吳 山，何浩祥，蘭炳稷

(北京工業(yè)大學(xué)工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124)

基于性能的抗震設(shè)計(jì)是目前結(jié)構(gòu)抗震減震研究的核心理念和發(fā)展趨勢(shì)。根據(jù)工程需求和性能指標(biāo)，可以將基于性能的抗震設(shè)計(jì)理論分為基于力、位移、能量和損傷的抗震設(shè)計(jì)方法[1-2]，其中基于損傷的抗震設(shè)計(jì)方法更加全面、直觀和精確?，F(xiàn)有研究表明：根據(jù)傳統(tǒng)抗震方法設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)在實(shí)際地震作用下的損傷分布通常是不均勻的[3]，當(dāng)結(jié)構(gòu)中某些樓層的構(gòu)件發(fā)生較嚴(yán)重?fù)p傷時(shí)，其他樓層的構(gòu)件可能處于彈性或輕微損傷狀態(tài)，材料和構(gòu)件性能難以得到充分利用。地震下構(gòu)件和樓層的局部損傷將逐漸累積加劇，損傷分布離散程度過大時(shí)某些樓層將出現(xiàn)局部抗力不足或變形過大的情況，導(dǎo)致最終未形成整體化抗震機(jī)制而出現(xiàn)薄弱層失效機(jī)制[4]，結(jié)構(gòu)抗震能力和安全性急劇下降，最終造成結(jié)構(gòu)功能失效或倒塌。若利用基于損傷的抗震設(shè)計(jì)方法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，使各樓層在地震下具有相似的抗震能力和損傷程度，即可改善或消除薄弱層問題，各樓層的損傷相對(duì)均勻[5-6]，顯著提高材料利用率和整體抗震能力[7]。

均勻損傷是近年來興起的設(shè)計(jì)理念，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了有益的探索和嘗試。何浩祥等[8-10]提出連續(xù)體結(jié)構(gòu)均勻位移和均勻應(yīng)力優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，通過力學(xué)推導(dǎo)給出結(jié)構(gòu)最優(yōu)截面尺寸分布和最優(yōu)剛度分布解析解，并借助智能算法對(duì)層間模型樓層剛度進(jìn)行均勻位移優(yōu)化，揭示了樓層剛度分布規(guī)律，然而連續(xù)體結(jié)構(gòu)和層間模型均屬于工程簡化模型，其抗側(cè)剛度分布優(yōu)化規(guī)律難以直接指導(dǎo)框架、剪力墻等復(fù)雜結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)。XU 等[11-12]針對(duì)結(jié)構(gòu)安全性和適用性，分別對(duì)彈性結(jié)構(gòu)和彈塑性結(jié)構(gòu)進(jìn)行均勻位移和均勻加速度優(yōu)化設(shè)計(jì)，借助智能算法，得到結(jié)構(gòu)的最優(yōu)剛度分布，但該研究同樣采用層間模型而非復(fù)雜有限元模型，其優(yōu)化方法的普適性和準(zhǔn)確性有待提高。白久林等[5-6]采用優(yōu)化準(zhǔn)則法對(duì)鋼框架進(jìn)行均勻損傷優(yōu)化設(shè)計(jì)，將梁柱截面尺寸作為優(yōu)化變量，得到了最優(yōu)截面尺寸分布，并結(jié)合易損性分析驗(yàn)證了方法的有效性。之后又對(duì)RC 框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行均勻損傷優(yōu)化，用層間位移角和梁柱端部轉(zhuǎn)角作為損傷指標(biāo)，對(duì)梁柱配筋率進(jìn)行迭代優(yōu)化，得到了最優(yōu)梁柱配筋分布。CHAN 和ZOU[13]采用優(yōu)化準(zhǔn)則法對(duì)RC 框架進(jìn)行了兩階段優(yōu)化設(shè)計(jì)，在彈性階段和彈塑性階段分別對(duì)構(gòu)件截面尺寸和配筋進(jìn)行了優(yōu)化。然而，該方法適用于基于變形的損傷模型(如改進(jìn)的Park-Ang 模型[14]等)，對(duì)于基于能量的損傷模型并不適用[15]，因此有必要利用智能算法等優(yōu)化工具提出具有普適性的優(yōu)化方法。HAJIRASOULIHA 等[16]基于Park-Ang 損傷模型，對(duì)根據(jù)IBC-2009 設(shè)計(jì)的多個(gè)不同層數(shù)的RC 框架進(jìn)行均勻損傷優(yōu)化設(shè)計(jì)，根據(jù)是否成本恒定分情況討論，給出了最優(yōu)梁柱配筋率分布，但并未對(duì)優(yōu)化結(jié)果的適用性進(jìn)行驗(yàn)證?？v觀目前均勻損傷優(yōu)化設(shè)計(jì)研究，現(xiàn)有關(guān)于RC 框架結(jié)構(gòu)均勻損傷優(yōu)化設(shè)計(jì)方法研究深度不足且精度較低，缺少具有普適性且精度更高的設(shè)計(jì)方法。

