,w,b) 代 替u(x,z) (位 移 項(xiàng))，δ?(x,z,w,b) 代 替 δ(x,z) (應(yīng)力項(xiàng))，然后利用自動微分求解應(yīng)力-應(yīng)變分量后得到深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)f?(x,z,w,b) ， 進(jìn)而代替f(x,z) 。 無論權(quán)重w和偏差b取值如何，參數(shù)u?(x,z,w,b) ， δ?(x,z,w,b) 和f?(x,z,w,b)總是需要滿足式(18)所規(guī)定的物理關(guān)系。在訓(xùn)練過程中，給定訓(xùn)練樣本和位置坐標(biāo)，通過最小化損失函數(shù)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)試圖找到“正確的”權(quán)重w?和偏差b?，從而盡可能地使預(yù)測數(shù)據(jù)和殘差微分方程與真實(shí)值相吻合。經(jīng)過不斷地訓(xùn)練和迭代，PINN 得到的預(yù)測值將逐漸逼近真實(shí)解。

圖7 給出了PINN 地層沉降計(jì)算結(jié)果與解析解的對比，其坐標(biāo)與圖2 所示的(x,z)半無限空間相一致。PINN 在洞周邊界上取Nu= 150 個訓(xùn)練樣本(xi,zi,ui)，采用隨機(jī)取樣的方式得到；同時在研究區(qū)域內(nèi)采用拉丁超立方采樣生成了Nv= 1500 個笛卡爾坐標(biāo) (xj,zj)。PINN 深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)置6 個隱含層，每層包含40 個神經(jīng)元，所有神經(jīng)元之間采用全連接的方式進(jìn)行連接，采用雙曲正切激活函數(shù)，損失函數(shù)為均方差函數(shù)。由計(jì)算結(jié)果可知，PINN 的預(yù)測結(jié)果基本完全還原了解析解，而訓(xùn)練樣本僅用了150 個。作為對比，圖8 給出了傳統(tǒng)DNN的計(jì)算結(jié)果。在訓(xùn)練樣本和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)完全相同的情況下，DNN 得到的預(yù)測結(jié)果與實(shí)際值偏差非常大，這表明PINN 的預(yù)測能力相較于傳統(tǒng)DNN 進(jìn)步顯著，體現(xiàn)了PINN 強(qiáng)大的泛化性能。

圖7 PINN 地層沉降預(yù)測結(jié)果Fig.7 Predicted results of vertical ground movements by PINN

圖8 DNN 地層沉降預(yù)測結(jié)果Fig.8 Predicted results of vertical ground movements by DNN

3.2 算例2：基于地層變形反演地層參數(shù)

PINN 可以基于數(shù)據(jù)驅(qū)動對未知的物理參數(shù)進(jìn)行識別，這是PINN 相對于其他深度學(xué)習(xí)方法所獨(dú)有的優(yōu)勢。在此，將4.1 節(jié)的問題反置，假定彈性模量E和泊松比ν是未知的參數(shù)，利用PINN 對其值進(jìn)行反演。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)和參數(shù)與前節(jié)圖5所示的框架保持一致，損失函數(shù)為：

研究區(qū)域內(nèi)采用隨機(jī)取樣選取N= 500 個訓(xùn)練樣本(xi,zi,ui)。

反演得到的地層沉降場如圖9(a)所示，反演結(jié)果和準(zhǔn)確值吻合較好；圖9(b)中地表沉降的反演值與準(zhǔn)確值基本完全一致。表1 對彈性模量E和泊松比ν的反演值及誤差進(jìn)行了總結(jié)?？梢钥闯?，PINN 可以準(zhǔn)確地反演出未知參數(shù)，E和ν的反演誤差分別為0.18%和0.24%，反演結(jié)果保持了較高的精度。需要說明的是，該算例初步探討了PINN 在應(yīng)對未知物理參數(shù)的反演問題上所具備的潛力。實(shí)際工程中，盾構(gòu)穿越地層情況復(fù)雜，利用PINN 對復(fù)雜地層參數(shù)反演是需要深入研究的課題。

表1 反演參數(shù)Table 1 Identified parameters

圖9 PINN 地層沉降反演結(jié)果Fig.9 Identified results of vertical ground movements by PINN

4 工程應(yīng)用

實(shí)際工程中，盾構(gòu)隧道施工誘發(fā)的地表變形隨開挖面掘進(jìn)位置的不同而變化。如第1 節(jié)中所述，Verruijt-Booker 解提供了半無限空間隧道開挖誘發(fā)地層變形的物理力學(xué)基礎(chǔ)，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可以作為PINN 模型的控制方程。在PINN 模型的基礎(chǔ)上，增加一個并行的DNN 框架對Verruijt-Booker 解的圍巖位移因子與開挖面掘進(jìn)位置的關(guān)系進(jìn)行預(yù)測[34]，并與PINN 模型相耦合，即可搭建起地表沉降與開挖面掘進(jìn)位置的關(guān)聯(lián)。PINN 工程應(yīng)用的網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)如圖10 所示。

