王衛(wèi)杰 張雅聲 姚紅 張學(xué)陽 周海俊

摘? 要：航天器軌道力學(xué)是航天領(lǐng)域基礎(chǔ)性學(xué)科。軌道機(jī)動是軌道力學(xué)課程教學(xué)的重要組成部分。教材是實施教學(xué)的載體，系統(tǒng)梳理典型航天器軌道力學(xué)教材及其特點(diǎn)，分別對國外和國內(nèi)典型軌道力學(xué)教材中軌道機(jī)動相關(guān)章節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行分析，研究歸納出當(dāng)前軌道機(jī)動教學(xué)內(nèi)容存在軌道機(jī)動動力來源不統(tǒng)一、軌道改變內(nèi)涵不明確、軌道調(diào)整和調(diào)相機(jī)動未受普遍關(guān)注等問題，進(jìn)而面向本科教學(xué)，突出高階性、創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)度，構(gòu)建軌道機(jī)動教學(xué)內(nèi)容的改革思路，以期為軌道力學(xué)課程教學(xué)改革提供支撐。

關(guān)鍵詞：航天器；軌道力學(xué)；軌道機(jī)動；軌道力學(xué)教材；教學(xué)內(nèi)容改革

中圖分類號：G642? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2024）15-0011-04

Abstract： Orbital mechanics of spacecraft is a basic discipline in the aerospace field. Orbital maneuver is an important part of the teaching of orbital mechanics. Textbooks are the carrier for implementing teaching. This paper systematically sorts out typical orbital mechanics textbooks of spacecraft and their characteristics， analyzes the contents of relevant chapters of orbital maneuver in typical orbital mechanics teaching materials at home and abroad. The study summarizes that the current orbital maneuver teaching content has inconsistent sources of orbital maneuver power， the connotation of orbital change is not clear， and orbital adjustment and phase modulation maneuvers have not received widespread attention. In order to provide support for the teaching reform of orbital mechanics， we should focus on undergraduate teaching， highlight the high order， innovation and challenges， and build a reform idea for the teaching content of orbital maneuver.

Keywords： spacecraft; Orbital Mechanics; Orbital Maneuvers; orbital mechanics textbook; teaching content reform

軌道力學(xué)（Orbital Mechanics）是以剛體航天器為研究對象，以高等數(shù)學(xué)、經(jīng)典力學(xué)、控制理論為基礎(chǔ)，分析它們在萬有引力及其他內(nèi)外力作用下的運(yùn)動特性和控制規(guī)律的一門科學(xué)，是天體力學(xué)在航天領(lǐng)域的具體應(yīng)用。自1957年第一顆人造地球衛(wèi)星發(fā)射成功以來，軌道力學(xué)逐步發(fā)展成為與航天工程實踐密切相聯(lián)系的學(xué)科，在航天任務(wù)設(shè)計、航天測控、航天器應(yīng)用等方面具有重要的地位和作用。軌道力學(xué)課程也是培養(yǎng)航天工程技術(shù)和指揮管理人才必須開設(shè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課程。

軌道機(jī)動（Orbital maneuvers）是指航天器在控制系統(tǒng)作用下有目的地改變其軌道參數(shù)，是人造天體與自然天體本質(zhì)性的區(qū)別。目前對航天器可控機(jī)動飛行的研究已形成一個新的研究領(lǐng)域，成為天體力學(xué)的一個新分支即應(yīng)用天體力學(xué)。軌道機(jī)動理論和方法是培養(yǎng)學(xué)員知天、用天能力的重要知識基礎(chǔ)，科學(xué)系統(tǒng)的軌道機(jī)動教學(xué)內(nèi)容是提高人才培養(yǎng)質(zhì)量的前提。教材是教學(xué)內(nèi)容的集中展現(xiàn)，是實施教學(xué)的載體，直接關(guān)系著教學(xué)質(zhì)量。在系統(tǒng)梳理國內(nèi)外典型航天器軌道力學(xué)教材基礎(chǔ)上，深入分析其中軌道機(jī)動相關(guān)內(nèi)容的特點(diǎn)，研究總結(jié)出當(dāng)前軌道機(jī)動教學(xué)內(nèi)容存在的問題，進(jìn)而面向本科教學(xué)，突出高階性、創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)度，構(gòu)建軌道機(jī)動教學(xué)內(nèi)容的改革思路。

