王中蘇

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)概念是學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決問題的基礎(chǔ)，提升數(shù)學(xué)概念教學(xué)的有效性，落實核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是課堂教學(xué)的重要目標. 研究者基于弗賴登塔爾教育思想探討數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)應(yīng)“立足學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，創(chuàng)新課堂導(dǎo)入”“搭建學(xué)生再創(chuàng)造的平臺，開展課堂探究”“創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)化的探究條件，提升思維認識”“建構(gòu)反思性認知結(jié)構(gòu)，進行課堂拓展”，以深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

［關(guān)鍵詞］ 弗賴登塔爾教育思想；數(shù)學(xué)化；雙曲線

數(shù)學(xué)概念是用簡練的語言對研究對象的本質(zhì)屬性的高度概括，是學(xué)生進行數(shù)學(xué)分析、推理想象、邏輯思考的基礎(chǔ)和前提. 因此，教師要加強數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，深化學(xué)生對數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)思想的理解，帶領(lǐng)學(xué)生體驗知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程，使學(xué)生真正實現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)的內(nèi)化. 弗賴登塔爾是20世紀最有影響力的數(shù)學(xué)教育學(xué)家之一，他提出的教育思想所蘊含的數(shù)學(xué)現(xiàn)實、數(shù)學(xué)化和再創(chuàng)造等思想對數(shù)學(xué)概念教學(xué)具有重要的指導(dǎo)作用. 本文以“雙曲線的定義”為例，基于弗賴登塔爾的教育思想探討數(shù)學(xué)概念教學(xué)，以提高教學(xué)的有效性，落實課程教育目標.

闡釋弗賴登塔爾教育思想

弗賴登塔爾認為，數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目標不是傳授數(shù)學(xué)知識，而是讓學(xué)生學(xué)會如何運用知識. 課堂教學(xué)應(yīng)該創(chuàng)造機會，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中增強信心，體驗知識發(fā)生和發(fā)展的過程. 為此，教學(xué)應(yīng)堅持“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”“數(shù)學(xué)化”以及“再創(chuàng)造”.

“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”是指學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)和結(jié)構(gòu). 新知的學(xué)習(xí)是以學(xué)生原有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和知識為基本前提的. 基于數(shù)學(xué)現(xiàn)實展開教學(xué)活動，就必然密切聯(lián)系教學(xué)內(nèi)容與生活實際. 教師連接教學(xué)內(nèi)容邏輯的起點與學(xué)生已有經(jīng)驗的起點，從而創(chuàng)新設(shè)計情境，找到新知的生長點，在現(xiàn)實情境中開展學(xué)習(xí)活動，使學(xué)生將所學(xué)知識應(yīng)用于生活實際.

“數(shù)學(xué)化”是指學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)眼光去觀察世界，學(xué)會用數(shù)學(xué)思維去思考現(xiàn)實世界中的各種現(xiàn)象，將數(shù)學(xué)知識進行內(nèi)化、組織和思考的過程. 由此教師要引導(dǎo)學(xué)生從具象的現(xiàn)實中抽象出數(shù)學(xué)符號，進入數(shù)學(xué)世界，形成數(shù)學(xué)概念或定理，并通過問題設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實際問題的解決中，落實課程目標. 同時，教師還要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)知識內(nèi)部進行知識的分類與整合、遷移與深化，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)知識體系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)想象、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

“再創(chuàng)造”是弗賴登塔爾教育思想的核心. 有效教學(xué)的過程就是引導(dǎo)學(xué)生再創(chuàng)造的過程，因此教學(xué)目標不僅僅是傳授知識，還要創(chuàng)設(shè)學(xué)生進行學(xué)習(xí)活動的平臺，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)現(xiàn)實的基礎(chǔ)上互動交流與反思，經(jīng)歷分析思考、推理判斷和總結(jié)歸納，以及知識發(fā)生、發(fā)展的過程，最終形成新的數(shù)學(xué)現(xiàn)實.

