張朋 賈棟梁 咸慶軍 崔偉華 曾長(zhǎng)女

DOI：10.19850/j.cnki.2096-4706.2024.02.039

收稿日期：2023-05-08

基金項(xiàng)目：河南工業(yè)大學(xué)本科教育教學(xué)改革研究與實(shí)踐項(xiàng)目（2023GJYJTM16）；河南省新工科研究與實(shí)踐項(xiàng)目（2020JGLX039）；河南省高等教育學(xué)會(huì)高等教育研究項(xiàng)目（2021SXHLX145）；河南省高等教育教學(xué)改革研究與實(shí)踐重點(diǎn)項(xiàng)目（2021SJGLX144）

摘? 要：平移運(yùn)動(dòng)是理論力學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，曲線平移是平移運(yùn)動(dòng)中的難點(diǎn)內(nèi)容，其抽象枯燥。采用圖形和動(dòng)畫等可視化教學(xué)手段，可以化抽象為具體，從而降低理解難度。編制曲線平移動(dòng)畫程序，提供了深入理解曲線平移的另一種方式，可以提升學(xué)習(xí)效果，也提供了一個(gè)編程實(shí)踐的機(jī)會(huì)。該文詳細(xì)介紹了利用Python制作曲線平移動(dòng)畫程序，加深了學(xué)生對(duì)利用Python繪制圖形和制作動(dòng)畫的理解，豐富了學(xué)生的信息技術(shù)知識(shí)，也加深了學(xué)生對(duì)平移運(yùn)動(dòng)的理解，進(jìn)一步增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)理論力學(xué)課程的興趣和信心。

關(guān)鍵詞：理論力學(xué)；曲線平移；可視化

中圖分類號(hào)：TP39；G434 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2096-4706（2024）02-0182-05

Research on the Application of Python in Curve Translation Visualization

ZHANG Peng， JIA Dongliang， XIAN Qingjun， CUI Weihua， ZENG Zhangnyu

（College of Civil Engineering， Henan University of Technology， Zhengzhou? 450001， China）

Abstract： Translation motion is an important content of theoretical mechanics. Curve translation is a difficult content in translation motion， which is abstract and boring. The use of visual teaching tools such as graphic and animation can reduce the difficulty of understanding by turning the abstract into the concrete. Developing curve translation animation program provides an alternative way of gaining insight into curve translation， can improve learning effect， and also provide an opportunity for programming practice. The curve translation animation creating program using Python is introduced in detail in this paper， which deepens students' understanding of drawing graphics and creating animations using Python， enriches their knowledge of information technology， deepens their understanding of translation motion， and further enhances their interest and confidence in the theoretical mechanics course.

Keywords： theoretical mechanics; curve translation; visualization

0? 引? 言

理論力學(xué)是土木工程、機(jī)械工程等專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課程[1]，是必須掌握的理論課。理論力學(xué)包含三大部分：靜力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)。運(yùn)動(dòng)學(xué)只從幾何角度研究物體的運(yùn)動(dòng)，其是機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析的基礎(chǔ)，并且是動(dòng)力學(xué)部分的基礎(chǔ)，因此非常重要。剛體的平移運(yùn)動(dòng)是運(yùn)動(dòng)學(xué)中的基礎(chǔ)內(nèi)容，是運(yùn)動(dòng)學(xué)后續(xù)重難點(diǎn)內(nèi)容（點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)、剛體的平面運(yùn)動(dòng)）的基礎(chǔ)，因此平移運(yùn)動(dòng)是理論力學(xué)課程的一項(xiàng)重要內(nèi)容。平移運(yùn)動(dòng)包括直線平移和曲線平移，直線平移較簡(jiǎn)單，曲線平移是平移運(yùn)動(dòng)中的難點(diǎn)內(nèi)容。然而教材只是通過簡(jiǎn)單的理論推導(dǎo)與敘述來介紹此部分內(nèi)容，比較抽象枯燥。若采用傳統(tǒng)教學(xué)手段，學(xué)生此部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)效果則不太理想。隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，教育工作者采用圖形動(dòng)畫等可視化教學(xué)手段，將抽象概括的知識(shí)以視覺表征的方式呈現(xiàn)給學(xué)生，化抽象為具體、變靜態(tài)為動(dòng)態(tài)，從而降低知識(shí)的理解難度，加深學(xué)生的理解，最終提升學(xué)習(xí)效果[2，3]。提升學(xué)生的計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力和編程水平也是當(dāng)代教育的一項(xiàng)重要內(nèi)容，但多數(shù)學(xué)生的編程只是囿于計(jì)算機(jī)編程課和計(jì)算機(jī)等級(jí)考試[4]，缺乏解決實(shí)際問題的編程鍛煉。編制一個(gè)制作曲線平移動(dòng)畫的程序，則提供了一個(gè)編程實(shí)踐的機(jī)會(huì)，并且可以深入理解和掌握曲線平移。

