【摘? 要】? 近年來(lái)，對(duì)以“高斯”名字命名的高斯函數(shù)的研究與考查悄然興起，看起來(lái)很簡(jiǎn)單的函數(shù)，卻有著十分豐富的性質(zhì)，同時(shí)當(dāng)它與其他函數(shù)復(fù)合時(shí)問(wèn)題變得更不簡(jiǎn)單.數(shù)學(xué)教師必須認(rèn)真研究教材，切實(shí)把握教材內(nèi)容的內(nèi)涵和外延，真正做到“用教材教”．

【關(guān)鍵詞】? 高斯函數(shù);性質(zhì);應(yīng)用

約翰·卡爾·弗里德里?！じ咚梗↗ohann Carl Friedrich Gauss，1777—1855），德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測(cè)量學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一.高斯被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱.近年來(lái)，對(duì)以“高斯”名字命名的高斯函數(shù)的研究與考查悄然興起，應(yīng)引起我們重視.

1? 高斯函數(shù)的定義

函數(shù)y=［x］稱為高斯函數(shù)，其中［x］表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，也叫取整函數(shù)，例如，［2.3］=2，［-0.5］=-1，等等.

2? 追根溯源

人民教育出版社普通高中教科書(shū)《數(shù)學(xué)》必修第一冊(cè)第74頁(yè)習(xí)題3.1第13題：函數(shù)f（x）=［x］的函數(shù)值表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如，［-3.5］=-4，［2.1］=2.當(dāng)x∈（-2.5，3］時(shí)，寫(xiě)出函數(shù)f（x）的解析式，并畫(huà)出函數(shù)的圖象［1］.

在該教材第74頁(yè)第18題：記圓周率π小數(shù)點(diǎn)后第n位上的數(shù)字為y，那么你認(rèn)為y是n的函數(shù)嗎？如果進(jìn)一步追問(wèn)：若是，你能寫(xiě)出該函數(shù)的解析式嗎？（這里我們可用高斯函數(shù)表示該函數(shù)的解析式：y=f（n）=［π×10n］-［π×10n-1］×10（n∈N*））

3? 高斯函數(shù)的圖象

圖1對(duì)于高斯函數(shù)y=［x］，它是一個(gè)分段函數(shù)，其定義域是全體實(shí)數(shù)R，值域是整數(shù)集Z.對(duì)任意整數(shù)n，函數(shù)y=［x］在［n，n+1）上的圖象是一段垂直于y軸的線段（不含右端點(diǎn)），因此可以說(shuō)高斯函數(shù)的圖象是成階梯狀分布的，且在每個(gè)整點(diǎn)上都有一個(gè)跳躍型的間斷，如圖1所示.

4? 高斯函數(shù)的基本性質(zhì)

將［x］叫做x的整數(shù)部分，x-［x］叫做x的小數(shù)部分，記為{x}，易得下列性質(zhì).

（1）x=［x］+{x}，0≤{x}＜1;

（2）x-1＜［x］≤x＜［x］+1;

（3）［n+x］=n+［x］;{n+x}={x}，n∈Z;

（4）若x≤y，則［x］≤［y］;

（5）當(dāng)x∈Z時(shí)，［-x］=-［x］，當(dāng)xZ時(shí)，［-x］=-［x］-1;

（進(jìn)一步由圖象變換知識(shí)易知：函數(shù)y=［-x］與y=［x］圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;函數(shù)y=-［x］與y=［x］圖象關(guān)于x軸對(duì)稱;函數(shù)y=-［-x］與y=［x］圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.）

（6）［x］+［y］≤［x+y］.

5? 應(yīng)用舉例

例1（多項(xiàng)選擇題）? 下列關(guān)于高斯函數(shù)y=［x］的性質(zhì)敘述正確的是（? ）.

A.y=［x］值域?yàn)閆

B.y=［x］不是奇函數(shù)

C.y=x-［x］為周期函數(shù)

D.y=［x］在R上單調(diào)遞增

圖2

解析? 對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)n≤x＜n+1時(shí)，y=x-［x］=x-n，n∈Z.為了更直觀地看出函數(shù)的性質(zhì)，這里不妨給出該函數(shù)的部分解析式及圖象：y=x-［x］=x+2，-2≤x＜-1，x+1，-1≤x＜0，x，0≤x＜1，x-1，1≤x＜2，x-2，2≤x＜3，對(duì)應(yīng)圖象如圖2所示.不難看出該函數(shù)是一個(gè)周期為1的周期函數(shù).其他選項(xiàng)也不難判定，本題正確答案是ABC.

例2? 設(shè)［x］表示不大于x的最大整數(shù)，如［-2.5］=-3，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有（? ）.

