何怡 郜舒竹

【摘?? 要】分數(shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點和難點。分數(shù)是一個抽象概念，現(xiàn)行教材對分數(shù)意義的描述，偏向于“將單位‘1平均分成一份或若干份，表示這樣的一份或幾份就是幾分之一或幾分之幾”這種理解。實際上，分數(shù)的意義不止于此。分數(shù)概念不是一個單一的結(jié)構(gòu)，而是由多個子結(jié)構(gòu)構(gòu)成的。通過剖析分數(shù)概念的子結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)分數(shù)的意義并不是單一的，而是由多結(jié)構(gòu)組成的多意義集合體。因此，分數(shù)在不同情境中蘊含的意義可能不同。

【關(guān)鍵詞】分數(shù)的意義；過程—概念；分數(shù)子結(jié)構(gòu)

分數(shù)在小學(xué)數(shù)學(xué)中之所以難教難學(xué)，與分數(shù)結(jié)構(gòu)多元化帶來的分數(shù)意義多樣化有關(guān)。約翰·杜威（John Dewey）提出：“理解就是抓住意義?！保?］因此，理解分數(shù)的關(guān)鍵在于把握分數(shù)的意義。梳理分數(shù)的起源和發(fā)展歷程，探究其生成過程和內(nèi)在含義，剖析分數(shù)多元結(jié)構(gòu)中的多樣意義，有助于促進學(xué)生對分數(shù)的認識與理解。

一、分數(shù)意義的教學(xué)現(xiàn)狀

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2011年版）》在第二學(xué)段的學(xué)段目標(biāo)中明確提出，要“理解分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)的意義”。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）在第三學(xué)段的學(xué)段目標(biāo)中也強調(diào)了“理解分數(shù)和小數(shù)的意義”，并將描述目標(biāo)的行為動詞“理解”定義為：描述對象的由來、內(nèi)涵和特征，闡述此對象與相關(guān)對象間的區(qū)別和聯(lián)系。然而，“理解分數(shù)的意義”具體指什么？分數(shù)的內(nèi)涵又是什么？對于這些問題，許多教師仍存有一定程度的困惑。

為了探討這些問題，筆者對以往的人教版教材進行了梳理，發(fā)現(xiàn)1962年出版的十年制學(xué)校小學(xué)課本《算術(shù)（第九冊）》中將分數(shù)明確定義為：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)。而隨著教材的不斷迭代，人教版教材中不再明確出現(xiàn)分數(shù)的定義，僅強調(diào)“把單位‘1平均分成若干份，這樣的一份或幾份可以用分數(shù)表示”，并將這樣的描述安排在“分數(shù)的意義”這一內(nèi)容中進行教學(xué)。整理分析現(xiàn)行三個版本教材對分數(shù)意義的表述可以發(fā)現(xiàn)，它們均停留在對物體的部分—整體的理解上（如表1）。

表1 現(xiàn)行三個版本教材對分數(shù)的表述

[版本????? 對分數(shù)的表述?????? 人教版教材

五年級下冊??? 把單位“1”平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分數(shù)來表示，表示其中一份的數(shù)叫作分數(shù)單位。?? 蘇教版教材

五年級下冊??? 把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫作分數(shù)。表示其中一份的數(shù)，叫作分數(shù)單位。?????? 北師大版教材五年級上冊??? 把一個整體平均分成若干份，其中的一份或幾份，可以用分數(shù)表示。?????? ]

小學(xué)階段的分數(shù)學(xué)習(xí)主要涉及分數(shù)的初步認識、分數(shù)的書寫、分數(shù)大小比較以及簡單的分數(shù)運算。如果學(xué)生在前期分數(shù)學(xué)習(xí)過程中沒有充分理解分數(shù)的意義，那么他們后期在進行分數(shù)大小比較和分數(shù)運算時就容易產(chǎn)生誤解。

分數(shù)大小比較有三種情況：同分母異分子、異分母異分子、異分母同分子。學(xué)生在進行分數(shù)大小比較時容易出現(xiàn)錯誤，如誤認為[15 ]<[ 210]，原因是[15]表示占了1份，而[210]表示占了2份。實際上，[15 ]=[ 210]。學(xué)生如果僅知道分數(shù)部分—整體的意義，可能就會混淆平均分的份數(shù)和分數(shù)本身所處情境代表的意義。

