吳愉

摘?要：本文以“正弦函數、余弦函數的性質”的教學為例，采用“設問-學生回答-再設問-再回答”的模式，闡述如何以問題為導向引導學生復習舊知，同時發(fā)現問題，進行探究活動，從而解決問題.

關鍵詞：問題教學；探究活動；深度學習；學科素養(yǎng)

中圖分類號：G632???文獻標識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）15-0005-03

根據新課程理念的要求，教師在課堂教學中要從深度學習的視角去探索知識概念的相互關系.從高中數學學科的角度去看，深度學習是依托數學的教學內容，在教師的引領下，以發(fā)展學生的數學思維能力和數學學科素養(yǎng)為目標，圍繞具有挑戰(zhàn)性的主題展開探究活動，讓學生積極參與課堂，先獨立思考，后小組合作探究，以達到主動學習的目的.

1 創(chuàng)設問題情境，點燃學生學習興趣點

概念課要從學生認知發(fā)展的角度出發(fā)，依托數學核心素養(yǎng)，從數學生活的情境入手，創(chuàng)設有效有趣的問題，點燃學生學習的興趣，讓課堂生動起來.因此本節(jié)課設置問題如下：

問題1：類比研究一般函數的性質，你覺得正弦函數、余弦函數應該研究哪些性質？

問題2：根據以往研究函數的經驗，為了對函數性質進行研究，先要研究函數的什么？

問題3：如何繪制正弦函數、余弦函數的圖象？五點法作圖的步驟是什么呢？

通過設置問題，啟發(fā)引導學生回顧已學知識，回憶正弦函數、余弦函數在0，2π的圖象，進而回憶其在R上的圖象.在點燃學生學習興趣的同時，培養(yǎng)他們的邏輯推理數學核心素養(yǎng)，進而引出本節(jié)課所要探究的內容：正弦函數、余弦函數的性質.

2 問題引領探究，突破學生學習疑難點

探究活動的開展需要學生積極參與課堂.因此在課堂教學過程中，教師可以精心設計問題，采用“設問-學生回答-再設問-再回答”的模式，啟發(fā)引導學生去發(fā)現問題，提出問題，在教師的引領下探究問題，進而解決問題，對正弦函數、余弦函數的性質：周期性以及周期函數的概念進行更深入的學習，突破學生學習疑難點.

問題4：上述問題中，我們類比研究函數的性質，我們知道研究正弦函數、余弦函數的性質：單調性、對稱性和奇偶性，請同學們觀察正弦函數的圖象的特點，它還有什么特征呢？

學生1：通過正弦函數的圖象作圖過程中，可以發(fā)現，橫坐標每經過2π個單位長度，點的縱坐標就會相同.

教師：很好，剛才觀察圖象，我們從形的角度定性地分析了圖象的周而復始的規(guī)律.

問題5：如何從數的角度定量地分析這一特征呢？

學生2：誘導公式sin（x+2kπ）=sinx（k∈Z），當k=1時，即sin（x+2π）=sinx，即

2π，4π與0，2π的圖象相同，當k=-1時，即sin（x-2π）=sinx，即

-2π，0與0，2π的圖象相同，當k取不同整數時，圖象會重復的出現.

教師：數學上用周期性來刻畫這種重復性的特征.

問題6：請閱讀教科書5.4.2節(jié)“1.周期性”中的內容，回答相關問題，周期函數是怎么定義的？什么是周期？什么是最小正周期？

問題7：由周期函數的定義，y=sinx的周期是多少？

追問1：若sinπ6+π3=sinπ6，sinπ3+π3=sinπ3，sin4π3+π3=sin4π3，…，那么能說y=sinx的周期是π3嗎？為什么？

學生3：不是，Ax∈R，sinx+π3=sinx不成立.

教師：定義是對定義域中的每一個x而言，只有個別或少數值滿足fx+T=fx，不能說T是

fx的周期.

追問2：若函數fx的周期為T，則kT，k∈N*也是fx的周期嗎？為什么？

問題8：在正弦函數的所有周期中，是否存在一個最小正周期？

追問3：y=2，x∈R是不是周期函數？若是，其最小正周期是什么？

教師：并不是所有周期函數都有最小正周期.同學們，還能不能舉出其他的例子？

問題9：余弦函數是否為周期函數？若是，請說出其周期和最小正周期.

問題10：我們知道4π是正弦函數的一個周期，我們能說正弦函數的周期是4π嗎？

教師：我們現在談正弦函數、余弦函數的周期時，如果不加解釋，一般指的是最小正周期.

問題11：知道一個函數的周期，對學習函數的圖象與性質有什么幫助？

教師：借助函數的周期性，有助于從局部認識整體，比如借助周期性，正弦函數、余弦函數的圖象可從0，2π發(fā)展到R上.

3 開展深度學習，提升學生學習素養(yǎng)點

在新課標、新教材、新高考的教育背景下，教育教學應該站在學生的角度，發(fā)展學生的思維，提升學生數學核心素養(yǎng)，培育學生的勇于奮斗的求知精神和積極進取的學習意識，進而達到提升其素養(yǎng)的目的.那么，怎樣在課堂教學中落實素養(yǎng)，從哪些方面著手提升學生的素養(yǎng)呢？筆者依托深度教學，發(fā)揮育人價值，通過讓學生獨立思考、自主探索、小組合作、討論交流、師生共探、歸納提升，進行深度學習，并將素養(yǎng)的發(fā)展目標分解到相應的數學教學環(huán)節(jié)中.

