胡大妹 游輝斐

摘要：數(shù)學(xué)解題與研究一直是數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)過(guò)程中的一個(gè)重要研究課題，也是提升能力與開(kāi)拓思維的基本場(chǎng)所.基于一道解三角形問(wèn)題實(shí)例，合理分析與研究，從不同層面加以巧妙探究，合理變式拓展，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的“一題多變”，達(dá)到問(wèn)題的“一題多得”，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：三角形；面積；一題多變；變式；拓展

借助一些典型的數(shù)學(xué)例（習(xí)）題，特別是高考真題、模擬題、自主招生題等，充分挖掘問(wèn)題的已知條件與所求結(jié)論，剖析問(wèn)題的內(nèi)涵與本質(zhì)，在解題的基礎(chǔ)上合理進(jìn)行“一題多變”，巧妙發(fā)散數(shù)學(xué)思維.通過(guò)典型問(wèn)題的“一題多變”，基于一個(gè)基本點(diǎn)，往往可以實(shí)現(xiàn)“一題多得”，從而實(shí)現(xiàn)解題研究，從不同思維視角來(lái)挖掘問(wèn)題的內(nèi)涵以及知識(shí)的聯(lián)系，全面提升綜合能力.

1問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若1tanA+1tanB+1tanC=2，且a2+b2+c2=2，則△ABC的面積S為＿＿＿＿.

分析：該試題以三角形為場(chǎng)景，結(jié)合三角形的三內(nèi)角正切值的倒數(shù)之和、三角形三邊的平方和這兩個(gè)定值條件，進(jìn)而確定相應(yīng)三角形的面積.關(guān)鍵就是通過(guò)三角函數(shù)關(guān)系式與三角形面積之間的聯(lián)系來(lái)過(guò)渡與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而為問(wèn)題的解決開(kāi)拓空間.

解析：易得1tanA+1tanB=cosAsinA+cosBsinB=cosAsinB+cosBsinAsinAsinB=sin（A+B）sinAsinB=sinCsinAsinB=cbsinA=c2bcsinA=c22S.

同理可得1tanB+1tanC=a22S，1tanC+1tanA=b22S.

于是，可得

2tanA+2tanB+2tanC=a2+b2+c22S.[JY]①

將1tanA+1tanB+1tanC=2，且a2+b2+c2=2代入①式，可得4=22S，解得S=14.

點(diǎn)評(píng)：該題的兩個(gè)條件對(duì)應(yīng)的等式分別是涉及角與邊的輪換對(duì)稱式，形式非常優(yōu)美，解答過(guò)程也非常完美.

基于此，借助三角函數(shù)的基本知識(shí)以及三角恒等變換公式等，通過(guò)三角形這一平面幾何場(chǎng)景，可以進(jìn)一步深入探究與拓展，合理進(jìn)行“一題多變”，提升問(wèn)題的深度與難度，加以合理變式與應(yīng)用，有效達(dá)到“一題多得”的目的，對(duì)于數(shù)學(xué)解題研究與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有一定的教學(xué)啟示.

2一題多變

2.1條件拓展

基于原問(wèn)題的應(yīng)用場(chǎng)景，通過(guò)三角形的三內(nèi)角所滿足的三角函數(shù)關(guān)系式加以合理變形與變式應(yīng)用，借助“三內(nèi)角正切值的倒數(shù)之和”加以深入研究，綜合三角函數(shù)及三角恒等變換公式等的應(yīng)用，從而得以巧妙變式拓展.

變式1在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若1tan2A+1tan2B+1tan2C=2，且a2+b2+c2=2，則△ABC的面積S為＿＿＿＿.

解析：由于1tanA+1tanB+1tanC2=1tan2A+1tan2B+1tan2C+2tanAtanB+2tanBtanC+2tanCtanA

=2+2（tanA+tanB+tanC）tanAtanBtanC，

利用斜三角形中恒有的三正切關(guān)系式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，可得1tanA+1tanB+1tanC2=4.

又1tanA+1tanB+1tanC＞0，所以

1tanA+1tanB+1tanC=2.余略.

變式2在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若1sin2A+1sin2B+1sin2C=5，且a2+b2+c2=2，則△ABC的面積S為＿＿＿＿.

解析：由于1sin2A=sin2A+cos2Asin2A=1+1tan2A，因此同理可得

1sin2B=1+1tan2B，

1sin2C=1+1tan2C.

以上三式相加，得5=1sin2A+1sin2B+1sin2C=3+1tan2A+1tan2B+1tan2C，則1tan2A+1tan2B+1tan2C=2.

以下解析部分同變式1，可得S=14.

