范丹妮

深度學(xué)習(xí)是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程[1].

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析[2].

如何開展教學(xué)才能更好地推動(dòng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)呢？教師需要在把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的同時(shí)，兼顧學(xué)生的思維規(guī)律與教學(xué)的基本規(guī)律，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫常寣W(xué)生圍繞揭示本質(zhì)的問題展開深度學(xué)習(xí).筆者設(shè)計(jì)了“n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪”的教學(xué)案例，供讀者參考.

1 教材內(nèi)容解析

本節(jié)課是人教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》必修第一冊(cè)第四章第4.1.1節(jié)——n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，其中n次方根的概念是為引出分?jǐn)?shù)指數(shù)冪而做的必要鋪墊.結(jié)合前面分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，要想定義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪必須先定義單位分?jǐn)?shù)指數(shù)冪a[SX（]1[]n[SX）]，而分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又可以看成是方根的另一種表示：

a[SX（]1[]n[SX）]=[KF（S]n[]a[KF）].可見n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是統(tǒng)一的，且以分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示根式，為后續(xù)運(yùn)算帶來了便捷.本節(jié)課的主要任務(wù)就是把整數(shù)指數(shù)冪推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，這對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容起到承上啟下的作用：一方面，它是學(xué)生學(xué)習(xí)平方根、立方根以及整數(shù)指數(shù)冪已有經(jīng)驗(yàn)的延伸；另一方面，指數(shù)的推廣為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)作了必要的鋪墊.

教學(xué)線索如圖1所示：

2 教學(xué)分析

2.1 教學(xué)目標(biāo)

（1）理解根式的意義，掌握根式的性質(zhì).

（2）掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義及其與根式之間的互化.

（3）掌握并能夠初步運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).

2.2 教學(xué)重難點(diǎn)

重難點(diǎn)：n次方根的概念及性質(zhì)、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).

重難點(diǎn)突破：以初中學(xué)習(xí)的根式為切入點(diǎn)，類比歸納出n次方根的概念.結(jié)合具體例子，從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生得出n次方根的性質(zhì)，而平方根、立方根的性質(zhì)則可以進(jìn)一步推廣到n次方根的性質(zhì)，授課時(shí)，充分利用平方根、立方根、四次方根，突破學(xué)生對(duì)n次方根性質(zhì)的掌握.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是對(duì)指數(shù)概念的進(jìn)一步推廣，課堂上可結(jié)合具體例子讓學(xué)生理解其定義的合理性，明確它其實(shí)是根式的另一種表現(xiàn)形式，在根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互相轉(zhuǎn)化中鞏固理解.有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)與初中學(xué)過的整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)一致，學(xué)生學(xué)習(xí)起來應(yīng)該不難.

教學(xué)線索如圖2所示：

3 育人價(jià)值

通過n次方根、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念的學(xué)習(xí)，體會(huì)從特殊到一般的思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng).通過對(duì)n次方根性質(zhì)的探究，體會(huì)分類討論思想方法，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).通過由整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)得到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，體會(huì)指數(shù)冪的推廣過程中，運(yùn)算性質(zhì)的前后一致性，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

從更宏觀的視角來看，回顧學(xué)生在小學(xué)階段學(xué)習(xí)數(shù)的過程，從正數(shù)到負(fù)數(shù)，到有理數(shù)，最后到無理數(shù)，而指數(shù)冪的推廣恰恰也是按照同樣的路徑展開，從正整數(shù)指數(shù)冪到負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（下節(jié)課還會(huì)推廣到到無理數(shù)指數(shù)冪），這體現(xiàn)了研究數(shù)學(xué)問題的前后一致性和邏輯連貫性以及數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，是發(fā)展學(xué)生理性思維的良好載體.這對(duì)發(fā)展學(xué)生“四基”“四能”，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都具有非常積極的作用.