圖10 PINN 工程應(yīng)用的網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)示意圖Fig.10 Diagram of a PINN for the engineering application

4.1 工程案例分析

4.1.1 工程案例1

案例1 的工程背景基于WAN 等[35]所述的倫敦地鐵盾構(gòu)隧道項(xiàng)目，工程基本概況如圖11 所示。開挖面在不同位置處時某監(jiān)測斷面的地表沉降實(shí)測數(shù)據(jù)如圖12 所示，其中：x為監(jiān)測點(diǎn)與隧道中線的水平間距；y為開挖面與監(jiān)測斷面間距。

圖11 工程概況 /m Fig.11 Project profile

圖12 工程案例1 實(shí)測數(shù)據(jù)Fig.12 Measured data of case 1

基于圖10 所示的PINN 架構(gòu)和所述的工程應(yīng)用流程，以y≤21.6 m的地表沉降實(shí)測數(shù)據(jù)為訓(xùn)練數(shù)據(jù) (共計(jì)100 個樣本點(diǎn))，置入PINN 深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) (8×30) 中進(jìn)行訓(xùn)練，對開挖面位于31.8 m、35.6 m 和51.6 m 處的地表沉降值進(jìn)行預(yù)測。作為對比，給出了相同訓(xùn)練樣本和網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)下DNN 的預(yù)測結(jié)果。最大地表沉降值的預(yù)測結(jié)果如圖13 所示，誤差如表2 所示。可以看出，PINN 的預(yù)測結(jié)果保持了較高的精度，最大誤差僅為1.81%，而DNN 的最大誤差為12.59%，且隨著與監(jiān)測斷面距離的增大，DNN 的預(yù)測誤差呈逐漸增大的趨勢。

表2 最大地表沉降值預(yù)測結(jié)果Table 2 Predicted results of the maximum surface settlement

圖13 地表沉降值預(yù)測結(jié)果對比Fig.13 Comparison of the predicted surface settlements

為了進(jìn)一步比較PINN 和DNN 的預(yù)測結(jié)果，給出了開挖面距監(jiān)測斷面31.8 m、35.6 m 和51.6 m時地表沉降曲線的預(yù)測結(jié)果，如圖14 和圖15 所示。對比結(jié)果表明，PINN 基本可以完全還原地表沉降槽，在靠近和遠(yuǎn)離隧道中線的位置，PINN 的預(yù)測值與實(shí)測值均吻合很好，且開挖面處于不同位置時均保持了較高的預(yù)測精度。而DNN 的預(yù)測結(jié)果與實(shí)測地表沉降曲線存在十分明顯的偏差，特別是在開挖面與監(jiān)測斷面間距較大的位置 (y=51.6 m)。

圖14 PINN 預(yù)測值與實(shí)測值對比Fig.14 Comparison of the predicted results by a PINN and measured results

圖15 DNN 預(yù)測值與實(shí)測值對比Fig.15 Comparison of the predicted results by a DNN and measured results

在原訓(xùn)練樣本的基礎(chǔ)上增加y= 31.8 m、35.6 m時的實(shí)測數(shù)據(jù) (共計(jì)140 個樣本點(diǎn)) 作為新的訓(xùn)練樣本置入DNN 中進(jìn)行訓(xùn)練，此時DNN 的預(yù)測結(jié)果如圖16 所示。可以看出，DNN 在訓(xùn)練樣本充足的情況下也可以得到合理的預(yù)測結(jié)果，這也進(jìn)一步說明了PINN 在引入物理機(jī)制的約束后，明顯降低了對訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)量的需求。

圖16 DNN 預(yù)測值與實(shí)測值對比 (訓(xùn)練樣本總數(shù)140)Fig.16 Comparison of predicted results by a DNN and measured results (Training data: 140)

由上述對比結(jié)果可以看出，開挖面位于不同位置時，PINN 預(yù)測得到的地表沉降曲線均顯著優(yōu)于DNN 的預(yù)測結(jié)果，表明物理驅(qū)動的配置使PINN的外推泛化能力得到了顯著的提高。PINN 克服了傳統(tǒng)DNN 算法內(nèi)插能力強(qiáng)，外推性能差的缺點(diǎn)，展現(xiàn)了較強(qiáng)的外推泛化能力，這為預(yù)測盾構(gòu)隧道施工過程中地表沉降的變化趨勢提供了有力的手段。

4.1.2 工程案例2

案例2 為北京地鐵14 號線“方～十”區(qū)間盾構(gòu)隧道工程，該區(qū)間隧道開挖地層總體均一性較好，屬于北京地區(qū)具有代表性的地層；某監(jiān)測斷面隧道上覆土層厚度為10.8 m，隧道內(nèi)徑6.0 m，上覆土體以黏性土為主，夾雜少許粉細(xì)砂性土，E和ν的取值分別為13 MPa 和0.25，監(jiān)測得到的地表沉降數(shù)據(jù)如圖17 所示[36]，x、y的物理意義與圖12 相同。