一? 典型軌道力學(xué)教材梳理

航天技術(shù)是一個國家現(xiàn)代技術(shù)綜合發(fā)展水平的重要標(biāo)志，培養(yǎng)高素質(zhì)航天人才是建設(shè)航天強(qiáng)國的基礎(chǔ)性工程。目前，國內(nèi)外主要的航空航天類院校，如哈爾濱工業(yè)大學(xué)、西北工業(yè)大學(xué)、國防科技大學(xué)、美國麻省理工學(xué)院、美國安柏瑞德航空航天大學(xué)和美國空軍學(xué)院等國內(nèi)外航天名校，均開設(shè)了軌道力學(xué)相關(guān)的課程。不同的學(xué)者和機(jī)構(gòu)對軌道力學(xué)課程或教材名稱稱呼略有不同[1]，除軌道力學(xué)外，常見的名稱還有軌道動力學(xué)（Orbital dynamics）、航天動力學(xué)（Astrodynamics）等，表1給出了國內(nèi)外代表性的航天器軌道力學(xué)教材。

表1所示的軌道力學(xué)系列教材中，An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics作為麻省理工學(xué)院的航天動力學(xué)課程教材，重在數(shù)學(xué)方法的介紹和基本概念的闡述，公式推導(dǎo)簡潔明了，已經(jīng)倪彥碩等人翻譯為中文版[2]，但其內(nèi)容章節(jié)編排和其余教材差異較大，故不作進(jìn)一步討論。

張洪波在《航天器軌道力學(xué)理論與方法》[3]中論述到，軌道力學(xué)的研究內(nèi)容可分為軌道動力學(xué)和軌道控制兩部分。楊嘉墀在《航天器軌道動力學(xué)與控制》[4]中指出，軌道動力學(xué)主要是研究航天器在重力場和其他外力作用下的質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)問題；而航天器的軌道控制則研究對航天器的質(zhì)心主動施加外力，使之按需要改變運(yùn)動軌道的理論和技術(shù)。軌道力學(xué)的經(jīng)典研究內(nèi)容則包括二體軌道、軌道確定、軌道攝動、軌道機(jī)動、軌道設(shè)計、行星際和探月軌道等部分。根據(jù)上述定義，經(jīng)典軌道力學(xué)內(nèi)容體系中，最能體現(xiàn)軌道控制的為軌道機(jī)動，一定程度上軌道控制也可稱之為軌道機(jī)動。但對比分析七部教材內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)在軌道機(jī)動部分卻存在較大差異，為促進(jìn)軌道力學(xué)教學(xué)內(nèi)容改革，本文就此問題展開探究。

二? 國外教材軌道機(jī)動內(nèi)容分析

（一）? 柯蒂斯《軌道力學(xué)》

柯蒂斯是美國安柏瑞德航空航天大學(xué)教授。該大學(xué)是一所世界知名的以航空航天為特色的私立大學(xué)?？碌偎埂盾壍懒W(xué)》出版的目的是為工科本科生傳授航天力學(xué)的理論和方法，它不是針對研究生、研究人員和經(jīng)驗豐富的從業(yè)者，而是專門面向航天工程類本科生。

柯蒂斯《軌道力學(xué)》目前已發(fā)行了4版，其中第一版于2005年發(fā)行，并由周建華等人于2009年翻譯成中文版，最新的第4版于2020年發(fā)行[5]?？碌偎埂盾壍懒W(xué)》鮮明的特點(diǎn)是采用“teach-by-example”教學(xué)方法，強(qiáng)調(diào)分析過程和計算機(jī)實現(xiàn)的算法，包含了大量的例題和Matlab仿真程序，課程教學(xué)材料均可通過Elsevier網(wǎng)站獲?。ǖ菍ξ覈邢拗疲?，內(nèi)容主體是質(zhì)心軌道力學(xué)，但也包括了航天器姿態(tài)動力學(xué)和火箭動力學(xué)。

