李梅 蔡華

摘要：?函數(shù)是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的概念，也是新教材高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).如果教師能巧妙地利用函數(shù)圖象將抽象的問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，則可以幫助學(xué)生有效地理解函數(shù)，也可以大大降低學(xué)習(xí)函數(shù)的難度.利用GGB軟件展示一些常見的函數(shù)圖象，讓學(xué)生充分進(jìn)行觀察和思考，并總結(jié)出相關(guān)函數(shù)的圖形的特征.這樣就可以有效輔助函數(shù)的教學(xué)工作，從而相對(duì)輕松地突破高中階段的重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容.

關(guān)鍵詞：?函數(shù)；GGB軟件；輔助函數(shù)教學(xué)；數(shù)形結(jié)合

函數(shù)是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的概念，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).圖象是描述函數(shù)變量之間關(guān)系的途徑之一，中學(xué)階段要研究的函數(shù)主要有

一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和冪函數(shù)等.如果學(xué)生不清楚這些函數(shù)的圖象，或者不明確影響函數(shù)圖象的因素，就很難真正掌握這些函數(shù)，更不用說利用相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)來解決實(shí)際問題了.如果教師能巧妙地利用函數(shù)圖象將抽象問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，則可以幫助學(xué)生有效地理解函數(shù)，也可以大大降低學(xué)習(xí)函數(shù)的難度.近年來，GGB軟件是一種操作簡(jiǎn)單方便且形象直觀、功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)作圖軟件，使用范圍非常廣泛.我們可以充分利用GGB軟件展示一些常見的函數(shù)圖象，讓學(xué)生充分進(jìn)行觀察和思考，并總結(jié)出相關(guān)函數(shù)的圖象特征.這樣就可以有效地輔助函數(shù)的教學(xué).

本文中將從人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)中三類函數(shù)的教學(xué)入手，例談如何有效利用GGB軟件輔助高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)教學(xué).

1 實(shí)例一：指數(shù)函數(shù)底數(shù)對(duì)函數(shù)圖象的影響

在指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）的教學(xué)過程中，若想研究底數(shù)a對(duì)函數(shù)圖象的影響，在利用GGB軟件畫圖時(shí)，可以用滑動(dòng)條控制參數(shù)a，通過拖動(dòng)滑動(dòng)條，仔細(xì)觀察a對(duì)圖象產(chǎn)生的影響，然后進(jìn)行總結(jié).學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)讛?shù)01時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，隨著x的不斷增大，y值也在不斷增大，圖象呈現(xiàn)出“一撇”狀（如圖2）.

為了進(jìn)一步研究底數(shù)的變化對(duì)圖象的影響，可以利用GGB軟件在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫出四個(gè)指數(shù)函數(shù)y=2.8x，y=1.8x，y=0.7x，y=0.8x的圖象（圖3）.還可以拖動(dòng)滑動(dòng)條，讓底數(shù)a不斷變化，通過觀察我們發(fā)現(xiàn)在y軸右側(cè)區(qū)域，底數(shù)越大圖象越高，順理成章也就總結(jié)出了指數(shù)函數(shù)圖象在y軸右側(cè)區(qū)域“底大圖高”這一規(guī)律.這樣形象直觀，也大大降低了學(xué)生學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的難度.

如果不使用信息技術(shù)，只能手工列表描點(diǎn)作出有限的幾個(gè)人為設(shè)定的特殊函數(shù)的圖象，然后觀察這幾個(gè)圖象來討論指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，顯然會(huì)帶來一些問題，比如，為什么要畫這幾個(gè)函數(shù)的圖象？為什么幾個(gè)具體的函數(shù)圖象就可以代表一般的函數(shù)圖象？由此得到的性質(zhì)是否可靠？利用GGB軟件，作圖更加方便，學(xué)生也能通過大量的函數(shù)圖象看到共性，更容易概括出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

2 實(shí)例二：雙曲函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)

在學(xué)習(xí)拓展內(nèi)容——函數(shù)f（x）=x+?a?x?時(shí)，可以利用GGB軟件畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，然后觀察函數(shù)的圖象，就可以輕松看出函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值、漸近線等一系列的相關(guān)性質(zhì).