損傷指數(shù)或模型是基于損傷的抗震設(shè)計(jì)方法的重要參數(shù)和依據(jù)。在損傷模型研究方面，GHOBARAH等[17]建議采用損傷前后結(jié)構(gòu)靜剛度比值量化損傷，但其不能充分反映損傷累積和滯回耗能特性。HE等[18]基于結(jié)構(gòu)整體損傷、層間位移角幅值和滯回耗能循環(huán)次數(shù)建立了結(jié)構(gòu)多重模糊損傷模型，但其表征滯回耗能特性的能力也比較薄弱。在諸多損傷指數(shù)中，Park-Ang 模型[19]得到了廣泛應(yīng)用，其采用構(gòu)件最大變形和累積滯回耗能雙參數(shù)量化損傷，然而該指數(shù)屬于半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，缺乏?yán)密理論基礎(chǔ)，多用于構(gòu)件靜力分析，在結(jié)構(gòu)時(shí)程分析中效果欠佳，且其閾值收斂不嚴(yán)格，為此國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了諸多改進(jìn)，但仍不能徹底解決問題。相比之下，基于彈塑性耗能差率的損傷模型[15]物理意義明確，適合彈塑性動(dòng)力分析，且損傷指數(shù)嚴(yán)格收斂于0～1，一定程度上彌補(bǔ)了Park-Ang 模型的不足，可采用該模型進(jìn)行均勻損傷優(yōu)化設(shè)計(jì)。

有鑒于此，本文基于OpenSEES 有限元平臺(tái)和智能算法，提出了面向均勻損傷的RC 框架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。該方法采用基于彈塑性耗能差率的損傷模型[15]，以各樓層損傷指數(shù)相等或相近為優(yōu)化目標(biāo)，各層框架柱配筋率為優(yōu)化變量，配筋率指縱筋配筋率，不包含箍筋。以典型的5 層和10 層結(jié)構(gòu)為例，確定了的框架柱最優(yōu)配筋方案。最終利用彈塑性動(dòng)力時(shí)程分析和IDA 方法對(duì)優(yōu)化結(jié)果的有效性和普適性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 基于智能算法的均勻損傷優(yōu)化方法

下文對(duì)相關(guān)優(yōu)化方法的數(shù)學(xué)描述、損傷模型、智能算法及優(yōu)化流程進(jìn)行闡述。該優(yōu)化設(shè)計(jì)的主要假設(shè)包括：1)構(gòu)件配有足夠的箍筋確保其不發(fā)生剪切破壞；2)梁柱節(jié)點(diǎn)域?yàn)閯傂裕?jié)點(diǎn)域不發(fā)生破壞，但構(gòu)件可出現(xiàn)塑性鉸；3)優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)材料用量恒定，即具有同等經(jīng)濟(jì)性；4)時(shí)程分析中對(duì)結(jié)構(gòu)輸入三向地震動(dòng)，選擇水平兩向損傷終值中較大者作為樓層損傷指數(shù)。

1.1 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)描述

在地震作用下，對(duì)于多高層建筑結(jié)構(gòu)，在各層損傷指數(shù)不超過限值的情況下，希望其損傷指數(shù)沿結(jié)構(gòu)高度方向的分布盡量均勻。通過對(duì)每層RC 框架柱配筋率優(yōu)化設(shè)計(jì)，達(dá)到上述優(yōu)化目標(biāo)。該優(yōu)化問題可以表述為：

式中：ρi為結(jié)構(gòu)第i層框架柱配筋率；Di為結(jié)構(gòu)第i層的損傷指數(shù)；[D]為結(jié)構(gòu)損傷指數(shù)允許值，應(yīng)根據(jù)實(shí)際工程或業(yè)主需求確定；n為結(jié)構(gòu)層數(shù)。

1.2 基于彈塑性耗能差率的損傷模型

采用基于彈塑性耗能差率的損傷模型量化RC 框架樓層損傷[15]。在小變形下，結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生彈性變形能，卸載后結(jié)構(gòu)恢復(fù)到初始狀態(tài)，不發(fā)生損傷。在大變形下，結(jié)構(gòu)發(fā)生塑性變形，產(chǎn)生的能量主要是塑性變形能，隨著位移增大出現(xiàn)更嚴(yán)重的損傷。若提高結(jié)構(gòu)的承載力，結(jié)構(gòu)在大變形下仍可處于理想彈性狀態(tài)，不產(chǎn)生損傷，結(jié)構(gòu)的損傷狀態(tài)與其理想彈性變形能和實(shí)際彈塑性變形能之間的差率有關(guān)，因此采用該值量化結(jié)構(gòu)的損傷程度。理想彈塑性單自由度體系耗能如圖1 所示，假設(shè)結(jié)構(gòu)在彈塑性狀態(tài)時(shí)剛度可采用割線剛度km表示，其剛度損傷指數(shù)Dk可表示為：

