孫芳

主題式教學(xué)以“核心議題”為焦點(diǎn)，將教學(xué)理論和生活實(shí)踐有機(jī)結(jié)合起來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用水平.主題的范圍是比較廣泛的，它可以是一章或跨幾章的內(nèi)容，也可以是某種能力或者某個(gè)素養(yǎng)，還可以是一些章節(jié)的重要概念，等等.教師作為課堂教學(xué)的組織者，要打破單一知識(shí)、單一章節(jié)的束縛，著眼于全局，結(jié)合教學(xué)實(shí)際合理設(shè)計(jì)主題，充分發(fā)揮主題式教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，提升復(fù)習(xí)教學(xué)品質(zhì).筆者以“圓錐曲線的參數(shù)方程復(fù)習(xí)”為例，談?wù)剬?duì)“主題式”課堂教學(xué)的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)，若有不足，請(qǐng)指正！

1知識(shí)回顧

問(wèn)題1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及參數(shù)方程分別是什么？

根據(jù)預(yù)設(shè)，大多數(shù)學(xué)生能夠輕松地給出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程，即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x－a）2+（y－b）2=r2（r>0），參數(shù)方程為x=a+rcosθ，y=b+rsinθ，其中θ為參數(shù).

問(wèn)題2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、參數(shù)方程呢？

根據(jù)預(yù)設(shè)，大多數(shù)學(xué)生能夠輕松地給出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），常用的參數(shù)方程為x=acosθ，y=bsinθ，其中θ為參數(shù).

思考1它們的參數(shù)方程是否唯一？

思考2圓錐曲線的普通方程和參數(shù)方程是否可以互相轉(zhuǎn)化？如果可以，如何轉(zhuǎn)化？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)指向明確的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)的圓與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程，及參數(shù)方程和普通方程的互化，檢測(cè)學(xué)生的基本知識(shí)掌握情況，喚醒學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)，為接下來(lái)進(jìn)入主題做好充分的準(zhǔn)備.

2方法建構(gòu)

例1已知M是橢圓x29+y24=1上一點(diǎn)，M到x+2y－10=0的距離最小，求點(diǎn)M坐標(biāo)及最小距離.

例1看似簡(jiǎn)潔，但是蘊(yùn)含著豐富的信息，非常具有典型性.教學(xué)中，教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后通過(guò)師生互動(dòng)的方式了解學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握情況，充分挖掘?qū)W生的思維漏缺，以便通過(guò)及時(shí)的修補(bǔ)提升學(xué)生的解題技能.從教學(xué)反饋上來(lái)看，大部分學(xué)生還是習(xí)慣應(yīng)用普通方程來(lái)求解，但是應(yīng)用該方法不僅需要較強(qiáng)的分析能力，而且對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力也提出了更高的要求，這樣學(xué)生雖然最終得到了答案，但是卻消耗了較多的時(shí)間.為了充分展示圓錐曲線參數(shù)方程中“坐標(biāo)法”在解決有關(guān)距離問(wèn)題、交點(diǎn)問(wèn)題、最值問(wèn)題等方面的優(yōu)越性，教師做了如下引導(dǎo)：

師：你認(rèn)為解題的關(guān)鍵是什么呢？

生1：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，這樣可以根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式把距離表示出來(lái).

師：點(diǎn)M的坐標(biāo)如何設(shè)呢？如何表示橢圓上的點(diǎn)呢？

（問(wèn)題給出后，教師刻意放緩速度，讓學(xué)生思考、交流，最終達(dá)成共識(shí).）

生2：設(shè)M（3cosθ，2sinθ）.

師：說(shuō)說(shuō)你的理由.

生3：點(diǎn)M（3cosθ，2sinθ）中只有一個(gè)變量，顯然用“坐標(biāo)法”表示出橢圓上動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)更高效.

這樣確定解題策略后，教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生動(dòng)手計(jì)算，從解題反饋來(lái)看，大多學(xué)生能夠求出點(diǎn)M到橢圓的最小距離，不過(guò)部分學(xué)生在求點(diǎn)M的坐標(biāo)時(shí)卻犯了難，可見(jiàn)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)輔助角公式的掌握還有些欠缺，在后續(xù)學(xué)習(xí)中有必要進(jìn)行進(jìn)一步的強(qiáng)化.

設(shè)計(jì)意圖：教學(xué)中，教師先讓學(xué)生獨(dú)立求解，并結(jié)合學(xué)生解題反饋進(jìn)行啟發(fā)和引導(dǎo)，讓學(xué)生體會(huì)應(yīng)用“坐標(biāo)法”解題的優(yōu)越性，強(qiáng)化橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用.在以上教學(xué)過(guò)程中，教師以學(xué)生已有認(rèn)知為出發(fā)點(diǎn)，讓學(xué)生的思維能力在“低起點(diǎn)、小坡度”問(wèn)題的解決中螺旋上升.

3類比探究

問(wèn)題3與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃相類比，請(qǐng)對(duì)例1進(jìn)行改編.

教師鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)對(duì)題目進(jìn)行改編，教師巡視，并投影學(xué)生交流結(jié)果：

（1）已知M（x，y）是橢圓x29+y24=1上一動(dòng)點(diǎn)，求2x+3y的取值范圍.

（2）已知M是圓（x－1）2+y2=1上一點(diǎn)，若點(diǎn)M到直線x+2y－10=0的距離最小，求點(diǎn)M坐標(biāo)及最小距離.