A.［-x］=-［x］

B.x+12=［x］

C.［2x］=2［x］

D.x+12+［x］=［2x］

解析? 由高斯函數(shù)的定義及性質(zhì)可知，本題正確答案是D.

例3（多項(xiàng)選擇題）? 設(shè)x∈R，用［x］表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，設(shè)函數(shù)f（x）=x-［x］-12，則下列關(guān)于函數(shù)f（x）敘述正確的是（? ）.

A.f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增

B.f（x）有最小值無(wú)最大值

C.f（x）為奇函數(shù)

D.x∈R，［f（x）］=0

解析? 對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=x-［x］-12=x-12，顯然在（0，1）上單調(diào)遞增.由f（0）=-12即可排除選項(xiàng)C，D.其實(shí)，函數(shù)f（x）=x-［x］-12就是把例1圖2中的圖象向下平移12個(gè)單位，因此就不難判斷本題正確答案是AB.

例4? （安徽省寧國(guó)中學(xué)高一（上）第二次段考即鼎尖教育2022年11月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題第8題）符號(hào)［x］表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，如［3.2］=3，［-3.5］=-4，［|-3.5|］=［3.5］=3.定義函數(shù)f（x）=［|x|］-|x|，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（? ）.

A.若n∈Z，則f（n）=0

B.函數(shù)f（x）為偶函數(shù)

C.函數(shù)f（x）的最大值為0

D.函數(shù)f（x）的最小值為-1

解析? 因?yàn)閒（-x）=［|-x|］-|-x|=［|x|］-|x|=f（x），所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，圖3所以選項(xiàng)A，B正確.為了更直觀地看出函數(shù)的性質(zhì)，這里不妨給出該函數(shù)的部分解析式及圖象：

f（x）=［|x|］-|x|=2+x，-3＜x≤-2，1+x，-2＜x≤-1，x，-1＜x＜0，-x，0≤x＜1，1-x，1≤x＜2，2-x，2≤x＜3，對(duì)應(yīng)圖象如圖3所示.觀察函數(shù)圖象可知函數(shù)f（x）的最大值為0，最小值取不到-1，從而C正確，D錯(cuò)誤，故本題正確答案是D.

例5? （宣城七校2021—2022學(xué)年上學(xué)期期中測(cè)試高一數(shù)學(xué)試題第15題）符號(hào)［x］表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，例如［2.3］=2，［-0.5］=-1，當(dāng)x∈-1.5，1時(shí)，函數(shù)y=［x］x的值域?yàn)??? .

解析? （1）當(dāng)-1.5＜x＜-1時(shí)，［x］=-2，y=［x］x=-2x，所以2＜y＜3;（2）當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，［x］=-1，y=［x］x=-x，所以0＜y≤1;（3）當(dāng)0≤x＜1時(shí)，［x］=0，y=［x］x=0;（4）當(dāng)x=1時(shí)，［x］=1，y=［x］x=1.綜上所述，當(dāng)x∈（-1.5，1］時(shí)，函數(shù)y=［x］x的值域?yàn)椋?，1］∪（2，3）.

點(diǎn)評(píng)? 由上述實(shí)例可知，高斯函數(shù)的應(yīng)用中常出現(xiàn)x與［x］的運(yùn)算，上面給出了差（包括絕對(duì)值）、積運(yùn)算，將問(wèn)題拓展，還可編制和、商運(yùn)算的試題.

例6? （安徽省寧國(guó)中學(xué)2022—2023學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)第一次周考試題第15題）對(duì)于x∈R，［x］表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，如［1.1］=1，［-2.1］=-3.定義R上的函數(shù)f（x）=［2x］+［4x］+［8x］.若A=yy=f（x），0≤x≤12，則A中所有元素的和為??? .

解析? 這里由A集合中函數(shù)定義域及高斯函數(shù)的定義可寫(xiě)出分段函數(shù)f（x）的具體解析式：f（x）=［2x］+4x+8x=0，0≤x＜18，1，18≤x＜14，3，14≤x＜384，38≤x＜12，7，x=12，，對(duì)應(yīng)圖象如圖4所示.觀察函數(shù)圖象可知當(dāng)0≤x≤12時(shí)，函數(shù)f（x）可取值為0，1，3，4，7，即A=0，1，3，4，7，故A中所有元素的和為15.

圖4

例7? （多項(xiàng)選擇題）（安徽省寧國(guó)中學(xué)2022—2023學(xué)年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)第四次周考試題第8題）設(shè)x∈R，［x］表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，例如：［-3.5］=-4，［2.1］=2，已知函數(shù)f（x）=ex1+ex-12，則下列敘述正確的是（? ）.