在分數(shù)運算中，學(xué)生則容易出現(xiàn)直觀性的誤解。比如，將3個大餅平均分給10個人（如圖1），正確的除法表達式應(yīng)為3÷10=[310]，但部分學(xué)生可能會錯誤地列出“[ 110]+[110]+[110]=[330]”的算式。按照他們的理解，圖1表示每個大餅被平均分成10份，每個人可以得到每個餅的1份，即每個人能從這30份大餅中得到3份。實際上，學(xué)生的這種思維偏差，是他們對分數(shù)意義中部分—整體的理解有誤導(dǎo)致的。

分析上述情況可知，在分數(shù)學(xué)習(xí)中，有些錯誤源于學(xué)生對分數(shù)意義的把握不夠準確。因此，教師需要明晰分數(shù)的意義，做到“知其然”更“知其所以然”。

二、分數(shù)意義的歷史考察

深入探討分數(shù)的意義可以發(fā)現(xiàn)，其歷史背景與發(fā)展脈絡(luò)具有豐富的內(nèi)涵。英國華威大學(xué)教授大衛(wèi)·托爾（David Tall）提出的“procept”過程—概念理論，將“process”與“concept”融合在一起，揭示了符號本質(zhì)上是表示過程和概念的模糊性的混合體［2］。這種過程和概念的雙重運用，凸顯了過程—概念的二元性，如[14]既可以表示一個分數(shù)概念，也可以表示一個過程。進一步來說，分數(shù)符號的產(chǎn)生受到與之關(guān)聯(lián)的過程的影響。因此，對分數(shù)意義的探究不應(yīng)限于分數(shù)本身，還要包括伴隨分數(shù)產(chǎn)生的過程。

歷史資料顯示，早在公元前600年到前300年間就存在分數(shù)。在古巴比倫，分數(shù)主要用于度量，不過只限于[12]、[13]之類的特殊分數(shù)。它們被視為度量意義上的具體量，而非用于表示單位“1”或“整體”的幾分之幾。與此同時，古埃及人則將較為復(fù)雜的分數(shù)寫成多個單位分數(shù)相加的形式，如[25]=[13]+[115]。可見，古巴比倫人和古埃及人重視對單位分數(shù)的應(yīng)用，每一個非單位分數(shù)都是由兩個或兩個以上的單位分數(shù)組合而成的。換言之，古巴比倫人和古埃及人將每個單位分數(shù)視為獨立的整體或整體的一個組成部分。

我國歷史上也有關(guān)于分數(shù)的記載。早在商代的甲骨文和西周時期的金文中，已經(jīng)可以找到分數(shù)，主要用于度量和商業(yè)交易。隨著歷史的發(fā)展，春秋時期，古人就已拓展了分數(shù)的應(yīng)用。比如，《左傳》中記載：“先王之制：大都不過參國之一；中，五之一；小，九之一?！币馑际牵喊凑障韧醯闹贫龋蟮亩汲?，不能超過國都的三分之一；中等的，不超過五分之一；小的，不超過九分之一。都城間面積大小的比較反映了我國古代對分數(shù)單位的運用。反觀現(xiàn)行教材，對分數(shù)單位并未給予足夠的重視，僅強調(diào)“整體被平均分后，其中的一份叫作分數(shù)單位”的單一解釋。因此，為深化學(xué)生對分數(shù)的理解與應(yīng)用，有必要明晰分數(shù)的生成和發(fā)展。

此外，眾多學(xué)者對分數(shù)概念進行了深入研究，提出了不同的觀點和理論。皮亞杰（Piaget）認為分數(shù)概念包括七個子概念：整體由可分離的元素組成、整體被分盡、劃分時整體保持不變、所有部分相等、分數(shù)是一個確定數(shù)的部分、部分包含于整體中、被分的份數(shù)和每份的量之間存在聯(lián)系［3］。他對分數(shù)概念的認識集中在對部分—整體的理解上。之后，克倫（Kieren）提出分數(shù)是由四個相互關(guān)聯(lián)的子結(jié)構(gòu)，即比、算子（Operator）、商和測量構(gòu)成的，而部分—整體的認識滲透于這四種子結(jié)構(gòu)中［4］。在此基礎(chǔ)上，其他學(xué)者對分數(shù)概念的結(jié)構(gòu)進行了深化、拓展。

貝爾（Behr）將分數(shù)概念的子結(jié)構(gòu)細化為以下幾個方面：將分數(shù)的測量子結(jié)構(gòu)納入部分—整體的理解、比表示兩個量之間的關(guān)系、通過構(gòu)造兩個量之間的關(guān)系形成的新的量稱為比率、商是表示運算過程的結(jié)果、算子子結(jié)構(gòu)是數(shù)的變換等［5］。可見，分數(shù)概念在不斷發(fā)展中衍生出不同的內(nèi)在含義，且不同學(xué)者對分數(shù)概念的理解具有一定的關(guān)聯(lián)性。因此，剖析這些子結(jié)構(gòu)有助于挖掘分數(shù)的實質(zhì)意義。