師：對(duì)于以上問(wèn)題，我們可以用什么方法來(lái)求解呢？

生齊聲答：坐標(biāo)法.

師：很好，在圓錐曲線中，對(duì)于求取值范圍、最值、位置關(guān)系等問(wèn)題，都可以用“坐標(biāo)法”來(lái)求解.請(qǐng)大家以小組為單位，給出以上兩道題目的解答過(guò)程.

教師讓學(xué)生以小組為單位，共同完成以上問(wèn)題的解答，通過(guò)互動(dòng)交流進(jìn)一步強(qiáng)化“坐標(biāo)法”的理解，感悟“坐標(biāo)法”的優(yōu)越性.

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)例1進(jìn)行改編，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的遷移，加深對(duì)“坐標(biāo)法”的理解，領(lǐng)悟問(wèn)題的本質(zhì).在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要提供機(jī)會(huì)讓學(xué)生類比、聯(lián)想、驗(yàn)證，培養(yǎng)學(xué)生勇于聯(lián)想、樂(lè)于探究的良好習(xí)慣，提高學(xué)生提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，促進(jìn)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展.

4思考探析

例2已知M是C1：x24+y2=1上一點(diǎn)，N是C2：x2+（y－3）2=1上一點(diǎn)，求|MN|的取值范圍.

師：例1及其改編題中僅有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，對(duì)于例2這種多個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題，我們?cè)撊绾谓鉀Q呢？

生4：例2是兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M（2cosα，sinα）（α為參數(shù)），點(diǎn)N（cosβ，3+sinβ）（β為參數(shù)），利用兩點(diǎn)間距離公式，可求|MN|的取值范圍.

生5：這樣又有兩個(gè)變量，可以嘗試將動(dòng)點(diǎn)M到動(dòng)點(diǎn)N的距離化為轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)M到圓心的距離，求出|OM|，然后加上或者減去半徑，即可求得|MN|的取值范圍.

師：非常好，在解決多個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，我們要學(xué)會(huì)“以靜制動(dòng)”，在變化中尋找不變的量，從而利用化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，高效解決問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖：在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)該結(jié)合教學(xué)實(shí)際選擇典型例題，這樣不僅可以幫助學(xué)生鞏固知識(shí)，更重要的是可以讓學(xué)生掌握知識(shí)應(yīng)用的不變性、靈活性，突出知識(shí)體系的完整性和知識(shí)間的聯(lián)系，提高綜合應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.多個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是高考的一個(gè)重要考點(diǎn)，也是教學(xué)難點(diǎn)，為了突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，教師通過(guò)典型例題在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”創(chuàng)設(shè)沖突，引導(dǎo)學(xué)生在“變”與“不變”中體會(huì)知識(shí)間的橫向聯(lián)系和方法上的差異性，滲透“化歸轉(zhuǎn)化”“數(shù)形結(jié)合”“以靜制動(dòng)”等常用的數(shù)學(xué)思想方法，突出“坐標(biāo)法”在解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的優(yōu)越性，發(fā)揮參數(shù)方程的最大作用，幫助學(xué)生積累豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，突出本課主題.

5鞏固成果

練習(xí)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為x=3cosθ，y=sinθ（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為x=a+4t，y=1－t（t為參數(shù)）.若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為17，求a.

設(shè)計(jì)意圖：練習(xí)是課堂的重要一環(huán)，其在數(shù)學(xué)教學(xué)中是必不可少的.從教的角度來(lái)看，通過(guò)練習(xí)可以檢測(cè)課堂教學(xué)效果，判斷教學(xué)目標(biāo)是否達(dá)成；從學(xué)的角度來(lái)看，學(xué)生通過(guò)練習(xí)可以經(jīng)歷用“坐標(biāo)法”解題的全過(guò)程，充分體會(huì)“坐標(biāo)法”的應(yīng)用價(jià)值，增強(qiáng)解題信心.解題后，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)知識(shí)、方法等進(jìn)行歸納總結(jié)，讓學(xué)生更加全面地理解知識(shí)，切實(shí)提高分析和解決問(wèn)題的能力.

6結(jié)束語(yǔ)

本課以“坐標(biāo)法”研究為主題，充分展示參數(shù)方程的優(yōu)越性，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題.在本課教學(xué)中，教師精心挑選例題，讓學(xué)生體驗(yàn)利用“坐標(biāo)法”解決問(wèn)題的優(yōu)越性和必要性，讓學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)選擇合適的參數(shù)，借助參數(shù)為已知與未知架設(shè)橋梁，實(shí)現(xiàn)快速解題.在此過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比改編，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的橫向拓展和縱向延伸，幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提升復(fù)習(xí)品質(zhì).

從教學(xué)安排上來(lái)看，教師遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)水平，提升思維品質(zhì).另外，教學(xué)中，教師以發(fā)展學(xué)生為目標(biāo)，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考與合作交流，讓學(xué)生在互動(dòng)交流中形成正確的解題策略，感悟問(wèn)題的本質(zhì)，發(fā)展自主學(xué)習(xí)能力.

總之，在高中復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要從整體和全局的視角出發(fā)，根據(jù)教學(xué)實(shí)際設(shè)計(jì)“主題”，充分發(fā)揮“主題式”教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)系統(tǒng)的完善和解題技能的提升，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).