童元意

摘要：本文中從引導(dǎo)學(xué)生觀察、動(dòng)手操作體驗(yàn)入手，緊扣概念設(shè)計(jì)層層遞推的問題鏈，在舉例說明過程中加深對(duì)概念的理解，在參與合作交流、辯析問題中探尋概念的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：回歸概念;動(dòng)手實(shí)踐;概念本質(zhì)

1 問題的提出

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石，是基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能教學(xué)的核心，是數(shù)學(xué)的邏輯起點(diǎn)，正確理解概念是學(xué)好數(shù)學(xué)最重要的一環(huán).數(shù)學(xué)素養(yǎng)差異關(guān)鍵是在對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解、方法的運(yùn)用和轉(zhuǎn)化等方面的差異.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程不能單純地依賴模仿與記憶，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地從事觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理、操作與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng).”因此，回歸概念、經(jīng)歷實(shí)演對(duì)提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)顯得尤為重要，本文中嘗試以

（2019人教A版必修第二冊(cè)第八章第6節(jié)）

“空間直線、平面的垂直”為例進(jìn)行說明.

2 回歸概念、參與探求概念本質(zhì)的一些途徑

（1）觀察、直觀感知，讓學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)問題的過程

案例? “空間直線、平面的垂直”設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設(shè)生活情境，發(fā)現(xiàn)問題.

問題1? 生活中常見線與面相交.詩人王維有千古絕句“大漠孤煙直，長(zhǎng)河落日?qǐng)A”.

①如圖1，你認(rèn)為這縷孤煙與大漠地平面，以及旗桿與地面給人什么形象？

②說出旗桿與地面、大橋橋柱與水面是什么位置關(guān)系？你能舉出一些類似的例子嗎？

問題2? 利用幾何畫板演示太陽在動(dòng)，影子也跟著動(dòng)的動(dòng)態(tài)畫面.

①如圖2，在陽光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC，旗桿所在的直線與影子所在直線位置關(guān)系是怎樣的［1］？

②如圖3，旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線B′C′的位置關(guān)系又是怎樣的？

追問：通過觀察，怎樣判定直線與平面垂直？

設(shè)計(jì)意圖：以直觀感性的材料作支撐，引導(dǎo)學(xué)生觀察，體會(huì)空間圖形在生活中處處可見，教學(xué)中不過早地給出結(jié)論，讓學(xué)生從已有的認(rèn)知上初步建構(gòu)直線與平面垂直的模型概念，為后面的概念學(xué)習(xí)做好鋪墊.

（2）動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，操作確認(rèn)，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象的過程

環(huán)節(jié)2：動(dòng)手實(shí)踐演示，提出問題.

問題3? 如圖4，拿出準(zhǔn)備好的（任意）三角形紙片，過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎直放置在桌面上，如圖5，折痕與桌面垂直嗎？（演示不同位置的折痕紙片放置在桌面上.）隨著折痕位置的移動(dòng)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

問題4? 如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的

平面垂直？由折前AD⊥BC，翻折之后，AD⊥CD，AD⊥BD會(huì)發(fā)生變化嗎？由此你能得到什么結(jié)論？

設(shè)計(jì)意圖：歐拉曾說過，數(shù)學(xué)這門科學(xué)，需要觀察，還需試驗(yàn).在折紙?jiān)囼?yàn)中，會(huì)出現(xiàn)“垂直”與“不垂直”兩種情況，引導(dǎo)學(xué)生交流，回歸概念，分析原因.隨著折痕AD位置的移動(dòng)，探求直線與平面垂直的條件.動(dòng)畫展示試驗(yàn)成果，增強(qiáng)學(xué)生興趣，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)，促使學(xué)生的空間想象模型化.

（3）多辨析，多舉例，暴露思維誤區(qū)，經(jīng)歷從模糊到逐漸清晰的過程

環(huán)節(jié)3：辨析舉例中，理解概念.

教學(xué)中要讓學(xué)生自己進(jìn)行概念的建構(gòu)，否則對(duì)概念的理解只能停留在表面的字眼上.如讓學(xué)生舉例和講解，從似是而非的概念中甄別，加深對(duì)概念的理解，豐富概念結(jié)構(gòu)的內(nèi)涵.過程中要尊重學(xué)生已有的水平，接受學(xué)生看待問題的方式，容忍學(xué)生的錯(cuò)誤.

問題5? 如圖6，辨析下列命題是否正確？

①若直角三角板的一直角邊垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直角邊所在的直線與這個(gè)平面垂直.

②若一條直線與一個(gè)梯形的兩條邊垂直，那么這條直線垂直于梯形所在的平面.

③如果一直線不垂直于一個(gè)平面，那這條直線不垂直于此平面內(nèi)的任意一條直線.