柯蒂斯《軌道力學(xué)》（第四版）沒有三節(jié)標(biāo)題，“軌道機(jī)動”安排在第6章，編排了10小節(jié)內(nèi)容：①引言；②脈沖機(jī)動；③霍曼轉(zhuǎn)移；④雙橢圓霍曼轉(zhuǎn)移；⑤調(diào)相機(jī)動；⑥共拱線的非霍曼轉(zhuǎn)移；⑦拱線轉(zhuǎn)動；⑧追擊，即軌道攔截；⑨非共面機(jī)動；⑩非脈沖軌道機(jī)動?？碌偎拱娼滩木劢姑}沖軌道機(jī)動，顯著特色是包括調(diào)相機(jī)動的內(nèi)容。

（二）? AIAA《軌道力學(xué)》

AIAA《軌道力學(xué)》是美國航空航天學(xué)會（AIAA）出版的航天領(lǐng)域系列教材[6]，由加州大學(xué)洛杉磯分校的Chobotov編寫，截至2002年已發(fā)行三個版本。相比柯蒂斯《軌道力學(xué)》，AIAA《軌道力學(xué)》內(nèi)容覆蓋更廣，比如多了小推力軌道機(jī)動、軌道覆蓋、軌道系統(tǒng)等，但少了軌道確定部分，同時很多內(nèi)容是結(jié)論性給出，缺乏必要的推導(dǎo)，所以可讀性較差。

AIAA《軌道力學(xué)》（第三版）“軌道機(jī)動”安排在第5章，分為10小節(jié)內(nèi)容：①軌道能量；②單脈沖轉(zhuǎn)移；③單脈沖和雙脈沖轉(zhuǎn)移比較；④霍曼轉(zhuǎn)移；⑤雙橢圓轉(zhuǎn)移；⑥圓形軌道的受限三沖量平面改變機(jī)動；⑦圓形軌道的一般三沖量平面改變機(jī)動；⑧帶分離平面改變的Hohmann轉(zhuǎn)移；⑨帶分離平面改變的雙橢圓轉(zhuǎn)移；⑩共面橢圓軌道間的轉(zhuǎn)移。AIAA版教材側(cè)重脈沖作用下的軌道轉(zhuǎn)移和軌道改變，尤其是對軌道面機(jī)動區(qū)分較細(xì)。

（三）? 美國空軍學(xué)院《航天動力學(xué)基礎(chǔ)》

美國空軍學(xué)院出版的軌道力學(xué)教材名稱為《航天動力學(xué)基礎(chǔ)》，即表1中由Bate編寫的Fundamentals of Astrodynamics[7]，2020年發(fā)行了該教材的第2版。美國空軍學(xué)院是專門為美國空軍和太空軍培養(yǎng)航天人才的院校，所以該教材軍事特色顯著，其扉頁寫到“This Textbook is dedicated to the members of the United Sates Air Force who have died in combat， are missing in action， or are prisoners of war”，帶有明顯的課程思政性質(zhì)。

美空版《航天動力學(xué)基礎(chǔ)學(xué)》（第二版）中“軌道機(jī)動”安排在第3章，章標(biāo)題為“基礎(chǔ)軌道機(jī)動”，從中即可看出該教材對軌道機(jī)動不做系統(tǒng)性深入研究，具體編排了5節(jié)內(nèi)容：①歷史背景；②低地球軌道，包括軌道高度對衛(wèi)星壽命的影響、直接上升到軌道、近地軌道地球非球形攝動；③高地球軌道，包括地球靜止軌道、發(fā)射高軌衛(wèi)星用的上升橢圓；④平面內(nèi)軌道改變，包括近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)的軌道高度調(diào)整、霍曼轉(zhuǎn)移、一般共面圓軌道之間的轉(zhuǎn)移；⑤平面外軌道改變。分析發(fā)現(xiàn)，美空版教材是從軌道發(fā)射和運(yùn)行的角度研究軌道機(jī)動的問題，包含了攝動作用下的軌道調(diào)整、共面軌道轉(zhuǎn)移和軌道面改變。