不少學(xué)者采用MATLAB、Maple等國(guó)外商業(yè)軟件進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)教學(xué)研究[5-9]，然而這些商業(yè)軟件往往價(jià)格昂貴，多數(shù)單位及個(gè)人難以負(fù)擔(dān)，且其中某些軟件已經(jīng)禁止我國(guó)部分高校和單位使用。開源免費(fèi)的Python則不存在這些問題，而且Python提供了非常完善的基礎(chǔ)代碼庫(kù)，從而使得Python既適用于傳統(tǒng)的Web開發(fā)、PC軟件開發(fā)等，也適用于當(dāng)下熱門的機(jī)器學(xué)習(xí)、大數(shù)據(jù)分析等，因而Python成為現(xiàn)在最熱門的編程語(yǔ)言之一。已有學(xué)者利用Python進(jìn)行了理論力學(xué)相關(guān)的教學(xué)研究[10]，但還不多見，尤其在運(yùn)動(dòng)學(xué)方面。本文將圍繞曲線平移這一知識(shí)點(diǎn)，系統(tǒng)地介紹如何利用Python編制曲線平移動(dòng)畫程序。

1? Python基礎(chǔ)知識(shí)

Python是一種解釋型、面向?qū)ο?、?dòng)態(tài)數(shù)據(jù)類型的高級(jí)程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言，其與其他語(yǔ)言有許多相似之處，但也存在一些差異。Python提供了眾多的基礎(chǔ)代碼庫(kù)，可以使用Matplotlib繪制圖形和制作動(dòng)畫。

1.1? Python基本語(yǔ)法

Python最具特色的就是用縮進(jìn)來寫模塊，縮進(jìn)的空白數(shù)量是可變的，但是所有代碼塊語(yǔ)句必須包含相同的縮進(jìn)空白數(shù)量。Python中的標(biāo)識(shí)符（作為變量、函數(shù)、類、模塊以及其他對(duì)象的名稱）由字母、數(shù)字、下劃線組成，區(qū)分大小寫，一般以字母開頭。

Python有五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)據(jù)類型：Numbers（數(shù)字）、String（字符串）、List（列表）、Tuple（元組）、Dictionary（字典）。其中，Python的列表是用方括號(hào)（[]）標(biāo)注，逗號(hào)分隔的一組值。列表是Python中使用最頻繁的數(shù)據(jù)類型，可以完成大多數(shù)集合類的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。它支持字符、數(shù)字、字符串甚至可以包含列表（即嵌套）。使用“append（）”方法向列表添加項(xiàng)。

Python常使用for循環(huán)。Python的for語(yǔ)句迭代列表或字符串等任意序列，元素的迭代順序與在序列中出現(xiàn)的順序一致。內(nèi)置“range（）”函數(shù)常用于遍歷數(shù)字序列，該函數(shù)可以生成算術(shù)級(jí)數(shù)，生成的序列不包含給定的終止數(shù)值。