三、分數(shù)意義的拓展分析

分數(shù)的本質(zhì)是數(shù)，數(shù)是對數(shù)量的抽象，用于描述量的變化。數(shù)的產(chǎn)生源于人們對量進行度量（Measurement）后，需要對度量結(jié)果加以描述［6］。學(xué)生在學(xué)習(xí)分數(shù)時，往往會受到先前所學(xué)的整數(shù)概念的影響。為此，教學(xué)時需明確整數(shù)和分數(shù)在表征物體數(shù)量方面的差異。如圖2所示，一個立方體代表數(shù)字“1”，兩個立方體代表數(shù)字“2”，以此類推。由此可以發(fā)現(xiàn)，整數(shù)是通過以“1”為單位不斷累加獲得更大的數(shù)的，即一個從單位到整體的過程。換言之，整數(shù)的獲得是一個“以小變大”的過程。而分數(shù)的獲得方式恰恰相反，它是先將整體按照特定需求“分”，再從整體中尋找單位。同一個整體，“分”的份數(shù)不同，所得到的分數(shù)單位也會有所不同，如[12]、[14]等?？梢?，分數(shù)的獲得是一個“以大論小”的過程?？傊?，整數(shù)和分數(shù)雖然都是數(shù)，但二者在“整體”和“單位”之間的關(guān)系上卻全然不同。因此，明確“整體”和“單位”之間的關(guān)系，能幫助學(xué)生更好地理解分數(shù)的意義。

圖2 整數(shù)和分數(shù)代表物體示意圖

在探究分數(shù)概念結(jié)構(gòu)的過程中，部分—整體的概念頻繁出現(xiàn)?，F(xiàn)行教材對分數(shù)意義的認識也主要集中在部分—整體這一方面。不過，克倫并未將部分—整體視為分數(shù)概念的第五種子結(jié)構(gòu)。貝爾則恰好相反。他主張部分—整體不僅應(yīng)被視為分數(shù)概念的子結(jié)構(gòu)，還應(yīng)作為其他子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。實際上，對部分—整體概念的理解不僅是理解其他子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，還貫穿于理解其他子結(jié)構(gòu)的過程中。

部分—整體概念的含義，即基于一個劃分的情境，將一個連續(xù)量或是一組離散量劃分為大小相等的幾個部分，強調(diào)對連續(xù)量或離散量的“平均分”。如圖3所示，[12]就是將一個連續(xù)量或是一組離散量劃分為大小相等的兩個部分?，F(xiàn)行教材對分數(shù)的教學(xué)大多偏向?qū)B續(xù)量的劃分。

圖3 部分—整體劃分示意圖

在探討部分—整體的關(guān)系時，通?？煞譃槿N理解方式：第一種理解為“一半”，這種理解在日常生活中比較常見，且與生活經(jīng)驗有密切聯(lián)系，可用分數(shù)[12]表示。第二種理解是“交易”或“拿取”，這是教材中對分數(shù)的解釋，即“將一個整體平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份”。第三種理解是“折疊或分裂”，多數(shù)學(xué)生對部分的認識大都是通過折疊的經(jīng)驗發(fā)展起來的［7］。如圖4所示，通過某一對象的分裂或紙張的折疊可以得到若干大小相等的部分，且被劃分的部分能組合成最初的整體，從而形成對部分—整體的理解。

對于分數(shù)的意義，除了從部分—整體的角度進行理解，還可以從測量、商、比、算子四個子結(jié)構(gòu)出發(fā)進行深入分析。

首先是測量。有實驗表明，學(xué)生學(xué)習(xí)分數(shù)時，對測量這一子結(jié)構(gòu)的了解最少［8］。眾所周知，在測量中，單位的重要性不言而喻，整數(shù)測量和分數(shù)測量存在區(qū)別。整數(shù)測量只需確定單位量并反復(fù)累加即可，分數(shù)測量則需在測量過程中確定最佳單位量。若單位量比被測量的量小，可以直接測量。若單位量比被測量的量大，則需要重新劃分以獲取更小的單位量，從而實現(xiàn)精確測量。