三? 國內(nèi)教材軌道機(jī)動內(nèi)容分析

（一）? 郗曉寧《近地航天器軌道基礎(chǔ)》

國防科技大學(xué)郗曉寧版《近地航天器軌道基礎(chǔ)》[8]第十章為“軌道機(jī)動”，分為5節(jié)內(nèi)容：①軌道調(diào)整，以攝動分析法研究軌道周期、長半軸、偏心率、升交點(diǎn)赤經(jīng)與傾角等軌道根數(shù)的調(diào)整；②軌道改變，包括共面軌道改變、軌道面改變，以及非共面軌道改變的一般情況；③軌道轉(zhuǎn)移，包括霍曼轉(zhuǎn)移、雙橢圓轉(zhuǎn)移、共面橢圓軌道之間的轉(zhuǎn)移，以及不同半徑的非共面圓軌道之間的轉(zhuǎn)移；④軌道攔截，包括最小能量攔截軌道和固定時間攔截軌道；⑤星座軌道控制。郗曉寧版教材的特點(diǎn)是概念簡明扼要，學(xué)員容易記憶。

航天工程大學(xué)張雅聲版《航天器軌道理論與應(yīng)用》[9]第五章“脈沖軌道機(jī)動”主體沿襲了郗曉寧教材的架構(gòu)，改動之處在于刪掉了第5節(jié)，新增了第1節(jié)“軌道機(jī)動的含義”，軌道機(jī)動的核心內(nèi)容變化不大，故不再贅述。

（二）? 張洪波《航天器軌道力學(xué)理論與方法》

國防科技大學(xué)張洪波版《航天器軌道力學(xué)理論與方法》[3]中，軌道機(jī)動相關(guān)的內(nèi)容編排了三章，分別為第九章“脈沖推力軌道機(jī)動”、第十章“有限推力軌道機(jī)動”、第十一章“小推力軌道機(jī)動”，有限推力和小推力可統(tǒng)稱為連續(xù)推力。其中，第九章與其他教材內(nèi)容對應(yīng)，分為4節(jié)內(nèi)容：①軌道機(jī)動的分類；②軌道改變，該節(jié)包含了前述兩部教材軌道改變和軌道攔截的內(nèi)容；③軌道轉(zhuǎn)移；④軌道調(diào)整。

經(jīng)對比分析，上述三部教材在軌道機(jī)動分類方法和教學(xué)內(nèi)容上有諸多相似之處，主要原因是三位作者求學(xué)或工作經(jīng)歷均出自國防科技大學(xué)，源自同一脈絡(luò)。

（三）? 哈爾濱工業(yè)大學(xué)《航天器軌道動力學(xué)》

哈爾濱工業(yè)大學(xué)趙鈞版《航天器軌道動力學(xué)》[10]中，第四章“航天器的軌道機(jī)動”分為5節(jié)內(nèi)容：①單脈沖機(jī)動，包括同平面脈沖機(jī)動、異面軌道間的單脈沖機(jī)動、脈沖機(jī)動的能量消耗；②同平面的軌道機(jī)動，包括霍曼過渡、同軸橢圓軌道之間的過渡（同向）；③航天器的軌道攔截，包括圓軌道上的攔截、橢圓軌道上的攔截、異面軌道的攔截；④氣動力輔助軌道機(jī)動；⑤連續(xù)作用力下的軌道機(jī)動。從中可以看出，趙均版教材軌道機(jī)動內(nèi)容涵蓋面較廣，但具體內(nèi)容論述不夠系統(tǒng)深入，顯著特點(diǎn)是將氣動力等外部環(huán)境力作為機(jī)動動力。

