孫立群

【摘要】在單元教學思想下進行教學設計，有助于知識結構整體性和系統(tǒng)性的構建.而章首課是一章內容的開始，對于整章內容具有“燈塔”似的指引作用，是踐行單元教學思想非常好的載體.上好章首課，能夠幫助學生從整體上把握本章知識框架體系和思想方法，明確本單元的學習目標和任務.在單元視角下進行章首課教學，更有利于發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

【關鍵詞】初中數(shù)學；章首課；課堂教學

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中確立了以學生發(fā)展為本、核心素養(yǎng)為導向的課程目標，其中提出在課程內容組織上，重點是對教學內容進行結構化整合，探索發(fā)展學生核心素養(yǎng)的路徑［1］.這就要求我們教師認真研讀課標、教材，能夠站在知識的高觀點下審視整個單元內的數(shù)學知識，用大單元的視角進行教學設計，這樣可以擺脫孤立看待零散知識點的局限，有助于知識結構的整體性和系統(tǒng)性的構建.對于學生來說，借助單元視角，能夠幫助他們有效構建完善的知識體系，清晰感知數(shù)學知識間的邏輯關系，從整體上建立數(shù)學知識脈絡，感受數(shù)學思想，掌握數(shù)學方法，提高應對新的數(shù)學情境時對知識的提取和遷移及應用能力，進而發(fā)展自身的數(shù)學核心素養(yǎng).

章首課是一章內容的開始，對于整章內容具有“燈塔”似的指引作用，是踐行單元教學思想非常好的載體.上好章首課，能夠幫助學生從整體上把握本章知識框架和思想方法，明確本單元的學習目標和任務.本文以初中數(shù)學人教版第九章“不等式與不等式組”章首課教學為例，借助大單元視角，從教學背景、設計等方面進行章首課的探究與思考.

1 背景分析

1.1 教材分析

本章內容在課標中隸屬于初中數(shù)學“數(shù)與代數(shù)”領域下的“方程與不等式”知識模塊，安排在一元一次方程、二元一次方程組之后，是方程板塊內容的延伸與創(chuàng)新，由此可見等式與方程的學習能為不等式的學習提供經(jīng)驗，因此在教學過程中要引導學生將學習等式與方程的經(jīng)驗通過類比遷移到不等式的學習中.

1.2 單元教學說明

在單元視角下，根據(jù)單元整體教學目標和課時目標，類比方程的研究路徑“概念—性質—解法—應用”，將本章內容進行了重新整合和編排，即第1課時不等式的相關概念教學；第2課時不等式的性質；第3課時一元一次不等式（組）的解法（1）；第4課時一元一次不等式（組）的解法（2）；第5課時一元一次不等式（組）的實際應用.經(jīng)過重新整合后的課時安排，更能體現(xiàn)知識的整體性及研究路徑的一致性.

1.3 課時目標

（1）能根據(jù)具體實際問題，列出不等式或不等式組，體會不等式是刻畫現(xiàn)實世界中不等關系的數(shù)學模型；

（2）了解本章涉及的相關概念，并能準確地在數(shù)軸上表示不等式的解集.

1.4 課時重難點

重點：類比和對比方程的知識，歸納相關概念，探究解集的表示方法；

難點：借助等式與方程的研究路徑和學習經(jīng)驗，探究不等式的研究路徑.

2 教學過程

2.1 情境導入

活動：老師的身高是163cm，快來和老師比一下身高吧，并用數(shù)學式子表達出來.

預設答案：163<170，163>160，163=163等.

設計意圖 通過和教師比身高，可以一下子拉近教師與學生之間的距離，激發(fā)學生學習興趣，同時讓學生直觀感受到現(xiàn)實生活中的數(shù)量關系有相等和不等關系，引出本節(jié)課題.

2.2 探究新知

背景：小早上7：20從家出發(fā)趕往離家2000米的學校上課，若學校8：00開始上課，設他的速度為x米/分鐘.

問題1 小七的速度應滿足什么條件，才能在8∶00之前趕到？

預設答案：從路程上看，40x>2000；從時間上看，2000x<40.

追問1：這兩個式子有什么共同特點？

追問2：你能類比等式的定義給不等式下一個定義嗎？

歸納定義.

追問3：除了“＜”“＞”和“≠”，你還知道哪些不等號？

預設答案：還有“≤”“≥”.

追問4：你還能舉出生活中含有以上不等號的例子嗎？

追問5：類比等式的學習路徑，你能猜出來我們要研究不等式的什么內容嗎？

閱讀材料：不等號的歷史起源.

