凌泉

【摘要】等腰三角形是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，它的有關(guān)知識(shí)在平面幾何的計(jì)算和證明方面有非常廣泛的應(yīng)用．近幾年的中考考題中，有關(guān)等腰三角形的考題出現(xiàn)得較多，考法也比較新穎．本文先對(duì)有關(guān)等腰三角形的考點(diǎn)進(jìn)行概述，然后以例題的形式闡述等腰三角形考點(diǎn)的幾種常見考法，供學(xué)生復(fù)習(xí)備考時(shí)參考．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；等腰三角形；解題

1 等腰三角形重要考點(diǎn)概述

等腰三角形是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，現(xiàn)將涉及等腰三角形的中考考點(diǎn)加以闡述．第一，與等腰三角形性質(zhì)有關(guān)的考點(diǎn)，主要有：等邊對(duì)等角（即等腰三角形的兩個(gè)底角相等）和三線合一（即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合）；第二，與等腰三角形判定有關(guān)的考點(diǎn)，主要有：“有兩邊相等的三角形是等腰三角形”和“有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）”.

2 等腰三角形重要考點(diǎn)例析

2.1 根據(jù)等邊對(duì)等角求角度

例1 如圖1所示，AD是△ABC的角平分線，AC=BC，∠ADC=60°，求∠C的度數(shù)．

解析 令∠BAD=x，

因?yàn)锳D平分∠BAC，

所以∠CAD=∠BAD=x，∠BAC=2x（角平分線的定義），

因?yàn)锳C=BC，

所以∠B=∠BAC=2x（等邊對(duì)等角），

又因?yàn)椤螦DC=∠B+∠BAD（三角形外角的性質(zhì)），

所以2x+x=60°，得x=20°，

所以∠B=∠BAC=40°，

在△ABC中，

因?yàn)椤螧AC+∠B+∠C=180°，

所以∠C=100°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義，根據(jù)等邊對(duì)等角求角度，學(xué)生熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

2.2 根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)

例2 如圖2所示，燈塔B在燈塔A的正東方向，且AB=75km．燈塔C在燈塔A的北偏東20°方向，燈塔C在燈塔B的北偏西50°方向．

（1）求∠ACB的度數(shù)；

（2）一輪船從B地出發(fā)向北偏西50°方向勻速行駛，5h后到達(dá)C地，求輪船的速度．

解析（1）根據(jù)題意得∠BAC=70°，

∠ABC=40°，

所以∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=

180°-70°-40°=70°.

（2）因?yàn)椤螧AC=∠ACB=70°，

所以BC=AB=75km，

所以輪船的速度為v=BC/t=15km/h．

點(diǎn)評(píng) 本題考查方位角、等腰三角形的判定、三角形的內(nèi)角和定理，學(xué)生熟練掌握等腰三角形的等角對(duì)等邊是解答本題的關(guān)鍵．

2.3 根據(jù)“三線合一”求解有關(guān)實(shí)際問題

例3 筼筜書院是廈門第一座現(xiàn)代書院，位于國(guó)家重點(diǎn)公園——白鷺洲公園東區(qū)．筼筜是竹之雅稱，書院以竹命名，自此鷺島貧筜湖畔于竹林環(huán)水，桃李繽紛之中，多了一處可供商量舊學(xué)，培養(yǎng)新知之地．如圖3所示，“筼筜書院”的頂端可看作等腰三角形ABC，AB=AC，D是邊BC上的一點(diǎn)．下列條件不能說明AD是△ABC的角平分線的是（）

（A）BD=CD.（B）∠ADB=∠ADC.

（C）S△ABD=S△ACD.（D）BC=2AD.

解析 因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，AB=AC，

所以BD=CD，

所以AD是△ABC的角平分線，

故（A）選項(xiàng)不符合題意；

因?yàn)椤螦DB+∠ADC=180°，

所以∠ADB=∠ADC=90°，

即AD是△ABC的高線，

因?yàn)椤鰽BC是等腰三角形，AB=AC，

所以AD是△ABC的角平分線，

故（B）選項(xiàng)不符合題意；

因?yàn)镾△ABD=S△ACD，

所以BD=CD，

所以AD是△ABC的角平分線，

故（C）選項(xiàng)不符合題意；

若BC=2AD，不能說明AD是△ABC的角平分線，故（D）選項(xiàng)符合題意.

點(diǎn)評(píng) 此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，學(xué)生重點(diǎn)掌握等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．

2.4 根據(jù)“三線合一”證明

例4 如圖4所示，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，DE∥BC，將△ABC沿DE對(duì)折，點(diǎn)A落在點(diǎn)A＇．

（1）請(qǐng)你根據(jù)圖形，利用無刻度的直尺作出邊BC的垂直平分線；

（2）請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，證明所作的直線為邊BC的垂直平分線．

解析 （1）如圖5所示，直線AA＇即為BC的垂直平分線.

（2）由翻折可得AA＇⊥DE，

因?yàn)镈E∥BC，

所以AA＇⊥BC，

因?yàn)锳B=AC，

所以△ABC為等腰三角形，

所以直線AA＇即為BC的垂直平分線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖、基本作圖、根據(jù)“三線合一”證明有關(guān)問題．

3 結(jié)語

等腰三角形是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要考點(diǎn)，掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定方法，能夠助力學(xué)生更好地解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題．同時(shí)，等腰三角形在實(shí)際生活中也有很廣泛的應(yīng)用，例如在建筑設(shè)計(jì)、工程測(cè)量、物理學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，應(yīng)當(dāng)引起學(xué)生的足夠重視．

參考文獻(xiàn)：

[1]王成棟.巧用等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)解題[J].現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2023（20）：33-34.

[2]鮑聰曉.等腰三角形重要題型解析[J].中學(xué)生數(shù)理化（八年級(jí)數(shù)學(xué)）（配合人教社教材），2023（10）：6-8.

[3]安娜.等腰三角形常見解題誤區(qū)[J].初中生世界，2023（15）：57.

[4]蔡建華.芻議等腰三角形問題中的分類討論[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2023（07）：25-27.

[5]周貴勝.巧用等腰三角形旋轉(zhuǎn)解題[J].初中生學(xué)習(xí)指導(dǎo)，2022（33）：22-24.