圖1 理想彈塑性體系耗能示意圖Fig.1 Energy dissipation of an ideal elastic-plastic system

式中：ke為彈性剛度；α 為屈服后剛度系數(shù)；uy為屈服位移；當(dāng)結(jié)構(gòu)處于彈塑性狀態(tài)時(shí)，在位移um處的力為Fm，延性μm=um/uy，周期為Tm。

由圖1 可見，結(jié)構(gòu)位移為um實(shí)際產(chǎn)生的彈塑性應(yīng)變能EF為面積SOBCD，相應(yīng)的理想彈性變形能EE為面積SOAD，面積SABC為兩者之差，即彈塑性耗能差ED。基于上述概念提出的基于彈塑性耗能差率的損傷指數(shù)可由下式計(jì)算：

在單調(diào)加載的損傷模型基礎(chǔ)上加以改進(jìn)，可以得到動(dòng)力作用下的損傷模型。地震動(dòng)作用下的單自由度體系動(dòng)力方程為：

式中：m為體系質(zhì)量；c為體系粘滯阻尼系數(shù)；F(x,t)為體系恢復(fù)力，線彈性體系的恢復(fù)力為kx(t)，k為體系的剛度，x(t)為體系相對(duì)于地面的位移響應(yīng)時(shí)程；x¨g(t)為地面運(yùn)動(dòng)加速度。

將式(4)各項(xiàng)對(duì)相對(duì)位移x從x(0)到x(t0)取積分，可得：

式中：EK為體系動(dòng)能；ED為體系阻尼耗能；EF為體系變形能，包括彈性應(yīng)變能和滯回耗能；EI為地震動(dòng)輸入能量。

設(shè)j為RC 框架的第j個(gè)樓層，且樓層在外力Fj(t)作用下已經(jīng)進(jìn)入彈塑性階段，利用試驗(yàn)或有限元方法得到樓層層間剪力FF,j(t)和層間位移uF,j(t)，則樓層彈塑性變形能可表示為EF,j(t)=FF,j(t)uF,j(t)。樓層層間位移幅值為uFmax,j，將Fj(t)乘以降幅系數(shù)γ 進(jìn)行調(diào)幅，保證樓層處于彈性狀態(tài)，此時(shí)層間位移時(shí)程和幅值分別為uEO,j(t)和uEO,max,j，層間剪力時(shí)程為FEO,j(t)。設(shè)調(diào)幅系數(shù)βj=uF,max,j/uEO,max,j，需要將uEO,j(t)乘以β 以使彈性層間位移幅值達(dá)到uF,max,j，同時(shí)將彈性層間剪力也進(jìn)行調(diào)幅FE,j(t)=βFEO,j(t)。由此可得到地震動(dòng)作用下RC 框架結(jié)構(gòu)第j層等效理想彈性變形能：

進(jìn)而可得地震動(dòng)下已經(jīng)進(jìn)入彈塑性狀態(tài)的結(jié)構(gòu)第j層時(shí)變損傷指數(shù)為：

式中：FF,j,i和FE,j,i分別為i時(shí)刻結(jié)構(gòu)第j層彈塑性狀態(tài)下和理想彈性狀態(tài)下的層間剪力；uF,j,i和uE,j,i分別為i時(shí)刻結(jié)構(gòu)第j層彈塑性狀態(tài)下和理想彈性狀態(tài)下的層間位移。b為結(jié)構(gòu)首次進(jìn)入彈塑性階段時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間點(diǎn)，n為從時(shí)間點(diǎn)b至現(xiàn)時(shí)t的時(shí)間步長數(shù)。準(zhǔn)確確定b值為保證該損傷模型精度的關(guān)鍵。建議按下述方法確定b值：分別計(jì)算等效彈塑性剛度時(shí)程kF,j(t)=FF,j(t)/uF,j(t)和等效彈性剛度時(shí)程kEO,j(t)=FEO,j(t)/uEO,j(t)，然后計(jì)算得出等效剛度比時(shí)程R,j(t)=kE0,j(t)/kF,j(t)。當(dāng)R,j(t)首次出現(xiàn)明顯大于1 的時(shí)間點(diǎn)即可取為b。