四? 軌道機(jī)動教學(xué)內(nèi)容改革

（一）? 軌道機(jī)動的定義

要科學(xué)界定軌道機(jī)動的教學(xué)內(nèi)容，首先要理清軌道機(jī)動的內(nèi)涵。不同的教材對軌道機(jī)動定義略有區(qū)別?？碌偎埂盾壍懒W(xué)》表述為軌道機(jī)動是使航天器從一個軌道轉(zhuǎn)移到另一個軌道上。AIAA版教材表述為通過改變速度將衛(wèi)星從一個軌道轉(zhuǎn)移到另一軌道。郗曉寧《近地航天器軌道基礎(chǔ)》表述為軌道機(jī)動是指衛(wèi)星在控制系統(tǒng)作用下改變其軌道根數(shù)。趙鈞《航天器軌道動力學(xué)》表述為航天器主動改變原來軌道的運(yùn)動狀態(tài)的過程，或者改變原來兩體意義下軌道的根數(shù)的過程。綜合上述定義，軌道機(jī)動有兩個層面的含義：一是航天器軌道根數(shù)發(fā)生了改變；二是這種改變是航天器主動為之，即是在航天器自身控制系統(tǒng)作用下發(fā)生的有意改變。明確了軌道機(jī)動的定義，再分析當(dāng)前軌道力學(xué)教材中存在的問題。

（二）? 典型教材中軌道機(jī)動存在的幾點(diǎn)問題

1? 軌道機(jī)動動力來源不統(tǒng)一

航天器軌道機(jī)動依賴于控制系統(tǒng)自身產(chǎn)生的驅(qū)動力，據(jù)此分析，上述教材在對軌道機(jī)動動力源劃分上存在兩個值得商榷的問題。一是趙均版教材將氣動力、引力、光輻射等外部環(huán)境作用力作為動力源。事實上，這些外部環(huán)境作用力在軌道力學(xué)中通常歸為攝動力，如大氣阻力攝動、地球非球形引力攝動、三體引力攝動，以及太陽輻射光壓攝動等。二是張洪波版教材將化學(xué)推進(jìn)系統(tǒng)產(chǎn)生的推力稱為有限推力，將電推進(jìn)等新型推進(jìn)系統(tǒng)產(chǎn)生的推力稱為小推力，二者本質(zhì)上均為連續(xù)推力，只是推力產(chǎn)生的介質(zhì)和大小不同。

綜上所述，將航天器控制系統(tǒng)提供的動力分為脈沖推力和連續(xù)推力更為合理，其中脈沖推力軌道機(jī)動難度較低，適合面向本科教學(xué)；連續(xù)推力軌道機(jī)動則難度較大，更適合研究生教學(xué)。目前面向本科生的教材，亦較少涉及連續(xù)推力。同時也有必要給學(xué)生概述性介紹軌道機(jī)動的定義和類型，讓學(xué)生知道脈沖機(jī)動和連續(xù)推力機(jī)動的區(qū)別和應(yīng)用場景。

2? 軌道改變的內(nèi)涵不明確

以郗曉寧版為代表的國防科技大學(xué)派教材，將軌道改變列為軌道機(jī)動的四種類型之一。而這一分法存在明顯的問題，首先軌道機(jī)動的定義即航天器軌道根數(shù)在控制系統(tǒng)作用下發(fā)生改變，一定意義上講，軌道機(jī)動就是軌道改變?？赡苁钦J(rèn)識到了這一問題，同為國防科技大學(xué)派的張洪波版教材已將軌道攔截納入軌道改變的范疇，其依據(jù)是將軌道改變定義為：初、終軌道相切，只需一次脈沖作用即可由初軌道進(jìn)入終軌道的軌道機(jī)動。這一定義顯然淡化了軌道攔截的作用和約束。同時，軌道根數(shù)改變中軌道傾角和軌道升交點(diǎn)的改變引起軌道面的調(diào)整，脈沖速度從軌道面內(nèi)的二維分量拓?fù)涞饺S空間，難度加大，適合作為單獨(dú)的內(nèi)容模塊。這大概也是國外軌道力學(xué)教材中均未專門將軌道改變作為一種軌道機(jī)動類型、卻突出軌道面改變的原因。