3.1 獨立思考，自主探索

在研究正弦函數與余弦函數的性質時，我們已經根據三角函數的作圖過程中圖象周而復始的規(guī)律，研究函數的周期性，并懂得了正弦函數和余弦函數的周期為2π.類比一般函數的研究方法，三角函數還存在其他的性質.教師可組織學生先觀察圖象，讓他們獨立思考，自主探索，去發(fā)現正弦、余弦函數的性質[1].

問題12：觀察正弦函數、余弦函數的圖象，你能看出他們有何奇偶性嗎？

學生4：觀察正弦曲線與余弦曲線，可以發(fā)現，正弦曲線關于0，0對稱，余弦曲線關于y軸對稱，所以正弦函數是奇函數，余弦函數是偶函數.

問題13：除了觀察正弦函數、余弦函數的圖象，你們還有沒有其他方法來證明正弦函數、余弦函數的奇偶性？

學生5：sin（-x）=-sinx，cos（-x）=cosx.

教師：數無形時少直觀，形少數時難入微，數形結合是解決函數問題的一種常用手段.由“形”到“數”，由“數”到“形”，加深對概念的理解，促進學生數學思維能力和表達能力的提高.

通過設置這一教學環(huán)節(jié)，訓練學生思維能力，提升學生的直觀想象、邏輯推理數學核心素養(yǎng).

3.2 小組合作，討論交流

通過前面的設問，我們知道要研究三角函數，可研究正弦函數、余弦函數的性質.

問題14：觀察正弦曲線，完成下表1中正弦函數性質部分的內容.表1?正弦、余弦函數的性質表

內容正弦函數余弦函數定義域

值域（最值點x）周期性

奇偶性單調遞增區(qū)間

單調遞減區(qū)間對稱軸

對稱中心

師生活動：教師安排填表任務并組織學生進行小組合作學習，學生之間相互討論交流，完成表格的填寫.在學生分組討論時，教師巡視課堂，啟發(fā)學生積極思考，用心觀察，充分調動學生的學習主動性.討論結束，教師請小組派代表展示討論結果.

學生6：（展示小組討論結果以及思維過程）

①定義域：R，值域：-1，1，x=π2+2kπk∈Z，ymax=1，

x=-π2+2kπk∈Z，ymax=-1.

②周期性：y=sinx的周期為2π;

奇偶性：y=sinx為奇函數.

③單調性：單調遞增區(qū)間：［-π2+2kπ，π2+2kπ］（k∈Z），

單調遞減區(qū)間：［π2+2kπ，3π2+2kπ］（k∈Z）；

④對稱性：對稱軸：x=π2+kπk∈Z，對稱中心：kπ，0k∈Z;

教師：很好，有沒有補充說明的？匯總各小組在小組合作交流中碰到的疑惑，教師進行點評指導.

教師：在剛才的環(huán)節(jié)中，我們是通過觀察正弦函數的圖象，數形結合定性的得出正弦函數的性質的結論，那么能不能從另一個角度定量分析正弦函數的性質.

追問1：如何理解直線x=π/2是正弦函數y=sinx的對稱軸？又如何理解點π，0是正弦函數y=sinx的對稱中心呢？

學生7：直線x=π/2是正弦函數y=sinx的對稱軸，即對于任意的x，有sinx=sinπ-x;π，0是正弦函數y=sinx的對稱中心，即對于任意的x，有sinx=sin（2π-x）.

教師：非常好，正弦函數的對稱軸和對稱中心，可以根據函數的對稱性特點，加以解釋；其次正弦函數的對稱軸是其取最大值和最小值的時候，正弦函數的對稱中心是其取到零點的時候.

追問2：為什么對稱軸和對稱中心“+kπ”就可以，而單調區(qū)間和最值要“+2kπ”呢？

學生8：對稱軸和對稱中心每隔π個單位，會重復出現，而單調區(qū)間和最值要每隔2π個單位，才會重復出現.

前面的研究，我們已經了解正弦函數的相關性質，那么余弦函數的性質又如何呢？教師可以讓學生嘗試歸納，并進行合作探究，引導學生閱讀教科書，規(guī)范認識余弦函數的性質，并精準規(guī)范地表達，促進學生對知識有更深層次的理解.

4 教學反思

在課堂教學過程中，問題導學是一種行之有效的教學手段，它以問題為核心，教師根據教學目標和學生的認知水平，進行核心問題的設計，學生依據問題，結合已有的知識和技能展開獨立的思考和自主探究，嘗試解決問題.學生也可以采用小組合作、討論交流的方式進行探究活動，通過討論，將研究成果進行分享.教師根據學生的學習反饋，設計有挑戰(zhàn)性的學習問題，引導學生思考和解決問題，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維，從而實現深度學習，進而提升學生數學核心素養(yǎng).

5 結束語

問題導學可以有效引領探究活動，促進學生深度學習，進而提升學生素養(yǎng).因此，在實際的課堂教學過程中，教師要不斷地調整教學策略，關注學生的個性差異，因材施教，創(chuàng)造有利于學生發(fā)展的教學環(huán)境，從而實現立德樹人的根本任務.

參考文獻：

［1］吳景峰.新授課深度學習的六個觸動點[J].中學數學教學參考，2023（09）：28-31.

［責任編輯：李?璟］