蔣燕霞

【摘 要】單元復(fù)習(xí)課既是對(duì)本單元知識(shí)的回顧與整理，更是對(duì)本單元知識(shí)的練習(xí)與應(yīng)用。新課程背景下的小學(xué)數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)課，要本著“以學(xué)生的發(fā)展為本”的理念，既要注重引導(dǎo)學(xué)生掌握回顧整理知識(shí)的方法，更要注重引導(dǎo)學(xué)生在具體問(wèn)題中學(xué)會(huì)思考，感悟在解決問(wèn)題中常用的數(shù)學(xué)思維方法。

【關(guān)鍵詞】復(fù)習(xí)課 知識(shí)體系 數(shù)學(xué)模型 教學(xué)方法

“長(zhǎng)方體和正方體整理與練習(xí)”是蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第一單元的復(fù)習(xí)課，它承載著對(duì)本單元知識(shí)的回顧與整理的重要作用。在這節(jié)課之前，學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體和正方體的特征都有了直觀的認(rèn)識(shí)，已經(jīng)能夠熟記長(zhǎng)方體、正方體的表面積公式及體積公式，同時(shí)也具備了一定的運(yùn)用能力。但在課堂反饋和作業(yè)中，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生雖然會(huì)背公式，但缺乏收集有效信息、靈活應(yīng)用信息、綜合解決實(shí)際問(wèn)題的能力。為了進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力、發(fā)展其空間觀念的目標(biāo)，筆者設(shè)計(jì)“長(zhǎng)方體和正方體整理與練習(xí)”一課，既引導(dǎo)學(xué)生掌握回顧整理知識(shí)的方法，更注重引導(dǎo)學(xué)生在具體問(wèn)題中學(xué)會(huì)思考，感悟在解決問(wèn)題中常用的數(shù)學(xué)思維方法。

一、思維導(dǎo)圖——建立知識(shí)體系

（課件出示學(xué)生的整理作業(yè)）

師：同學(xué)們，這一單元我們學(xué)習(xí)了“長(zhǎng)方體和正方體”，課前老師布置大家用思維導(dǎo)圖進(jìn)行整理，讓我們一起來(lái)看看幾個(gè)同學(xué)制作的思維導(dǎo)圖，想一想，大家是圍繞哪些方面整理的？

生1：通過(guò)整理，我們找到了長(zhǎng)方體和正方體的相同點(diǎn)—8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱，6個(gè)面，還找到了它們的區(qū)別—正方體是特殊的長(zhǎng)方體。

師：非常好，你不僅關(guān)注到了長(zhǎng)方體和正方體的特征，還關(guān)注到了正方體和長(zhǎng)方體的關(guān)系。為什么正方體是特殊的長(zhǎng)方體，你能說(shuō)說(shuō)理由嗎？

生1：因?yàn)檎襟w和長(zhǎng)方體一樣，都有12條棱，但是它們長(zhǎng)度都相等，正方體的6個(gè)面還是完全相同的正方形。

生2：因?yàn)檎襟w的6個(gè)面是完全相同的正方形，所以計(jì)算正方體的表面積，只要先算1個(gè)面的面積，再乘6個(gè)面就可以了。

師：是的，正方體的每條棱都相等。

生3：我們還整理了正方體的展開(kāi)圖。有“1-4-1”型，有“2-3-1”型，還有“2-2-2”型和“3-3”型。

生4：我認(rèn)為可以把“田”字型也整理進(jìn)去，提醒同學(xué)們這樣的圖是不存在的。

師：你的提議不錯(cuò)，我們可以從正例和反例兩個(gè)角度來(lái)明確正方體展開(kāi)圖的特征。

生5：我們還可以整理怎么計(jì)算長(zhǎng)方體、正方體的棱長(zhǎng)之和，計(jì)算它們的表面積和體積。

生6：這個(gè)單元學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體和正方體的知識(shí)，既有長(zhǎng)度的計(jì)算，又有面積、體積的計(jì)算，所以我從大到小整理了長(zhǎng)度單位、面積單位、體積單位和容積單位的進(jìn)率。

師：你們思考得真全面呀，關(guān)注到了解決問(wèn)題的細(xì)節(jié)。

【分析】整理知識(shí)是單元整理和復(fù)習(xí)課的首要任務(wù)，這一單元關(guān)于長(zhǎng)方體和正方體的知識(shí)點(diǎn)較多，如果在課上一一展示整理的過(guò)程，把知識(shí)點(diǎn)一一再現(xiàn)，會(huì)占用太多課堂上的時(shí)間，因此筆者把“回顧與梳理”設(shè)置為本節(jié)課的前置性作業(yè)，讓學(xué)生通過(guò)整理摘錄、思維導(dǎo)圖等形式主動(dòng)梳理概念、公式和推導(dǎo)過(guò)程，讓學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建特征與計(jì)算公式之間的聯(lián)系，使學(xué)生原有的知識(shí)連成片，形成一個(gè)清晰的知識(shí)框架，建立知識(shí)體系。這樣，有利于他們解決問(wèn)題時(shí)信息的提取與運(yùn)用。同時(shí)，讓學(xué)生評(píng)價(jià)自己和同學(xué)的作業(yè)，促使他們自我反思、互相學(xué)習(xí)，為以后整理復(fù)習(xí)積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