該損傷模型計(jì)算得到的損傷指數(shù)嚴(yán)格收斂于0～1。文獻(xiàn)[15]對(duì)該損傷模型進(jìn)行了詳細(xì)闡述，在此不再贅述。為便于震后損傷評(píng)估和加固改造，將損傷指數(shù)與震后結(jié)構(gòu)的破壞程度建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，將震害劃分為輕微損傷、中等破壞、嚴(yán)重破壞和倒塌4 個(gè)等級(jí)，對(duì)應(yīng)的損傷指數(shù)如表1 所示。

表1 不同震害等級(jí)對(duì)應(yīng)的損傷指標(biāo)范圍Table 1 Damage index range of different damage grades

1.3 智能算法

本優(yōu)化問題選用差分進(jìn)化算法(Differential Evolution Algorithm, DE)，該方法優(yōu)化效率高并且具有較強(qiáng)魯棒性，基本流程可分為以下幾個(gè)步驟：

首先，由DE 算法在解空間中均勻隨機(jī)生成NPD 個(gè)D維初始向量，設(shè)SG= {Xi,G:i= 1, 2, ···,NPD}為第G代種群，Xi,G為第G代個(gè)體，由下式生成：

式中，XH和XL分別為個(gè)體的上下限。

之后，DE 算法進(jìn)入進(jìn)化階段，該階段由三步組成：變異、交叉和選擇。在變異階段，對(duì)于每個(gè)個(gè)體Xi,G，變異向量Vi,G由下式產(chǎn)生：

式中：F為變異因子，取值范圍0～1；r1,r2,r3∈{1, 2, ···i-1,i+1, ···NPD}為互不相同的整數(shù)，且與當(dāng)前的目標(biāo)向量索引i不同，因此要求種群規(guī)模NPD 不小于4。

變異算法之后進(jìn)入交叉階段，將目標(biāo)向量Xi,G={x1i,G,x2i,G, ···,xDi,G}和 變 異 向 量Vi,G={v1i,G,v2i,G, ···,vDi,G}通過交叉概率CR 進(jìn)行二項(xiàng)式交叉生成試驗(yàn)向量Ui,G={u1i,G,u2i,G, ···,uDi,G}，交叉過程可用下式表示：

式中，j∈{1, 2, …,D}，并且CR∈[0, 1]。

最后，進(jìn)入選擇階段，對(duì)試驗(yàn)向量Ui,G和目標(biāo)向量Xi,G的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行對(duì)比，如果試驗(yàn)向量具有更優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)，則將目標(biāo)向量替換為試驗(yàn)向量，否則，保持目標(biāo)向量不變。選擇操作按下式進(jìn)行：

式中，f(x)為優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)。

1.4 優(yōu)化流程

采用OpenSEES 和Matlab 兩種工具實(shí)現(xiàn)本優(yōu)化問題，在OpenSEES 中建立RC 框架數(shù)值模型，在Matlab 中采用DE 算法優(yōu)化結(jié)構(gòu)各層柱配筋率，調(diào)用OpenSEES 進(jìn)行彈塑性時(shí)程分析，提取有限元模型響應(yīng)計(jì)算各層損傷指數(shù)作為優(yōu)化依據(jù)，實(shí)現(xiàn)兩種軟件之間相互協(xié)同調(diào)用。優(yōu)化流程如圖2 所示。

圖2 均勻損傷優(yōu)化設(shè)計(jì)流程Fig.2 Design process of uniform damage optimization

具體優(yōu)化步驟如下：1)確定DE 算法收斂閾值、種群個(gè)體數(shù)等各項(xiàng)參數(shù)，以及RC 框架有限元模型的樓層數(shù)、梁柱截面尺寸和材料性能等基本屬性；2)基于OpenSEES 有限元平臺(tái)建立RC 框架的有限元模型，代入DE 算法初始變量作為初始梁柱配筋率；3)根據(jù)抗震設(shè)計(jì)反應(yīng)譜選取合適的天然地震波并進(jìn)行調(diào)幅，對(duì)RC 框架進(jìn)行彈性和彈塑性時(shí)程分析；4)提取時(shí)程分析得到的彈性和彈塑性各樓層層間位移及剪力，基于Matlab 計(jì)算各樓層損傷指數(shù)及目標(biāo)函數(shù)值；5)判別是否滿足均勻損傷收斂閾值，若滿足，優(yōu)化結(jié)束，若不滿足，利用DE 算法對(duì)各層柱配筋率進(jìn)行優(yōu)化，返回步驟3)，進(jìn)行迭代優(yōu)化，直至滿足收斂條件。

2 算例分析

為驗(yàn)證本文提出的均勻損傷設(shè)計(jì)方法的有效性和適用性，選取兩個(gè)典型的5 層和10 層RC 框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)和分析。

