王麗鳳　陶珺

［摘 要］以教育信息化引領(lǐng)教育現(xiàn)代化的發(fā)展，一定要堅持信息技術(shù)與教育教學(xué)深度融合的理念。文章以“函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲怠钡慕虒W(xué)為例，闡述如何將信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)教學(xué)進行深度融合。

［關(guān)鍵詞］信息技術(shù)；高中數(shù)學(xué)教學(xué)；融合；深度學(xué)習(xí)

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）11-0018-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》在“課程理念”部分指出，要促進信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程融合，利用現(xiàn)代信息技術(shù)，設(shè)計生動的教學(xué)活動，促進數(shù)學(xué)方式方法的變革。在當(dāng)今信息化時代，隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，將各種信息技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)資源逐步融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，是落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑之一。

信息技術(shù)是指應(yīng)用計算機、網(wǎng)絡(luò)以及多媒體等現(xiàn)代電子技術(shù)，對信息進行采集、存儲、傳輸、加工、應(yīng)用和保護的技術(shù)體系。信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)融合的方式主要是綜合利用音頻、圖片、視頻等網(wǎng)絡(luò)資源，將公式、定理、概念等動態(tài)化、直觀化地展示出來，讓學(xué)生在直觀化、信息化的環(huán)境下迅速找準數(shù)量關(guān)系，明確數(shù)學(xué)動態(tài)關(guān)系，從而開展數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)。

信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)教學(xué)的融合是非常緊密的，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著廣泛應(yīng)用的信息技術(shù)主要有以下幾種：

1.白板軟件。白板軟件有著強大的可視化功能，利用它可以使諸多圖片、視頻、網(wǎng)頁、文本、畫筆、流程圖、思維導(dǎo)圖等成為信息傳遞的媒介，其中一些教育類白板軟件為教師提供了豐富的教學(xué)資源，便于教師更好地進行師生、生生互動。

2.幻燈片演示軟件（簡稱PPT）。PPT可以創(chuàng)建含有文本、表格、圖像、視頻、音頻等多種元素的課件，以實現(xiàn)課堂中精彩的演示。

3.幾何畫板。幾何畫板是一款作圖和實現(xiàn)動畫的輔助教學(xué)軟件，是出色的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件之一，它能夠動態(tài)地展示幾何對象的確切位置關(guān)系、運行變化規(guī)律。

4.GeoGebra軟件（簡稱GGB）。GGB是一款功能極其強大的圖形計算器，它除了可以繪制平面圖形、3D圖形，還可以處理代數(shù)和符號運算、概率統(tǒng)計運算、幾何運算、微積分運算等多種運算。GGB可以在代數(shù)區(qū)顯示出圖形的信息，同時可以在繪圖區(qū)通過拖動對象來觀察代數(shù)區(qū)的表達式、坐標的同步變化，加深學(xué)生對圖形與數(shù)據(jù)之間變化關(guān)系的理解，從而有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。下面筆者以“函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲怠苯虒W(xué)為例，闡述如何將信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)教學(xué)進行深度融合。

一、信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)教學(xué)的融合實踐

（一）創(chuàng)設(shè)情境

師：科考隊對沙漠氣候進行科學(xué)考察，如圖1所示是沙漠地區(qū)某天氣溫隨時間的變化曲線圖。你能根據(jù)曲線圖說一說氣溫隨時間的變化情況嗎？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生從氣溫隨時間變化的曲線圖中體會“早穿棉襖午穿紗，圍著火爐吃西瓜”這一獨特的沙漠氣候，直觀感知氣溫變化；自然引入函數(shù)的單調(diào)性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活。

問題1：觀察三個函數(shù)圖象（如圖2），說說它們反映了函數(shù)的哪些性質(zhì)？

師生活動：通過前面的鋪墊，學(xué)生從單調(diào)性等角度觀察函數(shù)圖象，進而發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最值、對稱性等。教師進一步給出函數(shù)單調(diào)性的概念。

設(shè)計意圖：給出函數(shù)一般的圖象，讓學(xué)生感受到可以從多個角度研究函數(shù)的性質(zhì)，為后面重點研究函數(shù)的單調(diào)性做好鋪墊。

（二）復(fù)習(xí)回顧

1.一次函數(shù)[y=kx+b（k≠0）]的圖象及其性質(zhì)

當(dāng)[k>0]時，一次函數(shù)[y=kx+b]的圖象如圖3所示。

問題2：觀察圖象，它反映了函數(shù)的哪些性質(zhì)？

追問1：直線上的一個動點[P]從[P1]運動到[P2]，點[P]的位置升高了，[P1]、[P2]對應(yīng)的坐標關(guān)系可以怎么表示？

追問2：[x1]和[x2]的范圍是什么？

師生活動：學(xué)生回顧初中學(xué)過的一次函數(shù)及其圖象。首先是以[k>0]為例，直觀感受圖象特征：從左往右逐漸上升。從函數(shù)的角度歸納出函數(shù)值[y]隨[x]的增大而增大的一般規(guī)律。教師通過引導(dǎo)“從點[P]運動的角度看直線呈上升的趨勢”，得到單調(diào)遞增的符號語言表示。接著，由學(xué)生在[k<0]的條件下用三種語言表示函數(shù)單調(diào)遞減的性質(zhì)。