在畫圖時(shí)可以用滑動(dòng)條控制參數(shù)a.通過拖動(dòng)滑動(dòng)條觀察a對(duì)圖象產(chǎn)生的影響.我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)參數(shù)a>0時(shí)，圖象（圖4）呈現(xiàn)出對(duì)勾形；當(dāng)參數(shù)a<0時(shí)，圖象（圖5）不再呈現(xiàn)對(duì)勾形；當(dāng)參數(shù)a=0時(shí)，函數(shù)的圖象（圖6）為過原點(diǎn)的一條直線.

通過觀察，發(fā)現(xiàn)圖4和圖5中的曲線都有相同的漸近線y=x.當(dāng)參數(shù)a>0時(shí)，函數(shù)f（x）=x+?a?x?在區(qū)間（－∞，－?a?），（0，?a?）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（－?a?，0），（?a?，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)參數(shù)a<0時(shí)，函數(shù)f（x）=x+?a?x?在區(qū)間（－∞，0），（0，+∞）上均單調(diào)遞增.不論參數(shù)a取何值，函數(shù)的圖象均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)f（x）=x+?a?x?為奇函數(shù).

所以利用GGB軟件可以輕松作出雙曲函數(shù)的圖象，通過對(duì)精準(zhǔn)函數(shù)圖象的觀察，學(xué)生很容易了解函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，形象且直觀，這樣就大大降低了學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的難度.

3 實(shí)例三：三角函數(shù)各參數(shù)對(duì)其圖象的影響

在學(xué)習(xí)三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象時(shí)，學(xué)生很難感受到每一個(gè)參數(shù)對(duì)于函數(shù)圖象的影響.如果能巧妙靈活使用GGB軟件，把其中的參數(shù)A，ω，φ均用參數(shù)按鈕設(shè)置成對(duì)應(yīng)的變化框或者滑動(dòng)按鈕，展示圖象的變化過程，學(xué)生就可以清晰、直觀地感受到每個(gè)參數(shù)對(duì)圖象的影響.

（1）研究參數(shù)A對(duì)函數(shù)圖象的影響

可以輸入不同的A（A＞0）值，讓學(xué)生觀察總結(jié)出A對(duì)函數(shù)的最值是有影響的，對(duì)周期、單調(diào)性均不產(chǎn)生影響，如圖7.

（2）研究參數(shù)ω對(duì)函數(shù)圖象的影響

通過改變變量ω（ω＞0）的值，引導(dǎo)學(xué)生觀察總結(jié)出ω影響的是函數(shù)的周期，如圖8.當(dāng)ω=2時(shí)，圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的?1?2?;當(dāng)ω=?1?2?時(shí)，圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍.

（3）研究參數(shù)φ對(duì)函數(shù)圖象的影響

通過改變變量φ的值，引導(dǎo)學(xué)生觀察總結(jié)出φ影響的是函數(shù)的位置，如圖9.當(dāng)φ>0時(shí)，圖象上所有點(diǎn)向左移動(dòng);當(dāng)φ<0時(shí)，圖象上所有點(diǎn)向右移動(dòng).

通過GGB軟件作圖，我們可以準(zhǔn)確地展示圖象的變換，讓學(xué)生能夠直觀地感受到每個(gè)參數(shù)對(duì)圖象的影響，可以很好地幫助學(xué)生理解這類函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題能力的重要內(nèi)容.“數(shù)形結(jié)合”法能夠使抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，將數(shù)學(xué)的研究方法和解題策略具體化，能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中更好地理解知識(shí)、掌握方法.而實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的有力工具就是精準(zhǔn)的GGB作圖軟件，所以我們要合理、有效、有意識(shí)地使用這種軟件來助力教學(xué).高中函數(shù)教學(xué)要基于教材和學(xué)生實(shí)際，結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，探索更合適的教學(xué)策略，幫助學(xué)生掌握更好的學(xué)習(xí)方法.當(dāng)然，在教學(xué)過程中不能僅關(guān)注知識(shí)和技能的傳授，還應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).這就需要教師注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力.數(shù)形結(jié)合法可以讓學(xué)生更好地掌握函數(shù)知識(shí)，形成數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力，從而提高高中函數(shù)教學(xué)水平.