2.1 RC 框架有限元模型

采用有限元平臺(tái)OpenSEES 分別建立5 層和10 層的RC 框架有限元模型，模型立面和平面如圖3 所示，圖3 中標(biāo)注了具體框架梁柱截面尺寸，其中B 代表框架梁，C 代表框架柱。5 層結(jié)構(gòu)梁柱截面尺寸不隨結(jié)構(gòu)高度變化，10 層結(jié)構(gòu)由于結(jié)構(gòu)整體高度較高，梁柱截面尺寸隨結(jié)構(gòu)高度增大而減小。

圖3 算例結(jié)構(gòu)示意圖 /mmFig.3 Diagram of the structures

RC 框架底部與地面固接，在節(jié)點(diǎn)處設(shè)置集中質(zhì)量，并施加構(gòu)件恒荷載和0.5 倍樓面活荷載。鋼筋采用Steel 01 模型，屈服強(qiáng)度400 MPa，彈性模量206 GPa，屈服后剛度系數(shù)0.01；混凝土采用Concrete 01 模型，抗壓強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值22.8 MPa，極限強(qiáng)度17 MPa，框架柱的配箍率為2.0%。采用纖維截面(Fiber Section)模擬矩形梁和方柱截面。梁柱截面保護(hù)層厚度均為30 mm，對(duì)稱式配筋。框架梁和框架柱采用基于位移的梁柱單元(Displacementbased beam-column element)模擬。積分類型為“Load Control”；收斂準(zhǔn)則采用能量收斂準(zhǔn)則，容差1×10-6，最大迭代步數(shù)200；迭代算法采用牛頓算法；自由度數(shù)目控制設(shè)置為“Plain”；矩陣帶寬處理采用一般處理方法；約束邊界處理設(shè)置為致小數(shù)或大數(shù)法，積分方法選擇“Newmark”，γ 取0.5，β 取0.25，分析類型為“Transient”，即恒定時(shí)間步長時(shí)程分析。結(jié)構(gòu)固有阻尼比取0.05，對(duì)結(jié)構(gòu)輸入三向地震波，輸入至結(jié)構(gòu)一階振型方向、二階振型方向和豎向的地震波PGA 比值為1∶0.85∶0.65。

2.2 地震波選取

根據(jù)目標(biāo)反應(yīng)譜選則5 條吻合程度較好的天然地震波，針對(duì)5 條天然波分別進(jìn)行均勻損傷優(yōu)化設(shè)計(jì)。目標(biāo)反應(yīng)譜、5 條天然波的反應(yīng)譜和平均譜如圖4 所示。結(jié)構(gòu)按8 度抗震設(shè)防，設(shè)計(jì)基本地震加速度0.2g，Ⅱ類場(chǎng)地，設(shè)計(jì)地震分組為Ⅱ組，阻尼比取0.05，將輸入至結(jié)構(gòu)一階振型方向的地震的PGA 調(diào)幅至0.4g，即大震工況。

圖4 目標(biāo)反應(yīng)譜和選取地震波的反應(yīng)譜Fig.4 Target response spectrum and response spectra of selected earthquake waves

2.3 優(yōu)化結(jié)果分析

對(duì)5 層和10 層RC 框架有限元模型分別輸入5 條天然地震波，利用DE 算法對(duì)每層柱配筋率進(jìn)行優(yōu)化。隨著迭代的深入，式(1)表示的目標(biāo)函數(shù)值逐漸減小，5 層RC 框架結(jié)構(gòu)目標(biāo)函數(shù)收斂閾值為0.08，10 層結(jié)構(gòu)目標(biāo)函數(shù)收斂閾值為0.18，優(yōu)化過程中目標(biāo)函數(shù)值小于收斂閾值時(shí)停止迭代，5 層RC 框架優(yōu)化過程如圖5 所示。DE 算法中，最大進(jìn)化代數(shù)取120，變異因子F取0.5，種群個(gè)體數(shù)NPD 取20，個(gè)體維數(shù)D為5 和10，即5 層和10 層框架柱的配筋率，將框架柱配筋率作為DE 算法的優(yōu)化變量，取值范圍為0.8%～3%。

圖5 5 層RC 框架優(yōu)化過程Fig.5 Optimization process of the 5-storey RC frame

本研究取兩水平方向損傷指數(shù)中較大者作為損傷代表值，為研究其合理性，對(duì)未優(yōu)化的5 層RC 框架結(jié)構(gòu)輸入三向Taft 波，算得結(jié)構(gòu)損傷指數(shù)如圖6 所示。由結(jié)果可見，兩方向損傷指數(shù)平方和的平方根與一階振型方向損傷指數(shù)在數(shù)值和變化規(guī)律方面區(qū)別不大，若兩向損傷指數(shù)均較大，該值容易超過閾值1，因此不建議該取值方法。兩方向損傷指數(shù)乘積的平方根取值較小，在一階振型方向損傷嚴(yán)重時(shí)(如8 s～9 s 時(shí)段)，該值體現(xiàn)出的結(jié)構(gòu)損傷并不嚴(yán)重，不利于工程安全，因此也不建議該取值方法。由于一階振型方向損傷指數(shù)在多數(shù)時(shí)段內(nèi)均明顯大于二階振型方向損傷指數(shù)，起主導(dǎo)作用，因此本研究取兩向損傷指數(shù)中較大值作為代表值。

