張明華

摘 要 數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)開啟了學(xué)生動(dòng)手做、動(dòng)腦思的新路徑，讓學(xué)生在動(dòng)手操作過程中掌握思考路徑、懂得思考步驟、學(xué)會(huì)思考方法，賦予學(xué)生數(shù)學(xué)思維力生長(zhǎng)的力量。在實(shí)驗(yàn)過程中可以通過問題，在解疑證惑中推進(jìn)數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)；通過方法，以邏輯推理引領(lǐng)數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)；通過反思，讓理性審視反哺數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)。

關(guān)? 鍵? 詞 數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)；教學(xué)思維力；數(shù)學(xué)問題；邏輯推理；理性反思

心理學(xué)研究表明：兒童的思維是從動(dòng)手開始的，切斷活動(dòng)與思維的聯(lián)系，思維就得不到發(fā)展[1]。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，動(dòng)手操作是解決數(shù)學(xué)知識(shí)抽象性和學(xué)生思維形象性之間矛盾的關(guān)鍵要素?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)是一個(gè)主動(dòng)的過程，認(rèn)真聽講、獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)作為一種能夠充分體現(xiàn)學(xué)生動(dòng)手操作、探究交流能力的重要學(xué)習(xí)方式悄然走進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂[2]。數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)是讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，通過探究、發(fā)現(xiàn)、思考、分析和歸納等思維活動(dòng)，最后獲得概念理解或解決問題的一種教學(xué)方式。在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)，感悟數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維力的生長(zhǎng)。

一、提煉問題：讓解疑證惑推進(jìn)數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)，凸顯有層次的“思”

數(shù)學(xué)思維力是指用數(shù)學(xué)觀念思考問題和解決問題的能力，因此，數(shù)學(xué)問題是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維力的重要載體。數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的開展不是機(jī)械的、盲目的，而是具有一定的針對(duì)性。教師應(yīng)以數(shù)學(xué)問題為引領(lǐng)，使之貫穿整個(gè)實(shí)驗(yàn)過程，這不僅能讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有的放矢，而且能為學(xué)生創(chuàng)造獨(dú)立的思考時(shí)空，引發(fā)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)期待，點(diǎn)燃學(xué)生的實(shí)驗(yàn)興趣，從而積極參與到解決問題的思維活動(dòng)中[3]。

如蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)下冊(cè)第七單元的“多邊形的內(nèi)角和”，要求學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)之間的關(guān)系，經(jīng)歷和體驗(yàn)探索數(shù)學(xué)規(guī)律的實(shí)驗(yàn)過程。結(jié)合該內(nèi)容，筆者設(shè)計(jì)了“探索多邊形的內(nèi)角和”數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)，并以問題為驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)解疑證惑，體現(xiàn)有層次的思考。

問題1：四年級(jí)我們學(xué)習(xí)了角的度量，測(cè)量了不同形狀三角形的內(nèi)角。隨著三角形形狀的變化，各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)也隨之發(fā)生變化。那么，任意三角形的內(nèi)角和都是一個(gè)固定值嗎？任意多邊形的內(nèi)角和呢？

在問題的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生以小組為單位進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，考慮到學(xué)生學(xué)情，為降低探究難度，筆者進(jìn)一步結(jié)合問題1進(jìn)行提問，幫助學(xué)生細(xì)化實(shí)驗(yàn)任務(wù)。

問題2：任意三角形的內(nèi)角和都是180°，四邊形的內(nèi)角和會(huì)是一個(gè)固定值嗎？

學(xué)生自主實(shí)驗(yàn)，通過拼角和測(cè)量的方法，猜測(cè)四邊形的內(nèi)角和是360°，為進(jìn)一步驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性，學(xué)生分享了多種計(jì)算方法（如圖1）。

問題3：對(duì)以上四種方法進(jìn)行對(duì)比分析，你們能發(fā)現(xiàn)什么？

對(duì)以上四種方法進(jìn)行對(duì)比分析后發(fā)現(xiàn)，求四邊形內(nèi)角和可以轉(zhuǎn)化成三角形內(nèi)角和計(jì)算。

問題4：看來，“分一分”是個(gè)好方法。你會(huì)用這樣的方法繼續(xù)探究五邊形、六邊形……的內(nèi)角和嗎？

學(xué)生各自操作、計(jì)算和實(shí)驗(yàn)，嘗試運(yùn)用多種方法將五邊形、六邊形……等分成三角形，再計(jì)算多邊形的內(nèi)角和。接著，筆者繼續(xù)提問：從以上的研究中，你們發(fā)現(xiàn)多邊形的內(nèi)角和與什么有關(guān)系？是否存在一定的規(guī)律呢？

學(xué)生按序整理多邊形內(nèi)角和的情況并填寫在表格中，發(fā)現(xiàn)它們的度數(shù)都是180的倍數(shù)，且分成的三角形個(gè)數(shù)比邊數(shù)少2（見表1）。照這樣，當(dāng)多邊形的邊數(shù)是n時(shí)，它的內(nèi)角和可以表示為（n－2）×180°。