巧妙通過(guò)題設(shè)條件的拓展，由簡(jiǎn)單的“三角形的三內(nèi)角正切值的倒數(shù)之和”進(jìn)一步變形，借助“三角形的三內(nèi)角正切值平方的倒數(shù)之和”或“三角形的三內(nèi)角正弦值平方的倒數(shù)之和”等視角加以拓展與應(yīng)用，變式轉(zhuǎn)化，創(chuàng)新應(yīng)用.

2.2轉(zhuǎn)換拓展

基于原問(wèn)題的應(yīng)用場(chǎng)景，合理通過(guò)題設(shè)條件與所求結(jié)論之間的轉(zhuǎn)換，由原來(lái)求解三角形面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解三角形的三邊的平方和問(wèn)題，改變問(wèn)題場(chǎng)景與解題方向，從而得以巧妙變式拓展.

變式3在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若1tanA+1tanB+1tanC=2，且△ABC的面積S=14，則a2+b2+c2=＿＿＿＿.（答案：2.）

在變式3的基礎(chǔ)上，綜合變式1、變式2的變形條件，深入創(chuàng)新與應(yīng)用，可以得到以下相應(yīng)的變式問(wèn)題.

變式4在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若1tan2A+1tan2B+1tan2C=2，且△ABC的面積S=14，則a2+b2+c2=＿＿＿＿.（

答案：2.）

變式5在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若1sin2A+1sin2B+1sin2C=5，且△ABC的面積S=14，則a2+b2+c2=＿＿＿＿.

（答案：2.）

以上變式4、變式5的解析過(guò)程，可以參考原問(wèn)題的變式1、變式2的解析過(guò)程，并結(jié)合原問(wèn)題的解析加以分析，這里不多加以展開(kāi)與敘述.

巧妙通過(guò)題設(shè)條件與所求結(jié)論之間的轉(zhuǎn)換，在原問(wèn)題與條件拓展的基礎(chǔ)上加以合理轉(zhuǎn)換與應(yīng)用，使得數(shù)學(xué)思維得以更大層面的發(fā)散與拓展，給問(wèn)題的研究與拓展提供更多的場(chǎng)景與應(yīng)用.

2.3應(yīng)用拓展

基于原問(wèn)題的應(yīng)用場(chǎng)景，從另一個(gè)方面加以題設(shè)條件與所求結(jié)論之間的轉(zhuǎn)換，由三角形問(wèn)題來(lái)確定相應(yīng)的三角函數(shù)問(wèn)題，拉開(kāi)問(wèn)題條件設(shè)置的難度，提升解題研究的維度，從而得以巧妙應(yīng)用拓展.

變式6在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若a2+b2+c2=2，且△ABC的面積S=14，則1tanA+1tanB+1tanC=＿＿＿＿.（答案：2.）

從單純的三角形問(wèn)題背景設(shè)置，合理創(chuàng)設(shè)條件，進(jìn)而過(guò)渡到求解與三角形的三個(gè)內(nèi)角有關(guān)的三角函數(shù)的代數(shù)式的求值問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的交匯與融合，合理創(chuàng)新應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)能力.

3教學(xué)啟示

基于相應(yīng)的典型實(shí)例，巧妙合理進(jìn)行“一題多變”，在一個(gè)簡(jiǎn)單基本問(wèn)題的基礎(chǔ)上，合理創(chuàng)設(shè)并設(shè)置一些相應(yīng)的創(chuàng)新應(yīng)用問(wèn)題，給數(shù)學(xué)解題與研究開(kāi)拓一個(gè)更加開(kāi)闊的空間與研究場(chǎng)所.

其實(shí)，以上的6個(gè)變式問(wèn)題，每一個(gè)都是很好的典型問(wèn)題，既是改編的延續(xù)，也是創(chuàng)新的成果，對(duì)于全面考查學(xué)習(xí)者的“四基”以及數(shù)學(xué)基本能力等方面，都可以作為考題來(lái)創(chuàng)設(shè)與應(yīng)用.

基于以上問(wèn)題的分析與剖析，合理進(jìn)行“一題多變”，可以實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的“一題多得”，在考查數(shù)學(xué)知識(shí)、聚合數(shù)學(xué)思維等方面都是很有效果的.基于此，數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)能力等方面都可得以巧妙拓展.

基于問(wèn)題的“一題多變”，合理變式與拓展，在變式過(guò)程中尋找“通性通法”，在探究中全面升華能力，數(shù)學(xué)解題研究之路一定會(huì)越鋪越遠(yuǎn)，創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力也會(huì)得以一定程度的培養(yǎng)與提升.