圖6 Taft 波下5 層結(jié)構(gòu)損傷指數(shù)時(shí)程Fig.6 Damage index time history of 5-storey structure under Taft wave

優(yōu)化前后的5 層RC 框架結(jié)構(gòu)在El Centro 波作用下各層損傷指數(shù)時(shí)程如圖7 所示，可見優(yōu)化后結(jié)構(gòu)各層損傷指數(shù)離散程度顯著降低，并且損傷指數(shù)的變化規(guī)律與地震波加速度時(shí)程關(guān)系緊密，在0 s～30 s 時(shí)間內(nèi)，地震動(dòng)加速度變化活躍，各層損傷指數(shù)隨之劇烈變化，可見基于彈塑性耗能差率的損傷模型可以較好地表達(dá)結(jié)構(gòu)損傷時(shí)程及發(fā)展規(guī)律，適用于評(píng)估結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的損傷程度及演變過程，且損傷指數(shù)嚴(yán)格收斂于0～1，驗(yàn)證了該損傷模型的優(yōu)越性。需要指出的是，由于地震動(dòng)后期隨著加速度逐漸平緩及結(jié)構(gòu)自身剛度的恢復(fù)，損傷指數(shù)會(huì)出現(xiàn)一定程度的下降，最終趨于穩(wěn)定，本研究取損傷終值作為結(jié)構(gòu)損傷指數(shù)。優(yōu)化前結(jié)構(gòu)第i層框架柱配筋率ρei按下式計(jì)算：

圖7 5 層RC 框架在El Centro 波作用下?lián)p傷時(shí)程Fig.7 Damage time history of 5-storey RC frame under El Centro wave action

式中：ρoi為優(yōu)化后的第i層框架柱配筋率。如此設(shè)置柱配筋率保證了優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)鋼筋用量不變，即優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)具有同等經(jīng)濟(jì)性，在此約束下可更直觀地比較RC 框架各層損傷指數(shù)分布的均勻程度。

5 層和10 層結(jié)構(gòu)優(yōu)化后柱配筋率如圖8 和表2所示。由此可見不同地震波下最優(yōu)配筋率分布未呈現(xiàn)明顯的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，由此可以推斷該結(jié)果和地震波密切相關(guān)，不同地震波下的最優(yōu)配筋率是不同的。

表2 優(yōu)化后配筋率Table 2 Reinforcement ratios after optimization

圖8 優(yōu)化后配筋率分布Fig.8 Distributions of optimized reinforcement ratios

優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)損傷指數(shù)分布如表3、圖9 和圖10 所示，可見優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)各層損傷指數(shù)明顯更加均勻，且滿足目標(biāo)函數(shù)收斂要求，實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化目標(biāo)。為進(jìn)一步研究均勻損傷優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的安全性，提取不同地震波下優(yōu)化前后RC 框架結(jié)構(gòu)的層間位移角幅值，結(jié)果如圖11 和圖12 所示。

表3 優(yōu)化后損傷指數(shù)分布Table 3 Damage index distributions after optimization

圖10 不同地震波下10 層RC 框架優(yōu)化效果Fig.10 Optimization effect of the 10-storey RC frame under different earthquake waves

圖11 不同地震波下5 層RC 框架層間位移角Fig.11 Story drift ratios of the 5-storey RC frame under different earthquake waves

總體而言，優(yōu)化后的層間位移角幅值均勻程度和優(yōu)化前相比區(qū)別不大，從傳統(tǒng)抗震設(shè)計(jì)角度來看均勻損傷優(yōu)化不會(huì)顯著降低結(jié)構(gòu)體系的安全性。從結(jié)構(gòu)位移角度看，該方法優(yōu)化效果有限，原因在于本研究優(yōu)化目標(biāo)在于令損傷分布均勻，而非令位移均勻，同時(shí)采用的損傷模型本質(zhì)上屬于基于能量的損傷模型，與結(jié)構(gòu)耗能相關(guān)，是結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的綜合體現(xiàn)，因此優(yōu)化結(jié)果的位移分布不如損傷分布均勻。需要指出的是，本文提出的優(yōu)化方法具有普適性，根據(jù)不同的工程需求與設(shè)計(jì)理念，同樣可采用本方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)均勻位移優(yōu)化。