現(xiàn)在我們所使用的不等號，都是數(shù)學家們絞盡了腦汁、經(jīng)歷了很漫長的發(fā)展才形成的.法國數(shù)學家日臘爾于1629年在他的《代數(shù)教程》中用“ff”表示“大于”，用“§”表示“小于”，如a大于b記作“a ff b”，a小于b記作“a§b”．還有不少數(shù)學家提出了各種表示“大于”或“小于”的符號，但都由于這些符號書寫起來十分繁瑣、意義不夠明晰被淘汰.直到1631年，在英國數(shù)學家哈里奧特的遺作《實用分析術》中發(fā)現(xiàn)他創(chuàng)造性地用“＞”表示“大于”，用“＜”表示“小于”，因其方便簡捷，被延續(xù)下來［2］.而“≥”和“≤”的出現(xiàn)更晚，1734年法國數(shù)學家布格爾首次使用這兩個符號.清末數(shù)學家李善蘭（1811—1882）在翻譯西方數(shù)學著作時，把以上不等號引入中國.

設計意圖 由實際生活中的例子抽象出不等式模型，將不等關系成功地由“數(shù)”過渡到“式”，讓學生感受數(shù)學來源于生活.類比等式的定義，歸納出不等式的定義，同時引導學生用類比的方法探索后續(xù)新知.提供不等號相關的閱讀材料，能幫助學生了解不等號的來龍去脈，還能讓其看到數(shù)學中習以為常的符號，明白這些符號都是經(jīng)歷了漫長的發(fā)展過程才逐漸演變成現(xiàn)在大眾所接受和使用的，并感受數(shù)學符號的簡潔美和對稱美，激發(fā)學生興趣，滲透數(shù)學德育.

例1 用不等式表示下列數(shù)量關系：

（1）x與3的和是負數(shù)；

（2）x的2倍減去1大于3；

（3）a與b和的一半至少為7；

（4）長、寬分別為xcm，ycm的長方形面積不超過邊長為acm的正方形面積.

追問6：觀察本節(jié)課得到的不等式，哪些不等式比較簡單特殊？能否給這些簡單特殊的不等式起個名字？

歸納定義.

設計意圖 通過學生列不等式的訓練，加深學生對不等式概念的理解，并進一步體會不等式是表示不等關系的式子.觀察得到的幾個不等式，學生可以很容易發(fā)現(xiàn)40x>2000，x+3<0，2x-1>3這三個不等式形式比較簡單，與之前所學的一元一次方程非常像，只是把等號變成了不等號.類比一元一次方程的概念，可以很輕松得到一元一次不等式的概念.讓學生自己對數(shù)學對象命名，能讓他們體驗到學習的成就感，收獲學習信心.

問題2 小明的速度應滿足什么條件，可以在7∶50到8∶00之間（不包含7∶50和8∶00）趕到？

預設答案 30x<2000和40x>2000，這兩個不等式要同時成立.

追問 之前學過什么問題，也是包含兩個必須同時成立的條件？書寫形式是什么樣的？

預設答案 之前學習的二元一次方程組，是要求兩個二元一次方程同時成立，用一個大括號將兩個二元一次方程括起來，表示同時成立，形成二元一次方程組.類似的，也可以用一個大括號將30x<2000和40x>2000括起來，即30x<200040x>2000，表示這兩個不等式同時成立，叫做一元一次不等式組.

歸納定義.

設計意圖 本環(huán)節(jié)旨在歸納一元一次不等式組的概念，基于一元一次不等式和二元一次方程組的概念，學生自然而然可以得到一元一次不等式組的概念，讓數(shù)學概念的生成自然發(fā)生，更易接受.

問題3 下列哪些數(shù)可以使不等式40x>2000成立？40，48，50，51，53，60.

追問：不等式40x>2000還有其他解嗎？如果有，這些解要滿足什么條件？

預設答案：列舉出一些滿足不等式的數(shù)字，發(fā)現(xiàn)40x>2000有無數(shù)個解，只要是大于50的數(shù)，都能使不等式成立，即x>50.

歸納定義.

設計意圖 類比方程解的概念，利用代入法，得到不等式解的概念.學生在尋找其他解的過程中，發(fā)現(xiàn)滿足不等式的有無數(shù)個解，進而得出不等式解集的概念.

問題4 不等式40x>2000的解集有哪些表示方法？

預設答案 用符號語言表示為x>50；基于幾何語言可用數(shù)軸表示.