4 教學(xué)過程

4.1 新課導(dǎo)入

師：考古學(xué)家通過檢測良渚遺址中碳14的殘留量推斷古城存在時(shí)期的過程中，用到了指數(shù)函數(shù)相關(guān)知識(shí)，指數(shù)函數(shù)在日常生活中應(yīng)用廣泛，同時(shí)也是我們將要學(xué)習(xí)的重要基本初等函數(shù)之一.在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)前，需要先將指數(shù)的取值范圍從初中的整數(shù)集拓展到實(shí)數(shù)集.上一章，我們將冪函數(shù)c=.是否還有其他形如S這樣以分?jǐn)?shù)為指數(shù)的冪呢？如果有，它們又表示什么？這就是我們本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容——n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.

設(shè)計(jì)意圖：“深度學(xué)習(xí)”強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)活動(dòng)，親身經(jīng)歷知識(shí)發(fā)現(xiàn)、發(fā)生、發(fā)展的過程，形成豐富的內(nèi)心體驗(yàn)[3].這里以考古學(xué)家測定古城時(shí)間問題為引入，增強(qiáng)課堂趣味性，有利于提升學(xué)生的主動(dòng)性.從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生從特殊的S展開思考，讓其經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生的過程.

4.2 探究新知（一）

師：初中我們學(xué)過平方根和立方根，請(qǐng)同學(xué)們回顧一下它們的定義.

生：如果x2=a，那么x叫做a的平方根.

生：如果x3=a，那么x叫做a的立方根.

師：如果x4=a呢？仿照前面，你認(rèn)為x叫做a的什么？能舉個(gè)例子嗎？

生：四次方根！比如±2是16的四次方根，因?yàn)椋ā?）4=16.

師：進(jìn)一步推廣，能否得出n次方根的概念？

生：如果xn=a，可以把x叫做a的n次方根.

師：n有沒有范圍？

生：n>1，n∈N*.

師：請(qǐng)思考，一個(gè)數(shù)的n次方根可能有幾個(gè)？如何表示它們？我們先從特殊情況展開.

設(shè)計(jì)意圖：一方面，從平方根、立方根入手引出n次方根.激活了學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，但這并不是最終目的.經(jīng)驗(yàn)的改造、提升并使之理性化、抽象化，達(dá)到知識(shí)的高度、豐富度和自覺度才是目的[4].另一方面，明確接下來要研究的問題，引導(dǎo)學(xué)生在具體實(shí)例中關(guān)注問題的答案，而非盲目參與活動(dòng).

師：23=8，2是8的立方根，33=27，3是27的立方根，能否說出其他類似的例子？

生：25=32，2是32的五次方根.

生：（－2）3=－8，-2是-8的三次方根.

師：能說說一個(gè)數(shù)的奇次方根的情況嗎？

生：一個(gè)數(shù)的奇次方根只有一個(gè).正數(shù)的奇次方根也為正；負(fù)數(shù)的奇次方根仍為負(fù).

師：仿照剛才的探究過程，我們來看看偶次方根的情況.（±2）2=4，±2是4的平方根，還有嗎？

生：（±2）4=16，±2是16的四次方根；（±3）4=81，±3是81的四次方根.

師：有沒有一個(gè)數(shù)的平方等于-4？-16？或者有沒有一個(gè)數(shù)的四次方等于-81？

生：沒有.任意實(shí)數(shù)的偶次方必是非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)均不存在偶次方根.

師：那么正數(shù)是否存在偶次方根呢？如果存在，有幾個(gè)？

生：存在，而且有兩個(gè)，二者互為相反數(shù).如±2是4的平方根.

師：一個(gè)數(shù)的n次方根的情況與什么有關(guān)？

生：與這個(gè)數(shù)的正負(fù)以及n的奇偶有關(guān).

設(shè)計(jì)意圖：從聯(lián)想與結(jié)構(gòu)的角度思考深度學(xué)習(xí)，可以通過喚醒學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)來推進(jìn)本節(jié)課的教學(xué)，在當(dāng)下的學(xué)習(xí)內(nèi)容與已有的經(jīng)驗(yàn)之間搭建橋梁，處理好學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)——平方根、立方根與新授知識(shí)——n次方根之間的過渡與轉(zhuǎn)化.其實(shí)，把平方根、四次方根的性質(zhì)推廣就得到了偶次方根的性質(zhì)，把立方根的性質(zhì)推廣就得到了奇次方根的性質(zhì).