3 優(yōu)化效果驗(yàn)證

上文結(jié)合有限元算例，對(duì)優(yōu)化方法和流程進(jìn)行了展示，并對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行了分析，為了全面驗(yàn)證本優(yōu)化方法的有效性，下文對(duì)優(yōu)化前后的結(jié)構(gòu)進(jìn)行彈塑性動(dòng)力時(shí)程分析和IDA 分析，從結(jié)構(gòu)整體損傷指數(shù)、樓層損傷指數(shù)分布和地震易損性的角度，對(duì)兩者分別進(jìn)行對(duì)比分析。采用調(diào)幅方法，根據(jù)我國規(guī)范反應(yīng)譜選取30 條天然波，其加速度反應(yīng)譜如圖13 所示，其中GM 1-30 代表選取的30 條天然地震波。將30 條天然波的PGA 調(diào)幅至0.4g，即大震工況，驗(yàn)證結(jié)構(gòu)整體損傷指數(shù)和樓層損傷指數(shù)分布均勻程度，基于IDA 方法計(jì)算地震易損性，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)每層柱配筋率取表2 中的平均值，優(yōu)化前結(jié)構(gòu)每層柱配筋率相等，配筋率取優(yōu)化后結(jié)構(gòu)各層配筋率的平均值，即保證優(yōu)化前后配筋率總和相等。

圖13 地震波加速度反應(yīng)譜Fig.13 Acceleration spectra of earthquake waves

3.1 結(jié)構(gòu)整體損傷指數(shù)驗(yàn)證

在選取的30 條地震波下，優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)的整體損傷指數(shù)對(duì)比如圖14 所示。從結(jié)果可以看出，結(jié)構(gòu)整體損傷指數(shù)在不同地震波下具有一定離散性，在0.25～0.85 波動(dòng)，原因在于不同地震波頻譜特性不同，對(duì)結(jié)構(gòu)的影響程度也是不同的。在30 條地震波中，5 層結(jié)構(gòu)和10 層結(jié)構(gòu)分別存在3 條和4 條地震波的結(jié)果是優(yōu)化后結(jié)構(gòu)整體損傷程度大于優(yōu)化前的，大多數(shù)地震波下的結(jié)果都是優(yōu)化后結(jié)構(gòu)整體損傷程度下降。

圖14 優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)整體損傷指數(shù)對(duì)比Fig.14 Comparison of the damage index of the unoptimized and optimized structures

優(yōu)化前5 層結(jié)構(gòu)的平均損傷指數(shù)為0.61，優(yōu)化后變?yōu)?.55，較優(yōu)化前降低了9.8%；優(yōu)化前10 層結(jié)構(gòu)平均損傷指數(shù)是0.59，優(yōu)化后下降到0.54，降幅為8.4%。從統(tǒng)計(jì)意義上表明，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的整體抗震能力有所提高。

3.2 結(jié)構(gòu)損傷指數(shù)分布驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證優(yōu)化后結(jié)構(gòu)各層損傷指數(shù)分布是否更加均勻，計(jì)算30 條地震波下結(jié)構(gòu)各層損傷指數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，如圖15 所示。從結(jié)果來看，5 層和10 層結(jié)構(gòu)的各層損傷指數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差分別在0～0.2和0～0.3 波動(dòng)，除個(gè)別地震波作用下優(yōu)化后結(jié)構(gòu)損傷指數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差有所提高外，絕大多數(shù)工況下優(yōu)化后結(jié)構(gòu)損傷指數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差均小于優(yōu)化前結(jié)構(gòu)。優(yōu)化前5 層結(jié)構(gòu)各層損傷指數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為0.13，優(yōu)化后降低為0.10，降幅為23.1%；優(yōu)化前10 層結(jié)構(gòu)各層損傷指數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為0.12，優(yōu)化后為0.08，降低了33.3%。由此可見，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)損傷指數(shù)分布明顯更加均勻，證明了該優(yōu)化方法的有效性。

圖15 優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)各層損傷指數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差Fig.15 Standard deviations of the damage index of the unoptimized and optimized structures

3.3 地震易損性驗(yàn)證

基于30 條天然波對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行IDA 分析，之后進(jìn)行地震易損性驗(yàn)證。地震動(dòng)作用的強(qiáng)度參數(shù)(Intensity Measure，IM)為地震動(dòng)PGA，選取最大層間位移角和基于彈塑性耗能差率的損傷指數(shù)作為結(jié)構(gòu)響應(yīng)參數(shù)(Damage Measure，DM)[20-21]，研究表明，IM 和DM 之間存在如下數(shù)量關(guān)系：