學生活動 嘗試在數(shù)軸上表示出x>50，總結用數(shù)軸表示解集的步驟.

追問 x≥50該如何在數(shù)軸上表示？

例2 直接寫出x+4<6的解集，并在數(shù)軸上表示出來.

設計意圖 不等式解集的表示方法是本節(jié)課的重點，學生知道描述一個數(shù)學對象往往有三種語言：文字語言、符號語言和幾何語言.在已有的在數(shù)軸上表示數(shù)的學習經(jīng)驗，學生可以聯(lián)想到利用數(shù)軸表示解集，從中體會數(shù)形結合的數(shù)學思想.

2.3 課堂小結

本節(jié)課學習了什么內容？是以怎樣的路徑進行研究的？

3 教學反思

3.1 單元視角下的章首課教學應巧借舊知探新知

本節(jié)課屬于知識延伸類的章首課.對于不等式來說，學生已有的知識經(jīng)驗是等式的相關內容，這是學生的最近知識發(fā)展區(qū).通過類比已學等式的教學主線，即：由實際生活情境抽象出等式模型—相關概念（等式、一元一次方程等）—等式的性質—一元一次方程的解法—一元一次方程的實際應用，可以得到不等式這一章節(jié)的學習主線，即：由實際生活情境抽象出不等式模型—相關概念（不等式、一元一次不等式及組）—不等式的性質—一元一次不等式（組）的解法—一元一次不等式（組）的實際應用.在每個課時環(huán)節(jié)教學中，類比思想也貫穿全程，比如，在這節(jié)章首課教學中，類比等式概念得到不等式概念，類比一元一次方程的概念得到一元一次不等式的概念，類比方程的解得到不等式的解.在不等式性質教學中，可以類比等式的性質，同時可以特別突出兩者的不同點.在教學過程中，引導學生不斷探索兩個知識主線間的異同，能夠幫助他們強化對整個章節(jié)知識的宏觀把控，體會數(shù)學知識間的本質聯(lián)系與整體性，將舊知經(jīng)驗遷移到新知學習中去，提升應對新情境新知識的能力.

3.2 單元視角下的章首課教學應巧設問題引新知

數(shù)學課程要培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，首先要學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，深刻感受數(shù)學來源于生活而又服務于生活.基于此，教師在教學中，可以利用學生所熟悉的生活情境來設計問題，吸引學生注意力，激發(fā)學生求知欲.比如本節(jié)課中以“來和老師比身高”引出不等關系，以學生所熟悉的上學時間問題抽象出不等式模型.在單元視角下，本節(jié)課對教學內容進行了重新編排與組合，在同一個實際背景下，將本章所涉及的核心概念：不等式、一元一次不等式（組）、解與解集等，利用問題串的形式一一引出.學生在由淺及深地解決問題串的過程中，不僅能夠掌握本節(jié)課的學習目標，還能感受到知識的發(fā)生是自然和必然的，收獲目標達成的喜悅感.

3.3 單元視角下的章首課教學應巧融德育促發(fā)展

俗話說，良好的開端是成功的一半.如果在教學過程中，把章首課上好了，發(fā)揮出它的最大優(yōu)勢，那么學生在后續(xù)內容的學習中將會更加主動積極和專注，樹立學習數(shù)學的信心.同時，在章首課中，如果適當?shù)臐B透數(shù)學文化，不僅能激發(fā)學生的學習興趣，拓展知識面，還可以更大程度地發(fā)揮數(shù)學德育功能.在本節(jié)課設計中，向學生展示了不等號來源的閱讀材料，學生在閱讀過程中可以感受到習以為常的符號也是經(jīng)歷了很長時間的演變，因簡約對稱美而延續(xù)下來，激發(fā)學生的創(chuàng)造欲.

4 結語

綜上所述，站在大單元的視角下進行章首課的教學設計，能夠幫助學生厘清知識發(fā)展的邏輯順序，形成統(tǒng)觀全局的認知視角.因此，作為一線教師，重視和挖掘章首課的教學價值，發(fā)揮其獨特的教學優(yōu)勢，能夠起到事半功倍的教學效果.同時，在進行章首課教學時，教師要對教學內容進行智慧化處理，這對教師自身素養(yǎng)和專業(yè)水平提出了更高的要求，雖然比較困難，但依然值得廣大教師去積極探索與實踐，這樣才能促進學生的核心素養(yǎng)發(fā)展.

參考文獻：

［1］教育部.義務教育課程標準（2022版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］馮佩子.不等號是怎么來的［J］.初中生世界，2015（06）：76.