1.2? Matplotlib

Matplotlib是一款用于數(shù)據(jù)可視化的Python庫(kù)，支持跨平臺(tái)運(yùn)行，能夠輕松地實(shí)現(xiàn)各種圖形的繪制。Pyplot是Matplotlib的子庫(kù)，提供了和MATLAB類似的繪圖API，能方便地繪制2D圖表，使用前需要使用“import matplotlib.pyplot as plt”引入。Animation是Matplotlib的另一子庫(kù)，可以繪制復(fù)雜動(dòng)畫并能生成gif動(dòng)畫文件，使用前需要使用“import matplotlib.animation as animation”引入。Matplotlib生成的圖形主要由包括：Figure（整個(gè)圖形畫布）和Axes（繪圖區(qū)域）。示例代碼如下：

fig =plt.Figure（dpi=100）

plt.gcf（）.set_size_inches（20， 10）

fig.tight_layout（）

ax = fig.add_subplot（1，1，1）

此段代碼在創(chuàng)建了一個(gè)寬為20、高為10的Matplotlib空白圖形，之后可以在繪圖區(qū)域繪制圖形。

Pyplot使用“plot（）”函數(shù)繪制點(diǎn)和線，其具有可選格式的字符串參數(shù)，用來指定線型、標(biāo)記顏色、樣式以及大小。使用“text（）”函數(shù)向繪圖區(qū)域添加文本。Matplotlib可以根據(jù)自變量與因變量的取值范圍，自動(dòng)設(shè)置x軸與y軸的數(shù)值大小，也可以使用“set_xlim（）”和“set_ylim（）”對(duì)x、y軸的數(shù)值范圍進(jìn)行設(shè)置。

運(yùn)動(dòng)學(xué)中的桿件可以使用“plot（）”函數(shù)繪制兩條不同寬度不同顏色的線條組合來表示，鉸連接可以使用“plot（）”函數(shù)繪制兩個(gè)不同大小不同顏色的點(diǎn)組合來表示。

Animation使用“FuncAnimation（fig， func， frames， init_func， interval）”函數(shù)制作動(dòng)畫，fig為繪制動(dòng)畫的畫布名稱；func為繪制每幀動(dòng)畫的函數(shù)，其第一個(gè)參數(shù)為幀序號(hào)；frames為動(dòng)畫幀序號(hào)組成的列表，其值會(huì)傳遞給func函數(shù)；init_func為繪制動(dòng)畫前的初始化函數(shù)；interval為幀之間的間隔時(shí)間，單位為毫秒。使用“save（filename）”函數(shù)將繪制的動(dòng)畫保存為gif動(dòng)圖或視頻。

2? 曲線平移基本理論

如果在剛體內(nèi)任取一直線段，在運(yùn)動(dòng)過程中這條直線段始終與它的最初位置平行，這種運(yùn)動(dòng)稱為平行移動(dòng)（平移運(yùn)動(dòng)[11]），簡(jiǎn)稱平移[1]。當(dāng)剛體平行移動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)相同，軌跡形狀相同；在每一瞬時(shí)，各點(diǎn)的速度相同，加速度也相同。

平移包括直線平移和曲線平移[1，11]：平移剛體上的點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，則為直線平移；平移剛體上的點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)，則為曲線平移。曲線平移具有平移運(yùn)動(dòng)的上述特點(diǎn)。文獻(xiàn)[1]中例7-9和習(xí)題7-18中的鉸接四邊形機(jī)構(gòu)（機(jī)械工程中稱為平行四邊形機(jī)構(gòu)[12]）的水平桿作曲線平移。

本文新建一平行四邊形機(jī)構(gòu)，其包括曲柄OC、曲柄O1C1和水平連桿CC1，OC=O1C1=r，CC1=OO1=L，連桿CC1做曲線平移，曲柄OC以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，初時(shí)刻時(shí)曲柄OC與水平線間的夾角為φ0。以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)O1坐標(biāo)為（L，0）。

點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)方程為：

點(diǎn)C1的運(yùn)動(dòng)方程為：

3? 曲線平移可視化的Python實(shí)現(xiàn)

本節(jié)將詳細(xì)介紹利用Python編制曲線平移可視化程序。

3.1? 平行四邊形機(jī)構(gòu)數(shù)據(jù)計(jì)算與存儲(chǔ)