問題6? 如圖7，在教室這個(gè)長(zhǎng)方體模型中，你能找到哪些直線與地面垂直？哪些直線與黑板所在的平面垂直？

設(shè)計(jì)意圖：給出了概念，并不代表學(xué)生理解了概念.舉例既是對(duì)學(xué)生原有知識(shí)結(jié)構(gòu)的一次沖擊和洗禮，也為學(xué)生建構(gòu)新知識(shí)體系搭建了橋梁和平臺(tái).

（4）問題鏈設(shè)計(jì)，讓知識(shí)理解更深刻，經(jīng)歷從理解概念到掌握概念的過程

數(shù)學(xué)概念是思維的基礎(chǔ)，也是思維的結(jié)果.恰當(dāng)?shù)卣故酒湫纬蛇^程，拉長(zhǎng)被壓縮了的“知識(shí)鏈”，恰當(dāng)恰時(shí)的問題鏈?zhǔn)菍?duì)數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)模型方法進(jìn)行點(diǎn)悟的極好素材和契機(jī).

環(huán)節(jié)4：?jiǎn)栴}鏈練習(xí)中，鞏固概念.

問題7? 在立方體ABCD-A′B′C′D′中，

①直線BD與平面AA′C′C是否垂直？

②直線A′C與平面BDC′是否垂直？

③與平面A′BCD′垂直的棱有哪幾條？

設(shè)計(jì)意圖：以熟悉的重要模型立方體為背景材料，設(shè)計(jì)問題鏈，層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考，加深對(duì)概念的理解和掌握.教師要“沉入教材”細(xì)細(xì)“揣摩”，發(fā)掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，“頓悟”概念的內(nèi)涵.

（5）重視回顧檢測(cè)，完善概念結(jié)構(gòu)

環(huán)節(jié)5：歸納小結(jié)，目標(biāo)檢測(cè)，課堂深度拓展.

問題8? ①判定直線與平面垂直的主要思路是什么？②按照怎樣的路徑展開直線與平面垂直的探究？③判定定理中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法是什么？

問題9? 如圖8，長(zhǎng)方體AC1中，

①棱與面對(duì)角線中，有哪些直線與平面垂直？

②當(dāng)?shù)酌婢匦蜛BCD滿足什么條件時(shí)，直線BD⊥平面AA1C1C？

③過點(diǎn)C1如何作直線l⊥平面A1B1CD？

設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)直線與平面垂直判定定理的理解和應(yīng)用.愛因斯坦曾說，提出一個(gè)問題往往比解決一個(gè)問題更重要，因?yàn)榻鉀Q一個(gè)問題僅僅是技能而已，而提出新的問題，從新的角度去看舊的問題，卻需要有創(chuàng)造性的想象力，標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步.

3 教學(xué)反思

（1）教師要理解學(xué)生，了解學(xué)生原有知識(shí)結(jié)構(gòu)，遵循學(xué)生思維發(fā)展的合理性.本節(jié)課內(nèi)容相對(duì)較少，但蘊(yùn)含著非常豐富的方法和思想，空間垂直概念相對(duì)直線與平面平行要難，要留足時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立思考和探索.不要急于給出答案，對(duì)于學(xué)生的獨(dú)創(chuàng)方法不要全盤否定，要善于發(fā)現(xiàn)其中有價(jià)值的閃光點(diǎn).

（2）線線、線面、面面等位置關(guān)系是立體幾何考查的核心［2］，特別是平行與垂直關(guān)系，突出立體幾何中“觀察、判斷、計(jì)算、證明”的解決問題的途徑.本節(jié)課通過觀察—實(shí)驗(yàn)—猜測(cè)—驗(yàn)證—辨析概念—問題鏈—目標(biāo)檢測(cè)等環(huán)節(jié)，一步步展開探究，教學(xué)生學(xué)會(huì)研究一個(gè)幾何對(duì)象的基本思路，為后續(xù)學(xué)習(xí)直線與平面垂直的性質(zhì)定理及平面與平面垂直積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

（3）空間圖形的學(xué)習(xí)要引導(dǎo)學(xué)生借助于長(zhǎng)方體（正方體）這一熟悉的模型，學(xué)會(huì)“聯(lián)想”，通過直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算等能夠較好地認(rèn)識(shí)和理解空間中的點(diǎn)、直線與平面間的位置關(guān)系和度量關(guān)系，深度挖掘空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系進(jìn)而提出問題，可加深學(xué)生的體驗(yàn)，加深對(duì)概念的理解和鞏固.立體幾何教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生從有圖想圖到無圖想圖，形成解決立體幾何問題的基本思維模式，這樣可以有效提升直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］姚強(qiáng).基于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)的問題設(shè)計(jì)——以“直線的點(diǎn)斜式方程”教學(xué)為例［J］.

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（19）：22-24.