二、變式練習(xí)——構(gòu)建數(shù)學(xué)思維模型

出示題目：

有一個(gè)長(zhǎng)45厘米、寬40厘米、高30厘米的長(zhǎng)方體容器，里面裝有10厘米高的水，如果要把這個(gè)容器換一個(gè)方向，使原來(lái)的左面變成底面，這時(shí)容器中水高多少厘米？

師：請(qǐng)同學(xué)們讀一讀，在這個(gè)實(shí)際問(wèn)題中，什么變了，什么不變？

生1：容器的底面積變了，原來(lái)是45×40=1800（平方厘米），現(xiàn)在是40×30=1200（平方厘米）。但是水的體積沒(méi)有變。

師：很好，雖然容器擺放的方向換了，但是水的體積不變。同學(xué)們一下子就找到了解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，就是這個(gè)問(wèn)題中的“變”和“不變”。如何解決這個(gè)問(wèn)題呢？

生2：可以先求出水的體積，即45×40×10=18000（立方厘米），再除以左面的面積，也就是現(xiàn)在的底面面積，所以現(xiàn)在的水高度是18000÷（40×30）=15（厘米）。

生3：我們還可以列方程解決，設(shè)現(xiàn)在的水高度是X厘米，那么根據(jù)水的體積不變，根據(jù)水的體積和水的高以及底面積的關(guān)系，可以列出方程40×30X=45×40×10，求出水的體積。

生4：老師，我的方法跟他不太一樣。水的高度是10厘米，長(zhǎng)方體容器的高是30厘米，那說(shuō)明水的高度是長(zhǎng)方體高的1/3，水的體積也是長(zhǎng)方體體積的1/3。即使換個(gè)方向放，水的體積還是長(zhǎng)方體體積的1/3，水的高度也是長(zhǎng)方體高的1/3。這時(shí)長(zhǎng)方體的高是45厘米，所以水高15厘米。

師：非常好，剛才同學(xué)們從不同角度求出了這時(shí)容器中水的高度。如果還是平放，在里面放一根長(zhǎng)20厘米、寬10厘米、高30厘米的鋼塊，鋼塊完全接觸底面。水不溢出，這時(shí)水面高度多少呢？想一想，這時(shí)什么變了，什么不變？

生5：“鋼塊完全接觸底面”，從中可以知道底面積變了，放鋼塊的地方就不能有水了，也就是底面積要減少20×10，所以水的底面積應(yīng)該是45×40-20×10=1600。水沒(méi)有溢出，說(shuō)明水沒(méi)有減少，也沒(méi)再往里面放水，說(shuō)明水的體積沒(méi)有變。

師：說(shuō)得真棒，一下子就找到了核心點(diǎn)。大家都聽(tīng)明白了嗎？怎樣解題呢？

生：18000÷1600=11.25（厘米）。

挑戰(zhàn)3：一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是25厘米、16厘米、20厘米的長(zhǎng)方體容器，將原來(lái)長(zhǎng)方體容器中的水緩緩倒入這個(gè)容器，最終保持水面同樣高，這時(shí)水的高度多少厘米？

生：這道題其實(shí)跟前面的題目是一樣的，水的體積也是不變的，只是相當(dāng)于把長(zhǎng)方體的底面積擴(kuò)大了，多了25×16=400（平方厘米）。

生：是的，還可以設(shè)想兩個(gè)長(zhǎng)方體中水的高度都是X厘米，兩個(gè)長(zhǎng)方體里的水的體積合起來(lái)就是18000厘米，列方程也很容易解決的。

【分析】長(zhǎng)方體和正方體的實(shí)際問(wèn)題是千變?nèi)f化的，學(xué)生經(jīng)常見(jiàn)到問(wèn)題，卻理不清解題思路。比如從問(wèn)題中知道了什么信息，要求什么，哪些信息發(fā)生了變化，哪些信息沒(méi)有變化。針對(duì)這樣的現(xiàn)象，筆者結(jié)合現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，緊扣“什么變了，什么不變？”引導(dǎo)學(xué)生圍繞這個(gè)點(diǎn)展開(kāi)思考。這里分兩個(gè)層次：第一個(gè)層次是基礎(chǔ)的立體圖形變了，棱長(zhǎng)總和不變；立體圖形變了，但是體積不變。第二個(gè)層次是討論“水的高度”，在學(xué)生遷移前面經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)情境問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生理解水的體積、容器底面積、水的高度之間關(guān)系是不變的，讓更多學(xué)生學(xué)會(huì)利用這種關(guān)系解決這類問(wèn)題，從而構(gòu)建解決同類問(wèn)題的思維模型。這樣設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)題，能促使學(xué)生在變化中抓不變，促進(jìn)學(xué)生遷移應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題，形成高效的復(fù)習(xí)。