在實(shí)驗(yàn)過程中，筆者以“任意多邊形的內(nèi)角和是否為固定值”這一問題，引領(lǐng)學(xué)生將求多邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和加以解決，學(xué)生動(dòng)手操做和數(shù)學(xué)思考處于挑戰(zhàn)、思考、再挑戰(zhàn)、再思考的螺旋上升過程中，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生思維的層層深入，教會(huì)學(xué)生如何思考問題。

二、開展類比：以邏輯推理引領(lǐng)數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)，探索有路徑的“思”

類比是一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评碚撟C方法，追求的是過程的嚴(yán)謹(jǐn)、結(jié)論的可靠，強(qiáng)調(diào)的是幫助學(xué)生借助熟悉的事物理解新知識(shí)。類比包含概念與操作的類比、結(jié)論的類比、方法的類比等。小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中的數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)是“再發(fā)現(xiàn)”的過程，而很多知識(shí)和結(jié)論對(duì)小學(xué)生而言，都是未知的，也是陌生的，能否借助已經(jīng)掌握的知識(shí)進(jìn)行類比推理得到新知識(shí)呢？這是數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)探究的一種有效思路。因此，在教學(xué)過程中需要教師巧妙地將新舊知識(shí)聯(lián)系起來，以邏輯推理引領(lǐng)數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)，幫助學(xué)生掌握研究問題的一般方法，從而獲得思考、解決問題的一般規(guī)律，發(fā)展學(xué)生思維力[4]。

蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)第六單元“圓面積的計(jì)算”要求學(xué)生用數(shù)方格的方法算出圓的面積。同計(jì)算圓的周長(zhǎng)類似，度量圓的面積與度量長(zhǎng)方形、三角形、平行四邊形的面積有很大不同，學(xué)生一開始并沒有明確的度量方法，這就需要他們利用已有的經(jīng)驗(yàn)去類比推理、驗(yàn)證猜想。為此，筆者設(shè)計(jì)了“圓的面積探索”數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生將新舊知識(shí)聯(lián)系起來探索新知識(shí)。

活動(dòng)一：在回顧探究長(zhǎng)方形面積公式方法（構(gòu)造法：確定基準(zhǔn)+平移變換）的基礎(chǔ)上思考：怎樣通過長(zhǎng)方形面積公式推導(dǎo)出三角形、平行四邊形、梯形面積公式呢？

通過活動(dòng)一，引領(lǐng)學(xué)生回顧如何利用幾何變換進(jìn)行二維封閉圖形面積的度量，為類比探究做鋪墊。

活動(dòng)二：如圖2，假設(shè)圓的半徑為1，兩幅圖中的正方形面積是多少？比一比兩幅圖中正方形面積的大小，你能做出怎樣的猜想？

活動(dòng)二的目的是通過勾通圓與正方形之間的關(guān)系，讓學(xué)生通過對(duì)正方形面積的計(jì)算，能夠?qū)A的面積進(jìn)行類比推理，產(chǎn)生一個(gè)初步的猜想，從而為學(xué)生的實(shí)驗(yàn)探究找到一條可行的思考路徑。將圓的半徑設(shè)為1，主要是便于學(xué)生計(jì)算。通過對(duì)比計(jì)算兩個(gè)正方形的面積，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓的面積應(yīng)該大于半徑平方的2倍，小于半徑平方的4倍?；仡檲A的周長(zhǎng)推導(dǎo)方法，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)大于直徑的2倍，小于直徑的4倍，最后得出圓的周長(zhǎng)是直徑的π倍。那么，有部分學(xué)生就會(huì)類比推理得出：圓的面積與半徑的平方之間也會(huì)存在類似的關(guān)系。

活動(dòng)三：如圖3用數(shù)方格的方法計(jì)算圓的面積，想一想圓的面積與它的半徑之間有什么關(guān)系？

學(xué)生通過數(shù)方格的方式發(fā)現(xiàn)：①圓的面積是它半徑平方的3倍多一些；②圓的面積大約等于半徑×半徑×3。但如何驗(yàn)證呢？學(xué)生毫無思路。于是，筆者重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生思考圓的周長(zhǎng)公式推導(dǎo)過程中，我們還運(yùn)用了化曲為直的數(shù)學(xué)思想方法。那么，在這里大家是否也可以運(yùn)用化曲為直的方法呢？

活動(dòng)四：類比圓的周長(zhǎng)推導(dǎo)方法，我們先把圓平均分成8份“小三角形”，看一看“小三角形”可以拼成一個(gè)什么圖形？如果把圓平均分成16份？32份呢？……拼成的圖形與前面的相比，有什么變化嗎？

面對(duì)一個(gè)新的問題，借助已有經(jīng)驗(yàn)去類比、猜想，這個(gè)過程是非常神奇的。我們通過數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)，引領(lǐng)學(xué)生通過類比圓的周長(zhǎng)探究方式推導(dǎo)圓的面積公式，可以促進(jìn)學(xué)生邏輯思維能力的發(fā)展。

三、加強(qiáng)反思：讓理性審視反哺數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)有深度的“思”