圖17 工程案例2 實(shí)測數(shù)據(jù)Fig.17 Measured data of case 2

同樣基于圖10 所示的PINN 工程應(yīng)用的網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)，以y= 0 m、 8.4 m、 21 m 處的實(shí)測數(shù)據(jù)為訓(xùn)練樣本，預(yù)測y= 30 m 處的地表沉降曲線，訓(xùn)練樣本的總數(shù)共27 個點(diǎn)。PINN 和DNN 的預(yù)測結(jié)果與實(shí)測值的對比分別如圖18 和圖19 所示?？梢钥闯觯琍INN 預(yù)測得到的地表沉降曲線基本與實(shí)測值完全吻合；同等配置的DNN 可以預(yù)測得到地表沉降曲線的變化趨勢，但得到的沉降值均明顯大于實(shí)測值。整體上看，DNN 可以在一定程度上捕捉地表沉降的變化規(guī)律，但預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確程度明顯低于PINN，體現(xiàn)了PINN 模型優(yōu)秀的外推泛化性能。

圖18 PINN 預(yù)測值與實(shí)測值對比Fig.18 Comparison of predicted results by a PINN and measured results

圖19 DNN 預(yù)測值與實(shí)測值對比Fig.19 Comparison of predicted results by a DNN and measured results

4.2 工程應(yīng)用流程

基于上述預(yù)測過程，對PINN 的工程應(yīng)用流程進(jìn)行總結(jié)，如圖20 所示。PINN 基于工程施工前期一定數(shù)量的監(jiān)測數(shù)據(jù)對后續(xù)施工過程的地表沉降趨勢進(jìn)行預(yù)估，為使模型預(yù)測結(jié)果保持較高的精度，可以依據(jù)工程所需的誤差控制要求，在一定的時間節(jié)點(diǎn)進(jìn)行誤差校準(zhǔn)和樣本更新，從而保證PINN 準(zhǔn)確預(yù)測施工周期內(nèi)地表沉降的變化趨勢。

圖20 PINN 模型的工程應(yīng)用流程Fig.20 Diagram of the engineering application of a PINN model

依據(jù)該流程，預(yù)測得到工程案例1 的地表沉降場如圖21 所示?？梢钥闯觯A(yù)測得到的地表沉降場與實(shí)測沉降值保持了高度一致，在臨近隧道中線附近沉降值較大，遠(yuǎn)離隧道中線處沉降值逐漸變?。浑S著開挖面與監(jiān)測斷面間距的增大，沉降值有先增大后趨向平穩(wěn)的趨勢。PINN 的預(yù)測結(jié)果基本可以準(zhǔn)確地還原實(shí)測的地表沉降場，該方法有助于提升盾構(gòu)隧道施工過程中地表沉降控制的智慧化水平，為工程的潛在風(fēng)險(xiǎn)提供預(yù)警。

圖21 地表沉降場Fig.21 Surface settlement field

5 結(jié)論

深度學(xué)習(xí)與傳統(tǒng)學(xué)科的交叉為現(xiàn)有問題的解答提供了新的方法和途徑。本文提出了一種基于數(shù)據(jù)-物理雙驅(qū)動的物理信息深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) (PINN)模型以預(yù)測盾構(gòu)施工過程中誘發(fā)的地表沉降。首先，將Verruijt-Booker 解的控制方程耦合至DNN框架中，得到耦合物理機(jī)制的PINN 框架；在此基礎(chǔ)上，以并行的DNN 框架預(yù)測Verruijt-Booker 解的圍巖位移因子，建立地表變形與開挖面空間位置的關(guān)聯(lián)。構(gòu)建的PINN 模型可以基于部分工程實(shí)測數(shù)據(jù)對后續(xù)施工過程中誘發(fā)的地表沉降進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測。通過算例分析與工程實(shí)例分析驗(yàn)證了提出方法的合理性，所得結(jié)論如下：

(1) 在數(shù)據(jù)稀疏的情況下，PINN 得益于物理驅(qū)動的優(yōu)勢，預(yù)測精度顯著優(yōu)于傳統(tǒng)的DNN 算法；同時物理驅(qū)動機(jī)制使PINN 具備了良好的反演性能。

(2) 數(shù)據(jù)-物理雙驅(qū)動的PINN 模型可以有效預(yù)測盾構(gòu)隧道施工過程中誘發(fā)的地表沉降，物理機(jī)理的引入改善了傳統(tǒng)DNN 算法過于依賴大數(shù)量數(shù)據(jù)驅(qū)動的弊端，提高了模型的外推泛化能力，顯著降低了對訓(xùn)練樣本的需求。

(3) 提出的PINN 模型可以實(shí)現(xiàn)基于施工前期一定數(shù)量的實(shí)測數(shù)據(jù)以及階段性的誤差控制，準(zhǔn)確預(yù)測盾構(gòu)隧道后續(xù)施工過程中開挖面處于不同位置時監(jiān)測斷面的地表沉降曲線。該方法有助于提高盾構(gòu)隧道施工過程中地表沉降安全控制的智慧化水平，可為工程的潛在風(fēng)險(xiǎn)和施工決策提供預(yù)警和指導(dǎo)。