3? 軌道調(diào)整未受普遍關(guān)注

軌道調(diào)整的內(nèi)容出現(xiàn)在美空版和國防科技大學(xué)派教材中，其用途是消除軌道根數(shù)的微小偏差，所用的脈沖速度較小，相應(yīng)的脈沖推力可視為攝動力，因而可以用軌道攝動分析方法進(jìn)行研究，這與其他軌道機(jī)動類型研究時用的矢量分析法存在著明顯區(qū)別。軌道調(diào)整在軌道捕獲、軌道保持等方面有著重要的用途，但是柯蒂斯版、AIAA版以及趙鈞版等教材中則未體現(xiàn)這方面的內(nèi)容。

4? 柯蒂斯“獨(dú)唱”的調(diào)相機(jī)動

調(diào)相機(jī)動可視為一種雙脈沖霍曼轉(zhuǎn)移，但通?；袈D(zhuǎn)移的前提是航天器初、終軌道不相交，而調(diào)相機(jī)動前后，航天器則運(yùn)行在同一條軌道。調(diào)相機(jī)動在星座/星群的構(gòu)型維持、同一軌道兩航天器的交會、地球同步軌道衛(wèi)星的位置調(diào)整等方面有著廣泛的應(yīng)用。另外，我們知道地球上一個物體想要追上前方的另一物體，需要通過加速來實現(xiàn)，而在地球軌道上，則需要減速來實現(xiàn)，調(diào)相機(jī)動的這一特征能夠讓學(xué)生很好地認(rèn)識天體運(yùn)行的奧妙。作為一類非常能體現(xiàn)軌道運(yùn)行特色并且有著廣泛用途的機(jī)動方式僅在柯蒂斯版教材中出現(xiàn)，實屬遺憾，因此有必要將調(diào)相機(jī)動作為軌道機(jī)動教學(xué)內(nèi)容的一部分。

（三）? ?軌道機(jī)動的教學(xué)內(nèi)容改革思路

綜合上述分析，為落實教育部關(guān)于本科課程教學(xué)“高階性、創(chuàng)新性、挑戰(zhàn)度”要求，以全面夯實學(xué)員軌道機(jī)動教學(xué)內(nèi)容理論基礎(chǔ)，提升學(xué)員航天工程實踐能力，培塑學(xué)員科學(xué)思維和創(chuàng)新素養(yǎng)為導(dǎo)向，面向本科學(xué)員軌道力學(xué)課程專業(yè)教學(xué)需求，充分吸納國內(nèi)外軌道力學(xué)領(lǐng)域經(jīng)典教材的優(yōu)長，為解決當(dāng)前軌道機(jī)動教學(xué)內(nèi)容存在的問題，制定教學(xué)內(nèi)容改革技術(shù)路線，基本思路是以脈沖作用次數(shù)和特征速度求解為主線，以軌道面內(nèi)和軌道面外機(jī)動為任務(wù)剖面構(gòu)建內(nèi)容模塊，見表2。在實際教學(xué)中，可根據(jù)學(xué)時優(yōu)化重組教學(xué)內(nèi)容的編排。

為提升軌道機(jī)動教學(xué)效果，在具體教學(xué)方法手段上，應(yīng)注重基于STK/Astrogator等專業(yè)軟件的仿真實驗教學(xué)，具體可參閱相關(guān)文獻(xiàn)[11]，此處不再贅述。

五? 結(jié)束語

為更好地促進(jìn)航天器軌道力學(xué)課程教學(xué)，開展軌道機(jī)動教學(xué)內(nèi)容改革研究。系統(tǒng)梳理了國內(nèi)外航天器軌道力學(xué)教材，并就其軌道機(jī)動相關(guān)章節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行分析，研究總結(jié)出了當(dāng)前軌道機(jī)動教學(xué)內(nèi)容存在軌道機(jī)動動力來源不統(tǒng)一、軌道改變內(nèi)涵不明確、軌道調(diào)整和調(diào)相機(jī)動未受普遍關(guān)注等問題，以本科生為教學(xué)對象，落實課程建設(shè)“兩性一度”的總要求，構(gòu)建了軌道機(jī)動教學(xué)內(nèi)容的改革思路。

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