反思是一個(gè)深度思考的過程，它并不是簡(jiǎn)單地回顧自己的錯(cuò)誤，而是冷靜客觀地審視問題、復(fù)盤問題、分析問題，理性審視自己的思維方式和行為模式。數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)是以解決問題為導(dǎo)向的探究性活動(dòng)，通過反思性學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生主動(dòng)去觀察比較、尋找規(guī)律、歸納應(yīng)用，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)操作活動(dòng)成為一種有目標(biāo)、有策略的主動(dòng)行為，最重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)有深度的思考，并養(yǎng)成良好的自我反思習(xí)慣[5]。

蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊(cè)第八單元“垂線和平行線”的“動(dòng)手做”部分，要求學(xué)生用一幅三角尺拼一拼、畫一畫、量一量，知道三角尺拼出的角的度數(shù)。結(jié)合該內(nèi)容，筆者設(shè)計(jì)了“三角尺拼角”的數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)，將學(xué)生的動(dòng)手操做與反思性問題有機(jī)結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生邊操作、邊反思，鞏固對(duì)直角、銳角、鈍角的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)中形與數(shù)的聯(lián)結(jié)與轉(zhuǎn)換。

1.活動(dòng)一：看一看，一副三角尺有幾個(gè)？分別是什么樣的？量一量，每塊三角尺中三個(gè)角的度數(shù)分別是多少。

學(xué)生自主觀察，并用量角器量一量，得出結(jié)論：一幅三角尺有兩個(gè)，其中一個(gè)三角尺的度數(shù)為：90°、45°、45°，另一個(gè)三角尺的度數(shù)為：90°、60°、30°。

2.活動(dòng)二：用一副三角尺如圖4這樣拼一拼，再說說拼出的角各是多少度？

學(xué)生自主拼角，把兩個(gè)三角尺像第一幅圖這樣拼，拼出的角是：90°+90°=180° ；把兩個(gè)三角尺像第二幅圖這樣拼，拼出的角是：60°+45°=105°。

3.活動(dòng)三：試一試，如何用一副三角尺拼出直角？

在動(dòng)手前想一想打算用哪兩個(gè)角拼成直角，然后自主拼角，記錄在練習(xí)紙上，并與同桌交流，說一說你是怎么拼的，學(xué)生在此過程中領(lǐng)悟并獲得“怎樣有序地拼角”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

4.活動(dòng)四：同桌合作，用一副三角尺拼出銳角和鈍角，并說一說你是怎么想的？

動(dòng)手前想一想打算用哪兩個(gè)角拼成銳角或鈍角，先嘗試拼銳角，然后嘗試拼鈍角，并和同桌交流，說一說你是怎么想的。有的學(xué)生把三角板上面的角做加法，畫出30°+45°=75°，45°+60°=105°，30°+90°=120°，45°+90°=135°，60°+90°=150°，90°+90°=180°這幾種不同的角；有的學(xué)生把45°角和30°角疊在一起做減法：先畫出45°的角，再在里面畫出一個(gè)30°的角，剩下的就是15°的角，45°-30°=15°。學(xué)生在有序拼角的基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)他們通過說一說的形式，不斷反思自己的操作過程。有的提出拼鈍角可以用直角加任意一個(gè)銳角，如果選兩個(gè)銳角就要選較大的兩個(gè)；有的認(rèn)為銳角和銳角可以拼出銳角，也能拼出直角；還有的將這些畫出的角從小到大進(jìn)行排列：15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、180°。結(jié)果發(fā)現(xiàn)這些畫出的角的度數(shù)都是15°的倍數(shù)。這樣的反思，能讓學(xué)生用理性反哺數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)，能讓學(xué)生的思維走向深刻，使學(xué)生獲得深入研究、深入思考的興趣和動(dòng)力。

有趣的思考勝過千言萬語的贊美，學(xué)習(xí)成就高的學(xué)生將學(xué)習(xí)當(dāng)成一趟有趣的發(fā)現(xiàn)之旅。這就是數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)的實(shí)踐意義：能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從低階邁向高階，真正理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。只有當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)小實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)理解相互交融，學(xué)生的學(xué)習(xí)才能進(jìn)入主動(dòng)的、積極的、自發(fā)的狀態(tài)，進(jìn)而有效提升他們的數(shù)學(xué)思維力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

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[2] 白常平，王圣昌，章勤瓊.經(jīng)歷知識(shí)形成過程? 實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)深度閱讀——“圓柱容球”的教學(xué)實(shí)踐與啟示[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2023（11）：83-86+26.

[3] 沈利玲.數(shù)學(xué)思維可視化工具的類型及其應(yīng)用[J].教學(xué)與管理，2020（17）：48-51.

[4] 汪奇.借助教材圖式培育學(xué)生數(shù)學(xué)思維[J].教學(xué)與管理，2020（26）：56-57.

[5] 徐志彤.注重類比推理：小學(xué)數(shù)學(xué)課培育創(chuàng)造性思維的嘗試[J].人民教育，2021（07）：66-68.