基于弗賴登塔爾教育思想的教學(xué)案例

1. 立足學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，創(chuàng)新課堂導(dǎo)入

弗賴登塔爾強調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)遵循數(shù)學(xué)現(xiàn)實原則，立足學(xué)生已有知識基礎(chǔ)開展學(xué)習(xí)活動，提高學(xué)習(xí)的有效性. 因此，在教學(xué)“雙曲線的定義”這節(jié)課時，筆者結(jié)合學(xué)生學(xué)過的有關(guān)橢圓的定義知識導(dǎo)入新課，從新舊知識的銜接點出發(fā)，在已有的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)上探尋思維的生長點，引導(dǎo)學(xué)生積極開放地投入新知的學(xué)習(xí)活動中.

師：很好，根據(jù)生1的解析，我們可得動點M的軌跡方程為+=1. 今天我們將要學(xué)習(xí)一個新的數(shù)學(xué)概念——雙曲線，它具有怎樣的特點呢？

設(shè)計意圖 弗賴登塔爾教育思想認為，數(shù)學(xué)教學(xué)活動離不開學(xué)生已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，在學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，教師采取相應(yīng)的教學(xué)方法豐富和拓展學(xué)生的認識，從而提升學(xué)生的認知水平，擴大學(xué)生的認知范圍. 在學(xué)生具備橢圓的定義及其標準方程等數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上設(shè)計問題，既幫助學(xué)生復(fù)習(xí)有關(guān)橢圓的知識點，又引導(dǎo)學(xué)生拓展和應(yīng)用數(shù)學(xué)現(xiàn)實，提高學(xué)生的認知水平，為學(xué)生學(xué)習(xí)新課做好鋪墊，實現(xiàn)有效的課堂導(dǎo)入.

2. 搭建學(xué)生再創(chuàng)造的平臺，開展課堂探究

弗賴登塔爾教育思想強調(diào)數(shù)學(xué)再創(chuàng)造原則，認為數(shù)學(xué)教學(xué)不是簡單地傳授已有知識，而是創(chuàng)造條件引導(dǎo)學(xué)生在思維活動中再創(chuàng)造相關(guān)的數(shù)學(xué)知識. 因此，在課堂導(dǎo)入的情境設(shè)計中，教師要重視引導(dǎo)學(xué)生觀察問題、思考問題，通過數(shù)學(xué)化的思考，探索數(shù)學(xué)規(guī)律，從而歸納數(shù)學(xué)結(jié)論，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，體驗數(shù)學(xué)知識形成和發(fā)展的過程. 在深度的思維活動中，學(xué)生建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，實現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)的完善和思維的再創(chuàng)造，從而發(fā)展學(xué)生思維的創(chuàng)新性，幫助學(xué)生建構(gòu)新的知識體系.

設(shè)計意圖 教學(xué)過程是在學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實的基礎(chǔ)上進行的拓展和應(yīng)用. 通過原有問題的變式練習(xí)，在學(xué)生原有知識的基礎(chǔ)上引發(fā)認知沖突，從而激發(fā)學(xué)生探究的好奇心，為進一步的深入探究做好準備.

3. 創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)化的探究條件，提升思維認識

師：根據(jù)剛才的探求，我們由點M與兩個定點C，C的距離之和與距離之差可知點M運動的軌跡不是橢圓，那么它運動的軌跡是什么圖形呢？

生3：根據(jù)幾何畫板的演示，我們可以發(fā)現(xiàn)點M運動的軌跡靠近點C，并且關(guān)于x軸對稱，是一條曲線.

問題3 如圖3所示，將問題2中的“動圓M與圓C內(nèi)切，與圓C外切”改為“動圓M與C外切，與C內(nèi)切”，其余條件不變，則動圓M圓心運動的軌跡方程又是什么？

生4：根據(jù)題干條件我們可以求出動圓圓心M與點C，C的距離，通過作差法可知動點M與兩個定點C，C的距離之差是一個定值，此時動點M運動的軌跡和問題2中的軌跡是同樣一條曲線嗎？讓我們通過幾何畫板繼續(xù)演示一下.