設(shè)計意圖：在學(xué)生已有的認知基礎(chǔ)上，通過問題串引導(dǎo)學(xué)生初步形成“函數(shù)單調(diào)性的定義”的符號表示。在這個環(huán)節(jié)中，通過強調(diào)三種語言（圖形語言、自然語言、符號語言）的轉(zhuǎn)化，使學(xué)生形成研究數(shù)學(xué)性質(zhì)的一般思路，即從“形”的角度感知函數(shù)圖象的特征，并能描述性質(zhì)，最后用數(shù)學(xué)符號表示。函數(shù)性質(zhì)的符號化有著很重要的意義，它是函數(shù)性質(zhì)能夠“量化”的基礎(chǔ)，也是高中階段研究函數(shù)的方法較初中更為“高級”的地方。

2.特殊函數(shù)[f（x）=x2]在區(qū)間[-∞，0]上單調(diào)性的數(shù)學(xué)符號語言表達

教師利用信息技術(shù)給出函數(shù)[f（x）=x2]的圖象，并標出兩動點[A]、[B]的坐標，如圖4所示。

問題3：你能用符號語言描述[f（x）=x2]在區(qū)間[-∞，0]上的單調(diào)性嗎？（學(xué)生動手探究）

追問1：“[x]增大”用符號語言怎樣表示？相應(yīng)的“函數(shù)值[y]減小”用符號語言怎樣表示？

追問2：你能用字母符號表達它們的共同特征嗎？

追問3：這里變量[x1]、[x2]要滿足什么條件？只取某些數(shù)是否可以？

追問4：你能給出更嚴謹?shù)谋磉_嗎？

教師活動：教師利用信息技術(shù)展示函數(shù)[f（x）=x2]圖象，然后讓學(xué)生在[y]軸左側(cè)隨意拖動[A]、[B]兩點，讓學(xué)生感受到：只要某點的橫坐標比另一個點的橫坐標小，它的縱坐標就比另一個點的縱坐標大。

設(shè)計意圖：“任意”“都有”這類無限語言取值的理解是教學(xué)難點，教師通過信息技術(shù)動態(tài)展示了函數(shù)值[y]隨自變量[x]變化而變化的規(guī)律，學(xué)生可以親自動手操作并且感受自變量取值的任意性。

問題4：類比上述方法，你能用符號語言描述[f（x）=x2]在區(qū)間[0，+∞]上的單調(diào)性嗎？

（三）形成概念

問題5：你能用符號語言描述函數(shù)[f（x）=x]（如圖5）和[f（x）=-x2]（如圖6）的單調(diào)性嗎？

學(xué)生活動：類比熟悉的二次函數(shù)[f（x）=x2]的單調(diào)性的描述方法，進一步用三種語言描述函數(shù)的單調(diào)性，提高單調(diào)性的區(qū)間意識；通過觀察函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)函數(shù)[f（x）=x]和 [f（x）=-x2]的單調(diào)性，進一步用三種語言描述函數(shù)的單調(diào)性。

問題6：你能歸納關(guān)于函數(shù)[f（x）=x2]， [f（x）=x] ，[f（x）=-x2]的單調(diào)性的刻畫方法，給出函數(shù)[y=f（x）]在區(qū)間[D]上單調(diào)性的符號表示嗎？

學(xué)生歸納總結(jié)出[f（x）=x2]，[f（x）=x]，[f（x）=-x2]的單調(diào)性（見表1）。

（2）[?x1]，[x2∈0，+∞]，當(dāng)[x1 （1）[?x1]，[x2∈-∞，0]，當(dāng)[x1f（x2）]。

（2）[?x1]，[x2∈0，+∞]，當(dāng)[x1 （1）[?x1]，[x2∈-∞，0]，當(dāng)[x1f（x2）]。

（2）[?x1]，[x2∈0，+∞]，當(dāng)[x1

師生活動：首先由學(xué)生獨立完成，再小組進行交流討論，然后全班學(xué)生共同得出結(jié)論，最后教師給出函數(shù)單調(diào)性的定義。

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)研究的基本原則是從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般，在利用一次函數(shù)進行鋪墊后，以二次函數(shù)[f（x）=x2]為例，讓學(xué)生理解符號語言的使用，再通過函數(shù)[f（x）=x]和[f（x）=-x2] 強化符號語言的使用，從而抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義。

（四）概念辨析

思考1：反比例函數(shù)[f（x）=1x]在定義域上是減函數(shù)嗎？

思考2：設(shè)A是區(qū)間D上某些自變量的值組成的集合，而且[?x1]，[x2∈A]， 當(dāng)[x1

設(shè)計意圖：通過辨析反比例函數(shù)，使學(xué)生進一步理解函數(shù)單調(diào)性的定義，體會正是因為單調(diào)性強調(diào)“任意……都……”，所以導(dǎo)致“單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)”這一特征的形成。