師：有了新的概念，如何用符號(hào)語言表示一個(gè)數(shù)的n次方根呢？

師：我們可以參考平方根、立方根的符號(hào)表示.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，將a的n次方根記為?n?a?；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，將正數(shù)a正的n次方根記為?n?a?，負(fù)的n次方根記為－?n?a?，?n?a?與－?n?a?可以放一起，記為±?n?a?.0的任何次方根都是0，記作?n?0?=0.把?n?a?稱為根式，n稱為根指數(shù)，a稱為被開方數(shù).

師：能否用簡潔的符號(hào)語言表示發(fā)現(xiàn)的結(jié)論呢？

引導(dǎo)學(xué)生歸納，得到表1.

師：數(shù)學(xué)有三種語言，文字語言、符號(hào)語言和？

生：圖形語言！

師：上面的結(jié)論，能否用圖形語言來說明呢？看到xn=a，你會(huì)聯(lián)想到最近學(xué)的什么知識(shí)？

生：冪函數(shù).

生：xn=a可以理解為y=xn的函數(shù)值為a.

師：能否從冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的角度考慮上面的結(jié)論.

生：如果n為正奇數(shù)，易知y=xn為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；如果n為正偶數(shù)，則y=xn為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

生：n為正奇數(shù)時(shí)，函數(shù)值為a，可以畫直線y=a，如圖3，此時(shí)y=xn的圖象與直線y=a有1個(gè)交點(diǎn).當(dāng)a>0，交點(diǎn)橫坐標(biāo)為正數(shù)，即?n?a?；當(dāng)a<0.交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)，即?n?a?；當(dāng)a=0，交點(diǎn)為原點(diǎn)，橫坐標(biāo)為0，即?n?0?=0.

生：n為正偶數(shù)時(shí)，由圖4可知，當(dāng)a>0時(shí)，冪函數(shù)y=xn的圖象與直線y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即±?n?a?；當(dāng)a=0時(shí)，冪函數(shù)的圖象與直線y=xn有一個(gè)交點(diǎn)（原點(diǎn)），交點(diǎn)橫坐標(biāo)為0；當(dāng)a<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象與直線y=xn沒有交點(diǎn)，即不存在這樣的x使得xn=a，即負(fù)數(shù)的偶次方根不存在.

設(shè)計(jì)意圖：課程標(biāo)準(zhǔn)中指出，直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)[2].這里借助冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，讓學(xué)生從不同角度理解n次方根，突破本節(jié)課的重難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用圖象理解和解決數(shù)學(xué)問題，發(fā)展學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

師：說得非常好，從圖象的角度，更加直觀地闡述了我們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.接下來，n次方根有什么性質(zhì)呢？根據(jù)n次方根的意義，可得（?n?a?）n=a.?n?an?表示an的n次方根，?n?an?=a一定成立嗎？如果不一定成立，那么?n?an?等于什么？請(qǐng)同學(xué)們分小組探究.

生：成立，如?52?=5，?3?33?=3，?4?24?=2.

生：不一定成立，比如?（－5）2?=5，?4?（－2）4?=2.

師：哪個(gè)小組能總結(jié)一下？

生：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，?n?an?=a.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，?n?an?=|a|=?a，a≥0，－a，a<0.

設(shè)計(jì)意圖：“活動(dòng)與體驗(yàn)”是深度學(xué)習(xí)的核心特征，也是讓學(xué)生全身心投入知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程的有效途徑.要想讓學(xué)生從被迫接受知識(shí)轉(zhuǎn)化為主動(dòng)探求知識(shí)，就需要教師尋找合適的時(shí)機(jī)，為學(xué)生創(chuàng)造“活動(dòng)”的機(jī)會(huì)，讓其切身經(jīng)歷n次方根性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程.