生5：根據(jù)幾何畫板我們看到，問題3中的動點M的軌跡與問題2中的動點M的軌跡不同，這是一條相對靠近點C的關(guān)于x軸對稱的曲線.

師：同學(xué)們觀察一下這兩條曲線，它們有什么共同特征呢？

生6：動點M的這兩條軌跡關(guān)于y軸以及原點O對稱.

師：觀察得非常仔細，我們將這樣的曲線稱為“雙曲線”.

設(shè)計意圖 弗賴登塔爾教育思想強調(diào)“數(shù)學(xué)化”的原則，即將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識進行分類組織，從而建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，在頭腦中形成數(shù)學(xué)概念的知識結(jié)構(gòu). 問題2和問題3在問題1的基礎(chǔ)上通過改變已知條件進一步引導(dǎo)學(xué)生探究動點的運動軌跡. 根據(jù)學(xué)生已有的關(guān)于圓和橢圓的知識進行探究，由動點與定點之間的距離判斷動點的運動軌跡，從而不斷深化學(xué)生的思維，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí). 在本例的教學(xué)中，充分借助幾何畫板進行動態(tài)演示，使得學(xué)生不僅從數(shù)據(jù)和圖形分析中了解了雙曲線的定義，還從直觀上感受到了雙曲線的結(jié)構(gòu)，為下一步進行抽象的探究做好了準備.

師：根據(jù)問題2和問題3的探究，你能得到什么結(jié)論？

生7：若動點M與兩個定點C，C的距離之差的絕對值是一個定值，則動點M的軌跡為雙曲線.

師：很好，我們能否與橢圓的定義進行類比，嘗試將雙曲線的定義概括得更一般化呢？

學(xué)生通過討論交流，并在筆者的指導(dǎo)下完善定義.

生8：若平面內(nèi)的點與兩個定點F，F(xiàn)的距離之差的絕對值為一個常數(shù)，則這個點的軌跡是雙曲線，定點F，F(xiàn)叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做雙曲線的焦距.

設(shè)計意圖 在教學(xué)中，教師要為學(xué)生的再創(chuàng)造搭建平臺，促進學(xué)生思維的發(fā)展. 筆者通過連續(xù)追問，引導(dǎo)學(xué)生概括結(jié)論，并與橢圓的定義進行類比，將動點M的軌跡引申為一般性的雙曲線概念，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，完善認知結(jié)構(gòu).

4. 建構(gòu)反思性認知結(jié)構(gòu)，進行課堂拓展

弗賴登塔爾教育思想認為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心是反思，提升反思能力是發(fā)展數(shù)學(xué)思維的重要環(huán)節(jié). 學(xué)生進行數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是一個由淺入深、逐層遞進的過程，教師需要設(shè)計環(huán)環(huán)相扣的問題才能引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)學(xué)習(xí)能力和反思能力的提升，從而發(fā)展學(xué)生思維的深刻性、發(fā)散性，并引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì). 因此，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，教師要精心設(shè)計教學(xué)活動，明確教學(xué)的重難點，并對學(xué)生進行針對性的指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，體會數(shù)學(xué)概念形成和發(fā)展的過程，真正理解數(shù)學(xué)概念背后的邏輯和規(guī)律.

設(shè)計意圖 當學(xué)生掌握了雙曲線的本質(zhì)屬性后引導(dǎo)學(xué)生反思自己給出的雙曲線的定義，最終完善雙曲線的定義. 此過程不僅幫助學(xué)生形成了反思性認知結(jié)構(gòu)，還引導(dǎo)學(xué)生完整和準確地表達了數(shù)學(xué)概念.

綜上所述，在弗賴登塔爾教育思想的指導(dǎo)下開展數(shù)學(xué)概念教學(xué)活動，要依托學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實設(shè)計教學(xué)活動，使學(xué)生在已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上自然地展開新知的學(xué)習(xí)和探索. 教師要注重搭建知識“再創(chuàng)造”的平臺，引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，幫助學(xué)生建構(gòu)和完善知識體系，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提升，真正落實課程目標對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要求.