縱向多分類數(shù)據(jù)的廣義估計方程分析

尹長明,代文昊,尹露陽

(廣西大學數(shù)學與信息科學學院,廣西 南寧 530004)

1.引言

設響應變量Y是分成k類的屬性數(shù)據(jù)(categorical data),協(xié)變量X是×1維向量.Y屬于第r類記為Y=r,其概率記為μ(r) :=P(Y=r|X),r=1,···,k.顯然,=1,所以只需對μ(r),r=1,···,q(=k-1)進行建模.

如果數(shù)據(jù)分成的k類沒有大小順序,比如分析人們出行對交通工具(可以是汽車,火車或飛機)選擇得到的數(shù)據(jù),可以用下面多項(multinomial)logit模型[1]:

其中γr0,γr分別是截距和回歸參數(shù)向量,T表示向量或矩陣的轉(zhuǎn)置.如果數(shù)據(jù)分成的k類有大小順序,比如分析某種疾病的變化(分為變好,不變或變壞)得到的數(shù)據(jù),可以用下面累積(cumulative)logit模型[1]:

其中F(x)=exp(x)/(1+exp(x)),γ是回歸參數(shù)向量,-∞=δ0<δ1<···<δq<δq+1=∞是門限(threshold)值.

有時,響應變量的取值分成t大類,不同大類之間的性質(zhì)不一樣,同一大類內(nèi)的不同小類之間性質(zhì)類似.這時建?？煞謨刹?two step),第一步對大類之間建一個模型,第二步分別對每一大類的不同小類之間建一個模型.例如Morawitz &Tutz[2]分析的商業(yè)調(diào)查數(shù)據(jù),分為“知道”和“不知道”兩大類；“知道”又分為“增加”和“減少”兩小類.Fahrmeir &Tuts[1]分析的風濕疾病的數(shù)據(jù)分為“大有好轉(zhuǎn)”,“好轉(zhuǎn)”,“無變化”,“惡化”,“大有惡化”五小類,顯然“大有好轉(zhuǎn)”和“好轉(zhuǎn)”是一大類,“無變化”是第二大類,“惡化”和“大有惡化”是第三大類(t=3).第一步對三大類建個模型,第二步對“大有好轉(zhuǎn)”和“好轉(zhuǎn)”建一個模型,對“惡化”和“大有惡化”再建一個模型.

不失一般性,第j大類數(shù)據(jù)記為Sj={sj-1+1,···,sj},其中s0=0,st=k.第一步,對不同大類之間若用累積Logit模型建模,就得

其中-∞=δ0<δ1<···<δt-1<δt=∞.第二步,第j(j=1,···,t)大類若用多項logit模型建模,就得

下面我們將累積多項logit模型寫成廣義線性模型的形式.記

當S1={1,2},S2={3},即k=3,t=2,就得到Morawitz和Tutz[2]分析商業(yè)調(diào)查數(shù)據(jù)所用的兩步Logit模型.這時

其中(η(1),η(2))T=ZTβ,ZT=diag[(1,XT),(1,XT)],βT=(δ1,γT,γ10,γT1).

當S1={1,2},S2={3},S3={4,5},即k=5,t=3,就得到文[1]中分析類風濕疾病數(shù)據(jù)所用的模型.這時

在生物醫(yī)學和經(jīng)濟學中,需要對同一個個體(如病人)進行跟蹤觀測,所得數(shù)據(jù)是相關的,假設不同個體觀測數(shù)據(jù)是獨立的,這樣的數(shù)據(jù)稱為縱向(longitudinal)數(shù)據(jù)或集團(clustered)數(shù)據(jù),在經(jīng)濟上稱為面板(panel)數(shù)據(jù))[3].記(Yij,Xij)是第i個個體的第j次觀測值,由前面的定義知,對應的有yij=y(Yij),Zij=Z(Xij),ηij=等等,i=1,2,···,n,j=1,2,···,m.記

其中A(ηij)=diag(σT(ηij)).

類似文[4-6],我們定義方程

2.主要結(jié)果

在本文中,C,C1,C2,···代表與樣本容量n無關的正常數(shù),在不同地方可以表示不同值.為了得到我們的主要結(jié)果,需要如下假設條件.

定理2.1若條件(C1)-(C4)成立.則

2) 若條件(C5)也成立,則對任意單位向量αn有,

定理2.2若條件(C1)-(C5)成立,則存在使(2.1)成立且

其中a是l×1向量,我們有下面結(jié)果.

定理2.3若條件(C1)-(C5)和假設H0成立,則存在使(2.1)成立且

注2.3顯然定理2.1-2.3對本文模型的特殊情形經(jīng)典(binary)Logit模型也成立,所以我們推廣了文[6]的結(jié)果.

這就是Lindeberg-Feller中心極限定理中Feller條件[7].

3.主要結(jié)果的證明

為了證明第2節(jié)的主要結(jié)果,我們還需要如下一些引理.

定理2.1的證明由向量值函數(shù)中值定理[9]知,

由條件(C3),(3.3),(3.4),(C2)知對所有i ≥1和n ≥1有

由(3.12),引理3.1,可知(2.1)成立.

對任意單位向量an,由引理3.3,引理3.4,假設(C5),可得，

因而定理2.3得證.

4.結(jié)語

若再對響應變量加上大于二階矩一致有界的假設,用類似的方法可證本文的結(jié)果對響應變量是多維的一般隨機變量也成立.文[5]也研究了每個個體觀測次數(shù)m=mn發(fā)散的情形,所以mn和協(xié)變量的維數(shù)pn都發(fā)散的縱向數(shù)據(jù)模型的漸近性質(zhì),值得進一步研究.