（五）應(yīng)用探索

［例1］根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，研究函數(shù)[f（x）=kx+b（k≠0）]的單調(diào)性。

師生活動：先讓學(xué)生獨立思考，再讓學(xué)生共同討論研究思路，然后由學(xué)生給出嚴格的表述（或讓幾個學(xué)生板書），最后教師引導(dǎo)學(xué)生進行點評。

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生利用定義證明結(jié)論，既體現(xiàn)形式化定義的作用，又通過推理過程，讓學(xué)生理解使用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)單調(diào)性的基本步驟與方法。

［例2］物理學(xué)中的玻意耳定律[p=kV]（[k]為正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時，壓強p將增大，試對此用函數(shù)的單調(diào)性證明。

學(xué)生活動：先思考“體積V減小時，壓強p增大”的字面意思，再聯(lián)系物理學(xué)中的意義，然后給出證明過程，最后共同總結(jié)完善結(jié)論。

追問：你能總結(jié)例1、例2的解題過程，歸納用函數(shù)單調(diào)性的定義研究或證明函數(shù)單調(diào)性的基本步驟嗎？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)函數(shù)模型的作用；明確數(shù)學(xué)研究的思路：抽象概括生活中的一般性問題，再將這些一般性問題抽象成一類函數(shù)，最后研究這一類函數(shù)的性質(zhì)，從而得到事物變化的本質(zhì)規(guī)律；共同完善、總結(jié)證明函數(shù)單調(diào)性的基本步驟和方法。

學(xué)生活動：利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明一次函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性，并歸納證明步驟。

設(shè)計意圖：學(xué)生利用函數(shù)單調(diào)性的定義，從代數(shù)運算的角度對一次函數(shù)的單調(diào)性進行討論，由此體會到：用符號語言描述函數(shù)的單調(diào)性，使得函數(shù)的這一性質(zhì)得以量化、證明，進一步體會數(shù)學(xué)符號的嚴謹性、科學(xué)性和間接性，同時對初中三大函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)）的單調(diào)性有完整的認識。

（六）歸納小結(jié)

知識點：1.三種數(shù)學(xué)語言及其轉(zhuǎn)換；2.函數(shù)單調(diào)性的定義；3.判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：圖象法、定義法；4.證明函數(shù)單調(diào)性的基本步驟。

思想方法：數(shù)形結(jié)合、分類討論。

領(lǐng)悟與體驗：數(shù)學(xué)源于生活，知識源于積累。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生總結(jié)研究函數(shù)性質(zhì)的一般方法，體會形與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化。為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的最值、對稱性、周期性等提供研究思路。

二、信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)教學(xué)深度融合的意義

深度學(xué)習(xí)是教師引領(lǐng)學(xué)生對知識進行深層加工，對學(xué)習(xí)主題進行整體設(shè)計，引領(lǐng)學(xué)生深入理解知識本質(zhì)，主動參與探究問題的過程。深度學(xué)習(xí)可促進學(xué)生的思維從低階走向高階，使學(xué)生深刻領(lǐng)悟思想方法，進而提升學(xué)習(xí)內(nèi)驅(qū)力。

首先，信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合實現(xiàn)了教學(xué)方式的改變。數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)需要教師優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，例如本教學(xué)設(shè)計在提出問題3時讓學(xué)生利用信息技術(shù)拖動[A]、[B]兩點，創(chuàng)設(shè)了學(xué)生感興趣的探究活動，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，引導(dǎo)學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)，使學(xué)生獲得感知與體驗，逐漸提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與核心素養(yǎng)。

其次，信息技術(shù)是深度學(xué)習(xí)的強有力的工具，信息技術(shù)可將公式、定理、概念、圖形、音頻、視頻等資源動態(tài)化、直觀化地展示出來，這方面的作用在本教學(xué)設(shè)計中十分明顯。學(xué)生在直觀化、信息化的環(huán)境下能迅速找準數(shù)量關(guān)系，明確數(shù)學(xué)動態(tài)關(guān)系，從而實現(xiàn)由簡單的知識結(jié)構(gòu)向抽象的知識結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化，促進學(xué)生的數(shù)學(xué)思維從低階走向高階。

最后，利用信息技術(shù)可以有效破解教學(xué)難點。本節(jié)課中，對“任意”“都有”這類無限語言取值的理解是教學(xué)難點，教師通過信息技術(shù)動態(tài)展示了函數(shù)值[y]隨自變量[x]變化而變化的規(guī)律，學(xué)生可以親自動手操作并且感受自變量取值的任意性，教學(xué)效果奇佳，有效地突破了教學(xué)難點。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書 數(shù)學(xué) 必修 第一冊［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］? 于鶯彬.基于問題導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)策略［J］.數(shù)學(xué)通訊，2019（10）：4-7，10.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）

［基金項目］本文系2024年南寧市教學(xué)成果“‘三階六步教學(xué)模式的實踐與研究——基于信息技術(shù)促進高中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)”的應(yīng)用。