賦予變量具體數(shù)值，計(jì)算第i幀對(duì)應(yīng)的時(shí)刻t，根據(jù)關(guān)鍵點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，計(jì)算此時(shí)平行四邊形機(jī)構(gòu)中各關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，分別存儲(chǔ)在變量“x_C”“y_C”“x_C1”“y_C1”中，Python代碼如下：

t=i*0.02

L，r =560，200

w=1

phi0=math.pi/4

x_O，y_O=0，0

x_O1=L

y_O1=0

phi=w*t+phi0

x_C=r*math.cos（phi）

y_C=r*math.sin（phi）

x_C1=x_C+L

y_C1=y_C

3.2? 平行四邊形機(jī)構(gòu)繪制

繪制開始時(shí)需先清除繪圖區(qū)域并進(jìn)行尺寸等設(shè)置。Python代碼如下：

ax.cla（）

ax.axis（'equal'）

ax.set_xlim（-210，800）

ax.set_ylim（-255，255）

ax.axis（'off'）

根據(jù)關(guān)鍵點(diǎn)O、C、O1、C1的坐標(biāo)，依次繪制曲柄OC、曲柄O1C1，初時(shí)刻時(shí)繪制結(jié)果如圖1（a）所示。Python代碼如下：

ax.plot（[x_O，x_C]，[y_O，y_C]，linewidth =9.0，color='k'）

ax.plot（[x_O，x_C]，[y_O，y_C]，linewidth =6.0，color=

'#e3ded8'）

ax.plot（[x_O1，x_C1]，[y_O1，y_C1]，linewidth =9.0，

color='k'）

ax.plot（[x_O1，x_C1]，[y_O1，y_C1]，linewidth =6.0，

color='#e3ded8'）

根據(jù)關(guān)鍵點(diǎn)O、O1的坐標(biāo)，依次繪制鉸鏈O和鉸鏈O1，初時(shí)刻時(shí)繪制結(jié)果如圖1（b）所示。Python代碼如下：

ax.plot（x_O，y_O，markersize=12，c='k'，marker='o'）

ax.plot（x_O，y_O，markersize=8，c='w'，marker='o'）

ax.plot（x_O1，y_O1，markersize=12，c='k'，marker='o'）

ax.plot（x_O1，y_O1，markersize=8，c='w'，marker='o'）

根據(jù)關(guān)鍵點(diǎn)C、C1的坐標(biāo)，繪制連桿CC1，初時(shí)刻時(shí)繪制結(jié)果如圖1（c）所示。Python代碼如下：

ax.plot（[x_C，x_C1]，[y_C，y_C1]，linewidth =9.0，color='k'）

ax.plot（[x_C，x_C1]，[y_C，y_C1]，linewidth =6.0，

color='#e3ded8'）

根據(jù)關(guān)鍵點(diǎn)C、C1的坐標(biāo)，依次繪制鉸鏈C和鉸鏈C1。根據(jù)各關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)，使用“text”函數(shù)在關(guān)鍵點(diǎn)旁標(biāo)注對(duì)應(yīng)字母，具體代碼不再贅述。初時(shí)刻時(shí)繪制結(jié)果如圖1（d）所示，動(dòng)畫過程可關(guān)閉字母顯示。繪制鉸鏈C、C1的代碼如下：

ax.plot（x_C，y_C，markersize=12*0.5，c='k'，marker='o'）

ax.plot（x_C，y_C，markersize=8*0.5，c='w'，marker='o'）

ax.plot（x_C1，y_C1，markersize=12*0.5，c='k'，marker

='o'）

ax.plot（x_C1，y_C1，markersize=8*0.5，c='w'，marker

='o'）

（a）曲柄OC和曲柄O1C1

（b）鉸鏈O和鉸鏈O1

（c）連桿CC1

（d）平行四邊形機(jī)構(gòu)