其次是商。商是除法運算的結(jié)果，用分數(shù)形式表述商，實現(xiàn)了除法運算結(jié)果的閉環(huán)。也就是說，當(dāng)除法運算的結(jié)果為無理數(shù)時，采用分數(shù)表示更為準確。除表示數(shù)值外，分數(shù)還可以表示一個量。如圖5所示，分數(shù)[34]既可以是一個數(shù)值，也可以是具體計算3÷4的結(jié)果。計算時，可以將3看作單位“1”并平均分成4份，或是將單位“1”中的單個量平均分成4份，取其中的1份，連續(xù)進行3次，然后將各部分取出的量累加，由此得到相應(yīng)結(jié)果。簡而言之，這是從整體中提取確定部分，在此基礎(chǔ)上構(gòu)造新的整體的過程。由此可見，商的子結(jié)構(gòu)以部分—整體為基礎(chǔ)，并在其中貫穿對部分—整體的理解。

圖5 商的子結(jié)構(gòu)示意圖

再次是比。比的子結(jié)構(gòu)是幫助學(xué)生理解“等值分數(shù)”的一條重要路徑。比的子結(jié)構(gòu)涉及兩個量之間的比較，通過分數(shù)這一比較指標(biāo)進行表述。如兩杯糖水中糖和水的比較，第一杯中糖和水之比是[12]，第二杯中糖和水之比是[24]，此時兩杯糖水中糖和水之間量的比值相等，也就是[12]=[24]。因此，分數(shù)中比的子結(jié)構(gòu)具有協(xié)同性和不變性，同時融入了對部分—整體的理解。

最后是算子。算子的子結(jié)構(gòu)可視為一個“放縮器”，初始時給定一個數(shù)，稱為操作數(shù)（Operand），操作數(shù)通過乘除算子發(fā)生改變，因此算子在這個過程中充當(dāng)變化量的角色。單個分數(shù)符號本身可視為一個算子。以[34]為例，擴大過程是確定對象后使其擴大3倍，縮小過程是確定對象后使其縮小[14]（如圖6）。但無論是放大還是縮小，都是在原有對象上發(fā)生變化的。因此，理解算子這一子結(jié)構(gòu)的意義有助于學(xué)生掌握分數(shù)乘除法運算。

數(shù)是對實物“量”的抽象表達。隨著學(xué)生思維的發(fā)展，數(shù)逐漸從實物中抽離出來，以便進行復(fù)雜的數(shù)運算。因此，隨著數(shù)學(xué)抽象程度的提高，僅依靠部分—整體的意義將無法滿足學(xué)生對分數(shù)運用的需求。特別是在分數(shù)運算和大小比較方面，探索分數(shù)的多種子結(jié)構(gòu)，可以揭示分數(shù)的多樣意義，從而深化學(xué)生對分數(shù)的理解。

2022年版課標(biāo)強調(diào)要培養(yǎng)學(xué)生的“三會”核心素養(yǎng)。首先，掌握分數(shù)概念的多種子結(jié)構(gòu)，對把握分數(shù)概念的多樣意義有不可替代的作用，它能夠改變學(xué)生觀察世界的眼光，使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，感受數(shù)學(xué)抽象之美。其次，要對分數(shù)概念產(chǎn)生多樣的意義理解，學(xué)生需學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，運用數(shù)學(xué)思維應(yīng)對不同情境。最后，分數(shù)概念的多種子結(jié)構(gòu)為探索分數(shù)的豐富意義提供了一條路徑，學(xué)生由此經(jīng)歷借助數(shù)學(xué)語言描述現(xiàn)實世界的過程，學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界。

參考文獻：

［1］DEWEY J. How we think［M］. Boston：D. C. Heath & Co，1933：137-138.

［2］GRAY E M，TALL D O. Duality，ambiguity，and flexibility：a “proceptual” view of simple arithmetic［J］. Journal for research in mathematics education，1994，25（2）：116-140.

［3］HIEBERT J，TONNESEN L H. Development of the fraction concept in two physical contexts：an exploratory investigation［J］. Journal for research in mathematics education，1978，9（5）：374-378.

［4］KIEREN T E. The rational number construct：its elements and mechanisms［M］//KIEREN T E Recent research on number learning. Columbus，OH：ERIC Clearinghouse for Science，Mathematics and Environmental Education，1980：125-149.

［5］BEHR M，LESH R，POST T，et al. Rational number concepts［M］//LESH R， LANDAV M. Acquisition of mathematics concepts and processes. New York：Academic Press，1983：91-125.

［6］蔣鑫源，郜舒竹.“數(shù)”與“量”的意義辨析［J］.教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2021（9）：4-6，14.

［7］PITKETHLY A，HUNTING R. A review of recent research in the area of initial fraction concepts［J］. Educational studies in mathematics，1996，30（1）：5-38.

［8］CHARALAMBOUS C Y，PITTA-PANTAZI D. Drawing on a theoretical model to study students understandings of fractions［J］. Educational studies in mathematics，2007，64（3）：293-316．

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院）