4.3 探究新知（二）

師：結(jié)合n次方根的定義，可知?5?a10?=?5?（a2）5?=a2（a>0），a2中的2與?5?a10?中的5與10有什么關(guān)系？?4?a12?=?4?（a3）4?=a3（a>0），a3中的3與?4?a12?中的4與12有什么關(guān)系？

生：2可以寫成?10?5?，3可以寫成?12?4?，即?5?a10?=a?10?5?（a>0），?4?a12?=a?12?4?（a>0）.

師：我們發(fā)現(xiàn)，把根式的被開方數(shù)寫成冪的形式，如上面的a10，如果其指數(shù)恰好能被根指數(shù)整除，比如?5?a10?中?10?5?=2，就可以用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪來表示根式.但如果根指數(shù)不是根式被開方數(shù)指數(shù)的約數(shù)，如?3?a2?，它是否仍能用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示呢？

生：應(yīng)該可以.

師：當(dāng)a，b，c均為正數(shù)時(shí)，你認(rèn)為?3?a2?，?b?，?4?c5?可以如何表示？

生：?3?a2?=a?3?2?，?b?=b?1?2?，?4?c5?=c?4?5?.

師：能否推廣到一般情況？

生：?n?am?=a?m?n?.

師：很好，這樣我們可以得到正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，即a?m?n?=?n?am?（a>0，m，n∈N*，n>1）.正數(shù)的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義又是什么呢？5－2，2－3等于什么？

生：5－2=?1?52?，2－3=?1?23?.

師：類比正數(shù)的負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，你認(rèn)為可以如何定義a－?m?n?？

生：a－?m?n?=?1?a?m?n??=?1??n?am??（a>0，m，n∈N*，n>1）.

師：參照之前0的整數(shù)指數(shù)冪的規(guī)定，0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪仍等于0，即0?m?n?=0，其中m，n∈N*，n>1，而0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪則無意義.有了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義后，我們就將ax中指數(shù)的范圍從初中的整數(shù)集拓展到了本節(jié)課的有理數(shù)集.而之前學(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)冪的相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于現(xiàn)在新學(xué)的有理數(shù)指數(shù)冪仍然適用，即對(duì)于任意的有理數(shù)r，s，都有：

（1）aras=ar+s（a>0，r，s∈Q）；

（2）（ar）s=ars（a>0，r，s∈Q）；

（3）（ab）r=arbr（a>0，r∈Q）.

4.4 總結(jié)提升

師：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？你有哪些收獲？你認(rèn)為接下來我們還可以研究什么？

設(shè)計(jì)意圖：回顧學(xué)習(xí)過程，揭示研究路徑，啟發(fā)學(xué)生思考，為接下來無理數(shù)指數(shù)冪的學(xué)習(xí)做鋪墊.

5 教學(xué)反思

深度學(xué)習(xí)應(yīng)關(guān)注不同學(xué)科之間、同學(xué)科內(nèi)部的相互滲透和交融，多以真實(shí)情境為起點(diǎn)展開教學(xué).從碳14的殘留量引入，體現(xiàn)了學(xué)科交融，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)廣泛的應(yīng)用價(jià)值.從函數(shù)的觀點(diǎn)思考一個(gè)數(shù)的n次方根的情況，體現(xiàn)了學(xué)科內(nèi)知識(shí)的前后聯(lián)系，同時(shí)也有助于學(xué)生的進(jìn)一步理解，發(fā)展了直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).深度學(xué)習(xí)應(yīng)突出深度思辨的思維指向，n次方根的性質(zhì)涉及到分類討論，學(xué)生在探究的過程中，經(jīng)歷了操作、猜想、思辨、聯(lián)想，這比知識(shí)本身更有價(jià)值，同時(shí)發(fā)展了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)，培養(yǎng)了學(xué)生實(shí)事求是、敢于質(zhì)疑的科學(xué)態(tài)度.

參考文獻(xiàn)：

[1]郭華.深度學(xué)習(xí)及其意義[J].課程·教材·教法，2016（11）：25-32.

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[3]劉月霞.指向“深度學(xué)習(xí)”的教學(xué)改進(jìn)：讓學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生[J].中小學(xué)管理，2021（5）：13-17.

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