式中：a和b為擬合參數(shù)，對(duì)式(13)兩邊取對(duì)數(shù)可得：

式(14)中A和B可由擬合直接得到。結(jié)構(gòu)失效概率Pf可得：

式中：C為各極限狀態(tài)損傷指數(shù)取值；根據(jù)文獻(xiàn)[22]的研究結(jié)果，當(dāng)IM 為PGA 時(shí)，應(yīng)取0.5。將PGA 代入式(15)即可得到結(jié)構(gòu)在不同強(qiáng)度地震動(dòng)作用下的失效概率。

將30 條天然波的PGA 調(diào)幅至0.1g～0.7g，對(duì)優(yōu)化前結(jié)構(gòu)和優(yōu)化后結(jié)構(gòu)進(jìn)行IDA 分析[23-25]，得到優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)地震易損性曲線如圖16 所示。從結(jié)果可以看出，結(jié)構(gòu)最大層間位移角和損傷指數(shù)易損性曲線呈拋物線形。優(yōu)化后結(jié)構(gòu)在不同強(qiáng)度地震下的易損性均出現(xiàn)一定程度降低，10 層結(jié)構(gòu)優(yōu)化效果更加明顯，從而進(jìn)一步證明了優(yōu)化后結(jié)構(gòu)抗震性能有所提高，驗(yàn)證了本文優(yōu)化方法的有效性。

圖16 優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)地震易損性曲線Fig.16 Seismic fragility curves of the unoptimized andoptimized structures

需要指出的是，損傷模型存在多樣性，采用不同損傷模型得到的優(yōu)化結(jié)果可能是不同的。由于基于彈塑性耗能差率的損傷模型物理意義明確，且適用于動(dòng)力作用下的結(jié)構(gòu)損傷評(píng)估，故推薦采用該損傷模型。本研究不必拘泥于該損傷模型，旨在提出一種具有普適性的優(yōu)化方法，而且優(yōu)化對(duì)象和優(yōu)化目標(biāo)是多元化的，若對(duì)裝配式結(jié)構(gòu)的構(gòu)件截面尺寸進(jìn)行優(yōu)化，將更有利于實(shí)現(xiàn)工程應(yīng)用。另外，受優(yōu)化計(jì)算量所限，本算例僅采用5 條地震波進(jìn)行優(yōu)化，若能得到更多地震波下的優(yōu)化結(jié)果，優(yōu)化效果會(huì)更加明顯，而且為降低計(jì)算量，提高計(jì)算效率，可提高智能算法的收斂閾值，令優(yōu)化后結(jié)構(gòu)損傷分布適度均勻即可，以此提高該方法的實(shí)用性，便于實(shí)際工程應(yīng)用。

4 結(jié)論

本文以RC 框架結(jié)構(gòu)各層損傷程度相等或相近為優(yōu)化目標(biāo)，以各層框架柱配筋率為優(yōu)化變量，采用智能算法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗震優(yōu)化設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了真正意義的均勻損傷設(shè)計(jì)。闡述了DE 算法的基本原理、優(yōu)化問題數(shù)學(xué)描述、基于彈塑性耗能差率損傷模型的原理以及優(yōu)化設(shè)計(jì)流程，結(jié)合RC 框架有限元模型對(duì)該優(yōu)化方法進(jìn)行了展示和分析，確定了最優(yōu)框架柱配筋率，并結(jié)合彈塑性動(dòng)力時(shí)程分析和IDA 分析對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。具體結(jié)論如下：

(1)框架柱配筋率是影響RC 框架結(jié)構(gòu)損傷指數(shù)分布的重要參數(shù)，通過智能算法調(diào)整配筋方案可以有效調(diào)控結(jié)構(gòu)震后各層損傷程度，實(shí)現(xiàn)均勻損傷設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，提高結(jié)構(gòu)抗震性能。

(2)不同地震波下結(jié)構(gòu)最優(yōu)配筋率分布不盡相同，并且不同樓層結(jié)構(gòu)的最優(yōu)配筋率分布也未呈現(xiàn)明顯的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，目前尚難以得到具有通用性的最優(yōu)柱配筋率計(jì)算公式，需要繼續(xù)進(jìn)行深入探究。

(3)將不同地震波下優(yōu)化結(jié)果的均值作為框架柱配筋方案可以有效提高結(jié)構(gòu)抗震能力，通過結(jié)構(gòu)整體損傷指數(shù)、樓層損傷指數(shù)分布和地震易損性的角度驗(yàn)證了該方法的有效性。

(4)通過結(jié)構(gòu)IDA 分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)優(yōu)化后結(jié)構(gòu)遭遇的地震動(dòng)PGA 與優(yōu)化過程中所用地震動(dòng)PGA 相同時(shí)，優(yōu)化效果比遭遇其他強(qiáng)度地震動(dòng)時(shí)更顯著，但優(yōu)化結(jié)果在其他強(qiáng)度地震作用下也是有效的。