圖1? 平行四邊形機(jī)構(gòu)繪制過程圖

3.3? 曲線平移可視化

循環(huán)調(diào)用平行四邊形機(jī)構(gòu)數(shù)據(jù)計(jì)算及繪制代碼，得到一系列動(dòng)畫幀，最終可得到其運(yùn)動(dòng)動(dòng)畫，也得到了做曲線平移的連桿的運(yùn)動(dòng)動(dòng)畫。平行四邊形機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程截圖如圖2所示（本文gif動(dòng)畫已轉(zhuǎn)視頻上傳至B站https：//space.bilibili.com/396001643）。Python代碼如下：

ani = animation.FuncAnimation（fig， update， range（310）， init_func=init， interval=30）

ani.save（'PY-donghua.gif'， writer='imagemagick'）

在平行四邊形機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中，連桿一直處于水平狀態(tài)，即其始終平行于初始位置，圖2展示了平移運(yùn)動(dòng)的此特點(diǎn)。

3.4? 曲線平移動(dòng)點(diǎn)軌跡可視化

在連桿上任取兩動(dòng)點(diǎn)M、N，坐標(biāo)分別存儲(chǔ)在變量“x_M”“y_M”“x_N”“y_N”中，并存儲(chǔ)每一幀動(dòng)點(diǎn)M、N和點(diǎn)C坐標(biāo)于二維列表數(shù)組“xy_M_all”“xy_N_all”“xy_C_all”中，并在每一幀繪制所有歷史點(diǎn)，即得各點(diǎn)軌跡。曲線平移動(dòng)點(diǎn)軌跡截圖如圖3所示，從左至右依次為點(diǎn)C、M、N的軌跡。Python代碼如下：

x_M=x_C+L/5*2

y_M=y_C

x_N=x_C+L/5*4

y_N=y_C

xy_C_all.append（[x_C，y_C]）

xy_M_all.append（[x_M，y_M]）

xy_N_all.append（[x_N，y_N]）

ax.plot（x_C，y_C，markersize=12*0.5，c='k'，marker='o'）

ax.plot（x_M，y_M，markersize=12*0.5，c='b'，marker='o'）

ax.plot（x_N，y_N，markersize=12*0.5，c='r'，marker='o'）

for ii in range（0，i，1*5）：

ax.plot（xy_C_all[ii][0]，xy_C_all[ii][1]，markersize=12*0.5，c='k'，marker='o'）

ax.plot（xy_M_all[ii][0]，xy_M_all[ii][1]，markersize=12*0.5，c='b'，marker='o'）

ax.plot（xy_N_all[ii][0]，xy_N_all[ii][1]，markersize=12*0.5，c='r'，marker='o'）

從圖3可見，此做曲線平移的連桿上任意兩點(diǎn)的軌跡形狀相同，且為曲線（此例中為圓），且任一時(shí)刻，各動(dòng)點(diǎn)都運(yùn)動(dòng)到軌跡的同一位置，從而說明平移運(yùn)動(dòng)的另一個(gè)特點(diǎn)——在每一瞬時(shí)，做平移運(yùn)動(dòng)的剛體上各點(diǎn)的速度相同，加速度也相同。

4? 結(jié)? 論

本研究將基于Python的可視化技術(shù)應(yīng)用在曲線平移的教學(xué)中，使抽象的曲線平移知識(shí)具體化直觀化，降低了學(xué)習(xí)難度，從而提升了學(xué)習(xí)效果。詳細(xì)介紹了利用Python制作曲線平移動(dòng)畫，既加深了學(xué)生對(duì)曲線平移的理解，也使學(xué)生初步掌握了繪制圖形及制作動(dòng)畫等Python編程知識(shí)。將編程內(nèi)容引入理論力學(xué)課程，使傳統(tǒng)理論課程與現(xiàn)代信息技術(shù)交叉融合，豐富了學(xué)生的信息技術(shù)知識(shí)，也進(jìn)一步增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)所學(xué)課程的興趣和信心。

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作者簡(jiǎn)介：張朋（1986—），男，漢族，河南南陽(yáng)人，博士，講師，研究方向：計(jì)算力學(xué)。