A.［f（x）］是偶函數(shù)

B.f（x）是奇函數(shù)

C.f（x）在R上是增函數(shù)

D.［f（x）］的值域是-1，0

解析? 令g（x）=［f（x）］，則g（1）=［f（1）］=e1+e-12=0，g（-1）=［f（-1）］=e-11+e-1-12=-1，所以g（-1）≠g（1），故g（x）=［f（x）］不是偶函數(shù)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

因?yàn)閒（x）=ex1+ex-12的定義域?yàn)镽，f（-x）+f（x）=e-x1+e-x+ex1+ex-1=1+ex1+ex-1=0，所以f（x）是奇函數(shù)，故選項(xiàng)B正確.

因?yàn)閒（x）=ex1+ex-12=1+ex-11+ex-12=12-11+ex，且y=ex在R上單調(diào)遞增，所以f（x）=12-11+ex在R上是增函數(shù)，故選項(xiàng)C正確.

因?yàn)閑x>0，所以1+ex>1，因此0＜11+ex＜1，所以-12＜12-11+ex＜12，即-12＜f（x）＜12，因此g（x）=［f（x）］∈-1，0，故選項(xiàng)D正確.

綜上所述，本題正確答案是BCD.

點(diǎn)評(píng)? 其實(shí)，函數(shù)g（x）=［f（x）］是高斯函數(shù)與超越函數(shù)f（x）=ex1+ex-12的復(fù)合，當(dāng)高斯函數(shù)與其他函數(shù)復(fù)合時(shí)問(wèn)題變得復(fù)雜一些.

6? 問(wèn)題拓展

例8? （多項(xiàng)選擇題）（人教A版《數(shù)學(xué)》必修第一冊(cè)配套資料《能力培養(yǎng)與測(cè)試課時(shí)評(píng)價(jià)作業(yè)（十九）》第32頁(yè)）給出定義：若m-12＜x≤m+12（其中m為整數(shù)），則稱m為離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m.則下列關(guān)于函數(shù)f（x）=x-{x}的四個(gè)命題中是真命題的有（? ）.

A.函數(shù)y=f（x）的定義域是R，值域是-12，12

B.函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)

C.函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)

D.函數(shù)y=f（x）在區(qū)間-12，12上單調(diào)遞增

解析? 為了更直觀地看出函數(shù)的性質(zhì)，這里不妨給出該函數(shù)的部分解析式及圖象：

f（x）=x-{x}=x+1，-32＜x≤-12，x，-12＜x≤12，x-1，12＜x≤32，x-2，32＜x≤52，對(duì)應(yīng)圖象如圖5所示，觀察函數(shù)圖象可知函數(shù)y=f（x）既不關(guān)于y軸對(duì)稱，也不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，定義域是R，值域是-12，12，在區(qū)間-12，12上單調(diào)遞增，故本題正確答案是AD.圖5

點(diǎn)評(píng)? 本題新定義的函數(shù)y={x}顯然與高斯函數(shù)不同，但研究問(wèn)題的方式方法有雷同之處，進(jìn)一步拓展或與其他函數(shù)復(fù)合可得更多變式題.

7? 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)前面的研究我們不難發(fā)現(xiàn)，高斯函數(shù)看起來(lái)是一個(gè)很簡(jiǎn)單的函數(shù)，卻有著十分豐富的性質(zhì)，研究高斯函數(shù)可得許多奇妙的結(jié)論，同時(shí)當(dāng)它與其他函數(shù)復(fù)合時(shí)問(wèn)題變得并不簡(jiǎn)單.

另外，教材是眾多專家集體智慧的結(jié)晶，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的使用、修改而不斷完善、日臻成熟．?dāng)?shù)學(xué)教師必須認(rèn)真研究教材，切實(shí)把握教材內(nèi)容的內(nèi)涵和外延，形成對(duì)所教內(nèi)容的深刻感悟，才能在教學(xué)實(shí)踐中充分利用教材所蘊(yùn)藏的豐富教學(xué)資源，真正做到“用教材教”，最終達(dá)到提高課堂教學(xué)實(shí)效和學(xué)生綜合能力的效果［2］．

參考文獻(xiàn)

［1］? 人民教育出版社? 課程教材研究所? 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心．普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)（A版）［M］．1版．北京：人民教育出版社，2019：74．

［2］? 陳曉明．對(duì)一道教材習(xí)題的探究［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（25）：39-41．

作者簡(jiǎn)介? 陳曉明（1971—），男，安徽廣德人，碩士學(xué)位，中高職稱；發(fā)表論文120余篇．