三、多元解答——豐富數(shù)學(xué)方法

出示題目：

如果要給下面立體圖形露在外面的部分刷上油漆，涂油漆的部分面積是多少平方厘米？

師：同學(xué)們，請(qǐng)仔細(xì)觀察這個(gè)立體圖形，哪些面要刷油漆，刷油漆的面積可以怎么求？

生1：題目中說(shuō)露在外面的面要刷油漆，說(shuō)明正方體和長(zhǎng)方體接觸的部分是不要刷油漆的，還有長(zhǎng)方體的底面也是不用刷油漆的。所以正方體要算五個(gè)面的面積，長(zhǎng)方體算前后左右面和上面扣掉正方體底面的部分。

師：你想得非常清楚，那正方體的棱長(zhǎng)是多少呢？圖中并未告訴我們。

生1：根據(jù)圖我們能看出長(zhǎng)方體的寬和正方體的棱長(zhǎng)相等，是12厘米。

師：很好，信息都采集到了，那我們可以來(lái)計(jì)算涂油漆的面積了。誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)怎么解決？

生2：我先算正方體的面積——12×12×5=720（平方厘米），再算長(zhǎng)方體的面積——（25×6+12×6）×2+25×12-12×12=600（平方厘米），720+600=1320（平方厘米）。

師：哪些同學(xué)也是這樣算的？能說(shuō)說(shuō)為什么要減12×12嗎？

生3：12×12指的是長(zhǎng)方體和正方體接觸的部分，所以要減掉。

師：原來(lái)兩個(gè)立體圖形接觸的地方對(duì)于正方體來(lái)說(shuō)不需要涂油漆，對(duì)于長(zhǎng)方體來(lái)說(shuō)也不需要涂，所以要減去。

生4：老師，我們還可以把正方體向右邊移一移，這樣就可以看出長(zhǎng)方體上面需要涂油漆的部分是一個(gè)小長(zhǎng)方形，它的長(zhǎng)是25-12=13（厘米），寬是12厘米，面積是（25-12）×12=156（平方厘米）。長(zhǎng)方體上需要涂油漆的面積就是（25×6+12×6）×2+156=600（平方厘米），再加正方體的五個(gè)面的面積，合起來(lái)就是1320平方厘米。

生5：我還有一個(gè)想法，在（25×6+12×6）×2+156這個(gè)算式里，其中（25×6+12×6）×2算的是長(zhǎng)方體的側(cè)面積，剛才我們練習(xí)時(shí)提到可以用底面周長(zhǎng)×高算側(cè)面積的，所以還可以先算底面周長(zhǎng)（25+12）×2=74（厘米），再用74×6=444（平方厘米）求出長(zhǎng)方體的側(cè)面積，最后加上長(zhǎng)方體上面涂色的156平方厘米和正方體的720平方厘米。

師：學(xué)以致用，用底面周長(zhǎng)×高也可以求側(cè)面積。

生6：剛才我們把長(zhǎng)正方體向右平移，把原來(lái)長(zhǎng)方體上面兩個(gè)小的部分平移到一起，轉(zhuǎn)化成了一個(gè)長(zhǎng)13厘米、寬12厘米的長(zhǎng)方形來(lái)算面積。我也想平移，我想把長(zhǎng)方體上面涂色的部分平移到和正方體上面在同一個(gè)面上，就又可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)25厘米、寬12厘米的長(zhǎng)方形了。所以此時(shí)正方體中部分只要算四個(gè)面12×12×4=576（平方厘米），長(zhǎng)方體中就算五個(gè)面是744平方厘米，涂油漆的總面積就是1320平方厘米。

師：你真會(huì)思考，通過(guò)平移，把原來(lái)零碎的部分轉(zhuǎn)化成了一個(gè)完整的長(zhǎng)方體的上面。

【分析】復(fù)習(xí)課上的拓展應(yīng)用是必不可少的，練習(xí)則是鞏固知識(shí)、發(fā)展能力、訓(xùn)練思維的重要途徑。但是小學(xué)生的思維比較單一、狹隘。遇到問(wèn)題時(shí)，他們只會(huì)朝著同一方向思考，或者用一種方法解決了問(wèn)題，絕對(duì)不會(huì)再用其他方法去嘗試解決驗(yàn)證。在這一環(huán)節(jié)中，教師給予了學(xué)生很多思考的時(shí)間和空間，讓學(xué)生多角度地體會(huì)和表達(dá)，能有效地幫助學(xué)生更加清晰地梳理立體圖形的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)更加合理地轉(zhuǎn)化信息，靈活地解決問(wèn)題。通過(guò)靈活地解答問(wèn)題，不同層次的學(xué)生可以選擇不同的方法進(jìn)行不同的思考，獲得新的發(fā)現(xiàn)，得到新的發(fā)展。